2021-2022学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学试题（B卷）含解析

2021-2022学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学试题（B卷）

一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出给定方程的直线斜率，再利用斜率的定义计算作答.

【详解】直线的斜率，设这条直线的倾斜角为，，显然，

于是得，解得，

所以直线的倾斜角为.

故选：D

2．已知空间向量，，，则（       ）

A．4 B．-4 C．0 D．2

【答案】A

【分析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案.

【详解】因为，所以存在实数，使得，则.

故选：A.

3．下列曲线中，与双曲线有相同渐近线的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出已知双曲线的渐近线方程，逐一验证即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

而双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为.

故选：B

4．己知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（       ）条．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.

【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，

设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，

由消去y并整理得：，则，解得或，

因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，

所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.

故选：D

5．圆与的公共弦长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.

【详解】已知圆，圆，

两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，

而圆心到直线的距离为，

圆的半径为，所以，所以.

故选：D.

6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（       ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】D

【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，

则，

因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，

，

所以.

故选：D

7．关于实数a，b，c，下列说法正确的是（       ）

A．如果，则，，成等差数列

B．如果，则，，成等比数列

C．如果，则，，成等差数列

D．如果，则，，成等差数列

【答案】B

【分析】根据给定条件结合取特值、推理计算等方法逐一分析各个选项并判断即可作答.

【详解】对于A，若，取，而，即，，不成等差数列，A不正确；

对于B，若，则，即，，成等比数列，B正确；

对于C，若，取，而，，，不成等差数列，C不正确；

对于D，a，b，c是实数，若，显然都可以为负数或者0，此时a，b，c无对数，D不正确.

故选：B

8．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（       ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】C

【分析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.

【详解】解：设是界限上的一点，

则，

所以，即，

在中，，

所以点的轨迹为双曲线，

即该界线所在曲线为双曲线.

故选：C.

二、多选题

9．在等差数列中，，，为的前n项和，则下列式子一定成立的有（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由已知可得，结合等差性质即可作出判断.

【详解】∵，∴异号，

又，∴且，

∴，，

故选：ABC

10．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据给定条件求出直线与坐标轴的交点坐标、圆心坐标，再结合图形判断作答.

【详解】直线与y轴正半轴交于点，排除选项B；

直线与x轴交于点，而圆的圆心为，

因此，直线过圆的圆心，排除选项D；

当时，圆心在x轴负半轴上，选项A满足；当时，圆心在x轴正半轴上，选项C满足.

故选：AC

11．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在点P使得AP的中垂线过点F，则椭圆C的离心率可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由给定条件可得，再由以点F为圆心，a为半径的圆与直线有公共点列式计算作答.

【详解】依题意，线段AP的中垂线过点F，则有，即点P在以点F为圆心，a为半径的圆上，

而点P在直线上，因此有，整理得，椭圆离心率，

于是得，解得，

所以椭圆C的离心率可能为，，.

故选：BCD

12．某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k名比第名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（       ）智慧币．

A．300 B．293 C．93 D．89

【答案】BD

【分析】设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，

根据等差数列知识可得，分类讨论可得结果.

【详解】设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，

则智慧币分配如下：

，

即，

又，

∴，即，

∵x，m都为正整数，且，

∴，，

，，

，，

，，

∴第一名分配89或293个智慧币．

故选：BD

三、填空题

13．已知直线与直线平行，则实数______．

【答案】

【分析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.

【详解】当时，直线与直线垂直；

当时，，则且，解得.

故答案为：

14．写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列．

【答案】

【分析】由条件②写出一个等比数列，再求出并确保单调递增即可作答.

【详解】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，

令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，

即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，

于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，

所以.

故答案为：

15．如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．

【答案】4

【分析】设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则由已知可得数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求得，再设设小球第n次落地时，经过的路程为，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.

【详解】解：设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则

当时，得出递推关系，

所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，

设小球第n次落地时，经过的路程为，所以

，

所以，解得，

故答案为：4.

16．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______．

【答案】

【分析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.

【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，

则平面，平面，

则，

∴，

设，

则，，

即，，

∴，

当且仅当时，等号成立，

故答案为：

四、解答题

17．如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．

(1)求圆C的方程；

(2)已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有， ，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；

（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.

(1)

解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，

设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，

所以，圆心C的坐标为(2,1)，

所以圆C的方程为；

(2)

解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，

假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，

检验，圆心C到直线AB的距离为 ，所以直线AB与圆C相交，

所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.

18．如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．

(1)求证：；

(2)当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.

(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.

(1)

在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，

平面，因此有平面，又有平面，

所以.

(2)

取BC中点F，连接AF，DF，如图，

因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，

平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，

令，则，因，即有，由(1)知，，则有，

过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，

中，，，

中，由余弦定理得，

，，显然E是斜边中点，则，

中，由余弦定理得，

所以二面角的余弦值.

19．已知抛物线过点，O为坐标原点．

(1)求焦点的坐标及其准线方程；

(2)抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求的面积．

【答案】(1)焦点，准线方程；

(2)12.

【分析】(1)将点A坐标代入求出，写出抛物线方程即可作答.

(2)由(1)的结论求出切线l的斜率，进而求得直线AB方程，联立直线AB与抛物线C的方程，

求出弦AB长及点O到直线AB距离计算作答.

(1)

依题意，，解得，则抛物线的方程为：，

所以抛物线的焦点，准线方程为.

(2)

显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为：，

由消去x并整理得：，依题意得，解得，

因直线，则直线AB的斜率为-1，方程为：，即，

由消去x并整理得：，解得，

因此有，而，则，

而点到直线AB：的距离，则，

所以的面积是12.

20．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，．

(1)求，；

(2)己知，，试比较，的大小．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】(1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解.

(2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答.

(1)

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，，

整理得：，解得，

所以，.

(2)

由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，

，

，则，

用数学归纳法证明，，

①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立，

②假设当时，不等式成立，即，

则，即时，原不等式成立，

综合①②知，，成立，

因此，，即，

所以.

21．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比．

(1)分别求2分钟，3分钟后的水温；

(2)记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；

(3)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）

【答案】(1)2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；

(2)证明见解析，，；

(3)在水烧开后4到7分钟饮用最佳.

【分析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.

(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.

(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.

(1)

设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，

依题意，，当时，，则有，解得，

因此，，即有，，

所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.

(2)

由(1)知，，时，，，则有，即，

而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，

则有，即，

所以是等比数列，的通项公式是，.

(3)

由(2)及已知得：，即，整理得，

两边取常用对数得：，而，

解得，即，

所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.

【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.

22．已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点．

(1)求椭圆的方程；

(2)在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在点M满足条件，点M的坐标为.

【分析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.

(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，

借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.

(1)

依题意，，而离心率，即，解得，

所以椭圆C的方程为：.

(2)

由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，

由消去x并整理得：，设，

则有，因，则直线、斜率互为相反数，

于是得：，整理得，即，

则有，即，而m为任意实数，则，

当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，

所以存在点M满足条件，点M的坐标为.

【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立

一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.