2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知向量．若，则（　　）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝﹣1
2．（5分）已知数列{an}的通项公式为．若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn取得最大值时n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
4．（5分）已知直线l：y＝x+1，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．b1+b4≤b2+b3 B．b4﹣b1≤b3﹣b2
C．a1a4≥a2a3 D．a1a4≤a2a3
6．（5分）已知f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）＝1．若x＞0时，3f（x）+xf′（x）＞0，则使得不等式（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1成立的x的取值范围是（　　）
A．（2021，+∞） B．（﹣∞，2021） C．（2023，+∞） D．（﹣∞，2023）
7．（5分）若将双曲线C：mx2﹣ny2＝λ绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间（0，+∞）上存在最小值，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．
8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC且AB⊥AC，点E为AA1中点．若平面α过点E，且平面α与直线AB所成角和平面α与平面BCC1B1所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面α有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本题共4小题，每小遉5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（　　）
A．θ∈（0，π）
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
（多选）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），动点M到点F的距离与到直线x＝﹣1的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（　　）
A．y1y2＝﹣1
B．△OAB的面积的最小值是2
C．当|AF|＝2|BF|时，
D．以线段OF为直径的圆与圆N：（x﹣3）2+y2＝1相离
（多选）11．（5分）若函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R），则（　　）
A．函数y＝f（x）的值域为R
B．函数g（x）＝xf（x）有三个单调区间
C．方程f（x）+x＝0有且仅有一个根
D．函数y＝f（f（x））有且仅有一个零点
（多选）12．（5分）若数列{an}满足，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当a1＝3，m＝﹣1时，
D．当a1＝3，m＝﹣1时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯．设各层球数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，则a5＝　 　．

14．（5分）已知点F1为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若|PF1|＝3，则|QF1|＝　 　．

15．（5分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 　 　．

16．（5分）若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是 　 　．
四、解答题：本題共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知过点A（3，2）的圆的圆心M在直线y＝3x上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）设点N（﹣2，3），若点P为x轴上一动点，求|PM|+|PN|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知正项等差数列{an}满足：，且2a1，a2，a3+1成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，且2nSn＝an+2，求{b2n}的前n项和．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AB⊥AC，CD＝2AD＝2．
（Ⅰ）证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？

21．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．

22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数y＝f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）存两个零点x1，x2，证明：x1•x2+x1+x2＞e4﹣1．

2021-2022学年浙江省宁波市九校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知向量．若，则（　　）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝﹣1
【解答】解：根据题意，向量．
若，设t，即（x，﹣1，y）＝t（﹣1，2，﹣1）＝（﹣t，2t，﹣t）
解可得：t，
则有x＝y，
由此分析选项：x+y＝1，
故选：A．
2．（5分）已知数列{an}的通项公式为．若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn取得最大值时n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为，
所以a1＝7＞0，且数列{an}是一个首项为正，先增后减的数列，
令an＝﹣2n2+9n＜0，则n或n＜0，
因为n∈N*，所以从n＝5开始，an＜0，
所以前4项的和最大．
故选：C．
3．（5分）若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由函数的图象可知函数在x＝a时，取得极大值，x＝b时，取得极小值，
所以x＜a时，f′（x）＞0，a＜x＜b，f′（x）＜0，x＞b时，f′（x）＞0，
考察选项只有C满足题意，
故选：C．

4．（5分）已知直线l：y＝x+1，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，消去y可得：2x2+3x＝0，
所以A，B两点中点的横坐标为：（x1+x2），
中点的纵坐标为：1．
线段AB的中点的坐标为：．
故选：B．
5．（5分）若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．b1+b4≤b2+b3 B．b4﹣b1≤b3﹣b2
C．a1a4≥a2a3 D．a1a4≤a2a3
【解答】解：若bn＝2n，A，B显然不满足，
a1a4﹣a2a3＝a1（a1+3d）﹣（a1+d）（a1+2d）＝﹣2d2≤0，
所以a1a4≤a2a3，D正确．
故选：D．
6．（5分）已知f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）＝1．若x＞0时，3f（x）+xf′（x）＞0，则使得不等式（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1成立的x的取值范围是（　　）
A．（2021，+∞） B．（﹣∞，2021） C．（2023，+∞） D．（﹣∞，2023）
【解答】解：设F（x）＝x3f（x），
F′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝x2[3f（x）+xf′（x）]，
因为x＞0时，3f（x）+xf′（x）＞0，
所以x＞0时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x），
所以F（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝﹣x3f（x）＝﹣F（x），
所以F（x）为奇函数，
所以F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
因为f（1）＝1，
所以F（1）＝13f（1）＝f（1）＝1，
因为（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1，
所以F（x﹣2022）＞F（1），
所以x﹣2022＞1，
所以x＞2023，
故选：C．
7．（5分）若将双曲线C：mx2﹣ny2＝λ绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间（0，+∞）上存在最小值，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．
【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2＝λ，令λ＝0，则y2x2，显然mn＞0，
则渐近线方程为y＝±x，如图所示k，l为双曲线的渐近线，
绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，
则渐近线l应旋到与坐标轴y轴重合，
由题意可得直线yx，故渐近线的倾斜角应等于30°，
该函数在区间（0，+∞）上存在最小值即，
∴n＝3m，
∴mx2﹣3my2＝λ，
即1，
∴e，
故选：A．

8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC且AB⊥AC，点E为AA1中点．若平面α过点E，且平面α与直线AB所成角和平面α与平面BCC1B1所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面α有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：取BB1中点F，连接EF，
则在所有过E点与EF成30°角的平面α，
均与以EF为轴的圆锥相切，
当α在面ADD1A1时，α与面BCC1B1所成角为75°，
当α在面AEE1A1时，α与面BCC1B1所成角为15°，
α过E点绕EF且与EF顾30°角从面AA1D1D开始旋转，
α与面BB1C1C所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，
此过程中，有两次角为30°，
综上，这样的平面α有2个．
故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小遉5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（　　）
A．θ∈（0，π）
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
【解答】解：是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，
对于A，由向量所成角的定义得θ∈（0，π），故A正确；
对于B，∵不共面，∴能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C，∵“”，2﹣1+1＝2，∴“P，A，B，C四点不共面”，
∵“P，A，B，C四点共面”，∴“”不成立，
∴“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，故C错误；
对于D，∵是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，
∴（）•（）•（）
0，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），动点M到点F的距离与到直线x＝﹣1的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（　　）
A．y1y2＝﹣1
B．△OAB的面积的最小值是2
C．当|AF|＝2|BF|时，
D．以线段OF为直径的圆与圆N：（x﹣3）2+y2＝1相离
【解答】解：依据题意动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．
由抛物线定义知点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝﹣1为准线的抛物线，
所以点P的轨迹C的方程为：y2＝4x，
对于A，取AB⊥x轴，则y1y2＝﹣4，故A错误；
对于B，显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my+1，联立，整理可得：y2﹣4my﹣4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以S△OAB|OF|•|y1﹣y2|•1••2，当m＝0时取等号，所以△OAB的面积的最小值是2，所以B正确；
C中，|AF|＝2|BF|时，则2，所以（1﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣1，y2），可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2③，而y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4②，
①②③联立可得m2，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，
由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p2，所以C正确；
D中，以OF为直径的圆的方程为（x）2+y2，圆心C（，0），半径r1，
圆N：（x﹣3）2+y2＝1的圆心N（3，0），半径r2＝1，
所以圆心距|CN|＝|3|r1+r2＝1，
可得两个圆相离，所以D正确；
故选：BCD．
（多选）11．（5分）若函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R），则（　　）
A．函数y＝f（x）的值域为R
B．函数g（x）＝xf（x）有三个单调区间
C．方程f（x）+x＝0有且仅有一个根
D．函数y＝f（f（x））有且仅有一个零点
【解答】解：对于A：f′（x）＝ex+（x﹣a）ex＝（x﹣a+1）ex，
令f′（x）＝0，得x＝a﹣1，
所以在（a﹣1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣∞，a﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）在x＝a﹣1处取得最小值f（x）min＝f（a﹣1）＝（a﹣1﹣a）ea﹣1＝﹣ea﹣1＜0，
所以f（x）的值域为（﹣ea﹣1，+∞），故A错误；
对于B：g（x）＝xf（x）＝x（x﹣a）ex＝（x2﹣ax）ex，
g′（x）＝（2x﹣a）ex+（x2﹣ax）ex＝[x2+（2﹣a）x﹣a]ex，
令h（x）＝x2+（2﹣a）x﹣a，
Δ＝（2﹣a）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4＞0，
所以h（x）有两个零点x1，x2，
所以在（﹣∞，x1）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在（x1，x2）上，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
在（x2，+∞）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）＝xf（x）有三个单调区间，故B正确；
对于C：方程f（x）+x＝0的根为a＝x的根，
令p（x）＝x，
p′（x）＝11，
令q（x）＝ex+（1﹣x），
q′（x）＝ex﹣1，
所以在（﹣∞，0）时，q′（x）＜0，q（x）单调递减，
在（0，+∞）时，q′（x）＞0，q（x）单调递增，
所以q（x）min＝0，
所以q（x）＞0，p′（x）＞0，p（x）单调递增，
所以y＝a与p（x）＝x有一个交点，
所以方程a＝x只有一个根，
所以方程f（x）+x＝0有且只有一个根，故C正确；
对于D：y＝f（f（x））零点为f（f（x））＝0的根，
令t＝f（x），则f（t）＝0，
所以（t﹣a）et＝0，即t＝a，
所以问题转化为方程f（x）＝a的根，
所以（x﹣a）ex＝a，
所以a，
令s（x），
s′（x），
令u（x）＝ex+1+x，
u′（x）＝ex+1＞0，
所以u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
所以x→﹣∞时，u（x）→﹣∞；x→+∞时，u（x）→+∞，
所以存在x0∈（﹣∞，+∞），u（x0）＝0，
所以在（﹣∞，x0）上，u（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
在（x0，+∞）上，u（x）＞0，s′（x）＞0，s（x）单调递增，
所以s（x）min＝s（x0），
当a时，方程f（f（x））＝0无根，函数y＝f（f（x））没有零点，
当a时，方程f（f（x））＝0有一个根，函数y＝f（f（x））有一个零点，
当a时，方程f（f（x））＝0有两个根，函数y＝f（f（x））有两个零点，
故D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）若数列{an}满足，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当a1＝3，m＝﹣1时，
D．当a1＝3，m＝﹣1时，
【解答】解：对于A，当时，，
∴1≥3，
当，即an＝2时取等号，
∵（an+1）2（）2，
∴等号取不到，故A正确；
对于B，由A知3，即，∴，
∴3•[1﹣（）n]＜3，故B错误；
对于C，当n＝1时，，不满足题设条件，故C错误；
对于D，当a1＝3，m＝﹣1时，，
∴，
∴，∴，
∴•••1，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯．设各层球数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，则a5＝　15　．

【解答】解：由题意可知，a1＝1，a2＝a1+2＝1+2，a3＝a2+3＝1+2+3，…，an＝an﹣1+n＝1+2+3+…+n，
故an＝1+2+3+…+n，
所以a515，
故答案为：15．
14．（5分）已知点F1为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若|PF1|＝3，则|QF1|＝　7　．

【解答】解：由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝1，可得c2＝a2+b2＝5，可得a＝2，c，
若|PF1|＝3，当P在双曲线的右支上时，|PF1|≥a+c＝2，显然不符合，
设双曲线的右焦点F2，
所以可得P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝2a+|PF1|＝4+3＝7，
由双曲线的对称性及直线l的对称性，可得|QF1|＝|PF2|＝7，
故答案为：7．

15．（5分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 　　．

【解答】解：MN的长的最小值即为异面直线AB与CE之间的距离，
又AB∥CD，所以AB∥平面PCD，所以直线到平面PCD的距离即为异面直线AB与CE之间的距离，
所以只需求A到平面PCD的距离即可，
过P作PO⊥平面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，连接AC，则O为AC的中点，
所以易求PO，所以VP﹣ACD2×2，
设A到平面PCD的距离为h，则VA﹣PCD2×2×sin60°×hh，
所以h，所以h，
所以MN的最小值为．
故答案为：．

16．（5分）若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是 　（，1）　．
【解答】解：，
函数f（x）的定义域是（0，+∞），
而f′（x），
令f′（x）＝0，解得：x＝1或k，
若函数f（x）恰有2个极值点，
则y＝k和h（x）的图像在（0，+∞）上恰有1个横坐标不为1的交点，
而h′（x），
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜3，令h′（x）＜0，解得：x＜1或x＞3，
故h（x）在（0，1）递减，在（1，3）递增，在（3，+∞）递减，
而h（0）＝1，h（1）＝0，h（3），x→+∞时，h（x）→0，
故k∈（，1）时，符合题意，
故答案为：（，1）．
四、解答题：本題共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知过点A（3，2）的圆的圆心M在直线y＝3x上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）设点N（﹣2，3），若点P为x轴上一动点，求|PM|+|PN|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）因为圆心M在直线y＝3x上，设圆心M（a，3a），则半径r，
因为y轴被该圆截得的弦长为4，因为圆心M到y轴的距离为d＝|a|，
所以4＝22，解得a＝1
所以圆心M（1，3），半径r，
圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5；
（Ⅱ）作N关于x轴的对称点N'（﹣2，﹣3），连接N'M于x轴的交点P，
则这时|PN|+|PM|＝|PN'|+|PM|≥|N'P|，当且N'，P，M三点共线时|PN|+|PM|的值最小且为3，
直线N'M的方程为：y﹣3（x﹣1）＝2（x﹣1），令y＝0，可得：x，
所以P（，0）时，|PM|+|PN|的值最小，且为3．

18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，函数f（x）＝x3﹣x2x+1，则f′（x）＝3x2﹣2x，f（2）＝23﹣221＝4，切线斜率k＝f′（2）＝3×22﹣2×2，
∴曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣4（x﹣2）即15x﹣2y﹣22＝0；
（Ⅱ）对任意的恒成立即x3﹣x2x+1≥0恒成立⇔x2﹣x恒成立，
令g（x）＝x2﹣x，∴g′（x）＝2x﹣1，当x∈[，2]时，由g′（x）＝2x﹣10得2x3﹣x2﹣1＞0，即（x﹣1）（2x2+x+1）＞0，
可知2x2+x+1＞0，∴不等式解得1＜x≤2，∴函数g（x）的单调递增区间是（1，2]，单调递减区间是[，1），
∴函数g（x）在[，2]上的最小值为g（1）＝12﹣11，∴1，∴a≤2．
故实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
19．（12分）已知正项等差数列{an}满足：，且2a1，a2，a3+1成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，且2nSn＝an+2，求{b2n}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，即，
解得a1＝1或﹣2，
因为正项等差数列{an}，所以a1＝1，所以d＝3，
故{an}的通项公式为an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2．
（Ⅱ）因为2nSn＝an+2＝3n﹣2+2＝3n，
所以Sn，b1＝S1，
所以bn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），
当n＝1时，b1，符合上式，
故{bn}的通项公式为bn，
所以b2n，
设数列{b2n}的前n项和为Tn，
则Tn＝6（），①
Tn＝6（），②
①﹣②得，Tn＝6（0）＝﹣6•6•，
所以Tn＝（），
故{b2n}的前n项和为．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AB⊥AC，CD＝2AD＝2．
（Ⅰ）证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？

【解答】（Ⅰ）证明：由于PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，故PA⊥AC，
又AB⊥AC，PA∩AB＝A，故AC⊥平面PAB，
PB⊂平面PAB，则PB⊥AC．
（Ⅱ）解：如图所示，以点A为坐标原点，AB，AC，AP方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，

由几何关系可得，
设P（0，0，h），平面PCD的法向量，
则，
据此可得．
又，
故直线AB与平面PCD所成角的正弦值为，
解得h＝2，
即PB的长为时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2＝8，b2＝2，
则椭圆C的标准方程为 ．
（II）设切线PQ的方程为y＝kx+2（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
由，消去y得（1+4k2）x2+16kx+8＝0，①
则Δ＝（16k）2﹣32（1+4k2）＝32（4k2﹣1）＝0，
解得或（舎去），
将代入①得，
x2+4x+4＝0，
解得xQ＝﹣2，则，
所以Q（﹣2，1），
又R为PQ中点，则，
因为PA，PB斜率都存在，不妨设，，
由①可得，
所以，
，
同理，，
则，
又R，A，B三点共线，
则，
化简得，
所以．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数y＝f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）存两个零点x1，x2，证明：x1•x2+x1+x2＞e4﹣1．
【解答】解：（I）函数f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R），x∈（﹣1，+∞）．
f′（x），
a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（﹣1，+∞）上单调递增．
a＜0时，f′（x），函数f（x）在x∈（﹣1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）证明：由（I）可知：a＜0时，f（1）＝ln2＞0时，即a＜0时函数y＝f（x）存两个零点x1，x2，不妨设﹣1＜x1＜x2，
ln（x1+1）+a0，ln（x2+1）+a0，
∴ln（x1•x2+x1+x2+1）＝﹣a（），
lna（（），
∴ln（x1•x2+x1+x2+1）•ln，
令t＞1，
则ln（x1•x2+x1+x2+1）•lnt2，
要证明：x1•x2+x1+x2＞e4﹣1，即证明ln（x1•x2+x1+x2+1）•lnt2＞4．
即证明lnt0，
令g（t）＝lnt，t∈（1，+∞），
g′（t）0，
∴函数g（t）在t∈（1，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）＝0，∴lnt0成立，
因此x1•x2+x1+x2＞e4﹣1成立．
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