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2020-2021学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅∈A D．0∈A
2．（5分）关于函数y＝sinx+cosx，以下说法正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上存在最小值
C．在区间上是增函数
D．在区间上存在最大值
3．（5分）现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为5，方差为2.4
C．中位数为4，众数为5 D．中位数为4，方差为2.8
5．（5分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），长期的实验和分析表明，f（x）与x有以下关系：f（x）则下列说法错误的是（ ）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝8，EF＝6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．66 C．126 D．105
7．（5分）在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，（m＞0，n＞0），则（ ）
A．m+n为定值 B．m•n为定值
C．4m+n的最小值为 D．m+4n的最小值为6
8．（5分）设函数f（x）的定义域为I，如果对任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，称函数f（x）为“D函数”，则下列函数为“D函数”的是（ ）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝ex+lnx
C．f（x）＝x2﹣2x
D．f（x）＝sinx﹣cosx+sinx•cosx
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点P是其所在平面内一点，（ ）
A．若，则点P在△ABC的中位线上
B．若3，则P为△ABC的重心
C．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．若ccosB＝bcosC，则△ABC是等腰三角形
（多选）10．（5分）甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）
（多选）11．（5分）下列四个函数中，满足对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c）的是（ ）
A．f（x）＝1+2sin2x B．f（x）＝2x
C．f（x） D．f（x）＝ln（x+1）
（多选）12．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（ ）
A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值
B．四面体D1DEF表面积为定值
C．异面直线B1E和AF所成角为90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（i）（i）＝ ．
14．（5分）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为12，则n＝ ．
15．（5分）已知||＝2||＝2，•1，则与的夹角为 ．
16．（5分）在四棱台ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABFE，AE＝DE，P为侧棱AE上的动点，若二面角H﹣BC﹣A与二面角P﹣CD﹣B的大小相等．则PA的长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及图象的对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
18．（12分）在直角坐标系中，O是坐标原点，向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若与的夹角不超过45°，求的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求证：PC⊥PD；
（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的余弦值．
20．（12分）一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定的过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定的太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．该保险公司随机抽取50名保险推销员，统计了其2020年的月均推销额（单位：万元），将数据按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16）组比[12，14）组的频数多4．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a和b的值；
（Ⅱ）为调动推销员的积极性，公司设计了两种奖励方案．方案一：奖励月均推销额进入前60%的员工；方案二：奖励月均推销额达到或超过平均数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）的员工．你认为哪种方案更好？
21．（12分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表：
红色
白色
塑料球
木质球
塑料球
木质球
68个
136个
153个
51个
（Ⅰ）分别估计等可能地从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个得到塑料球的概率；
（Ⅱ）等可能地从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，估计这3个球中恰有2个塑料球的概率．
22．（12分）函数f（x）＝|2x+a﹣9|，g（x）＝﹣x2+（5﹣a）x+2a，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数g（x）为偶函数，求函数f（g（x）﹣7）的值域；
（Ⅱ）若不存在x∈R，使得f（x）＞6和g（x）＞6同时成立，求a的取值范围．
2020-2021学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅∈A D．0∈A
【解答】解：1∈A，所以A正确；{﹣1}⊆A，所以B不正确；∅⊆A，所以C不正确；0∉A，所以D不正确．
故选：A．
2．（5分）关于函数y＝sinx+cosx，以下说法正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上存在最小值
C．在区间上是增函数
D．在区间上存在最大值
【解答】解：∵y＝sinx+cosx，
∴函数y的单调递增区间为，
∴，故选项A错误，选项C正确，
当 时，y取得最小值，故在区间上不存在最小值，故选项B错误，
当时，y取得最大值，故在区间上不存在最大值，故选项D错误．
故选：C．
3．（5分）现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，
基本事件总数n15，
取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数m3，
则取出的鞋都是左脚的概率是P．
故选：D．
4．（5分）四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为5，方差为2.4
C．中位数为4，众数为5 D．中位数为4，方差为2.8
【解答】解：对于选项A，1，2，5，6，6符合条件，故A错，
对于选项B，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为4，故B对，
对于选项C，1，2，4，5，5符合条件，故C错，
对于选项D，1，4，4，5，6符合条件，故D错，
故选：B．
5．（5分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），长期的实验和分析表明，f（x）与x有以下关系：f（x）则下列说法错误的是（ ）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
【解答】解：由题意，f（x）
当0＜x≤10时，f（x）＝﹣0.1x2+2.6x+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，
故函数f（x）在（0，10]上单调递增，最大值为f（10）＝59.9；
当10＜x≤16时，f（x）＝59，故f（x）为常数函数，
当16＜x≤30时，f（x）＝﹣3x+107，故f（x）单调递减，所以f（x）＜f（16）＝59，
则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，
故选项A正确；
因为f（5）＝﹣0.1×（5﹣13）2+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5，
f（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，
所以讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点，
故选项B正确；
由选项A的分析可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强，
故选项C正确；
当0＜x≤10时，令f（x）＝55，
则﹣0.1×（x﹣13）2＝﹣4.9，所以（x﹣13）2＝49，
解得x＝20或x＝6，
又0＜x≤10，故x＝6，
当16＜x≤30时，令f（x）＝55，则﹣3x+107＝55，
解得x，
因此学生达到（或超过）55的接受能力的时间为6，
所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成，
故选项D错误．
故选：D．
6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝8，EF＝6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．66 C．126 D．105
【解答】解：按图2中的分割方式，中间为直三棱柱，
直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，
则直三棱柱的体积；
两侧为全等的两个四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积S，四棱锥的高为h＝3，
则两个四棱锥的体积．
∴该“羡除”的体积为V＝V1+V2＝63+21＝84．
故选：A．
7．（5分）在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，（m＞0，n＞0），则（ ）
A．m+n为定值 B．m•n为定值
C．4m+n的最小值为 D．m+4n的最小值为6
【解答】解：由题意可得m，∴（m ），
同理可得（n）．
由于、共线，∴，且λ＜0．
∴（m ）λ[（n）]，
∴mλ，λ（n）
故 m，n，
∴m+n，m•n均与λ取值有关，故AB错误；
4m+n＝1﹣λ（﹣λ）2，当且仅当λ时成立，故C正确；
m+4n（）2，当且仅当λ＝﹣2时成立，故D错误．
故选：C．
8．（5分）设函数f（x）的定义域为I，如果对任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，称函数f（x）为“D函数”，则下列函数为“D函数”的是（ ）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝ex+lnx
C．f（x）＝x2﹣2x
D．f（x）＝sinx﹣cosx+sinx•cosx
【解答】解：∵对任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，∴函数f（x）的值域关于原点对称，
f（x）＝3x的值域为（0，+∞），故A错误，
f（x）＝ex+lnx的值域为（﹣∞，+∞），故B正确，
f（x）＝x2﹣2x的值域为[﹣1，+∞），故C错误，
f（x）＝sinx﹣cosx+sinx•cosx＝sinx﹣cosx（sinx﹣cosx）2+（sinx﹣cosx），
∵sinx﹣cosx，∴f（x）≤1，故D错误，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点P是其所在平面内一点，（ ）
A．若，则点P在△ABC的中位线上
B．若3，则P为△ABC的重心
C．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．若ccosB＝bcosC，则△ABC是等腰三角形
【解答】解：对于A，由，
得，即（）＝﹣1010（），
设AC的中点为E，BC的中点为F，可得1010，
则P、E、F三点共线，即点P在△ABC的中位线上，故A正确；
对于B，设BC中点为G，由3，得，
∴，即P为△ABC的重心，故B正确；
对于C，取a＝3，b＝5，c＝4，满足a2+b2＞c2，但a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，故C错误；
对于D，由ccosB＝bcosC，得sinCcosB＝sinBcosC，∴sin（C﹣B）＝0，
∵0＜C＜π，0＜B＜π，∴﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B＝0，即B＝C，△ABC为等腰三角形，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）
【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数n＝6×6＝36，
记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件A包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），
∴P（A），
事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件B包含的基本事件有18个，分别为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
∴P（B），
事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件C包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），
（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），
∴P（C），
事件AB包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
P（AB），
∵P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A、B是相互独立事件，故A正确；
事件B与C能同时发生，故事件B与C不是互斥事件，故B错误；
P（A）＝P（B）＝P（C），故C正确；
ABC包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
∴P（ABC）．故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）下列四个函数中，满足对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c）的是（ ）
A．f（x）＝1+2sin2x B．f（x）＝2x
C．f（x） D．f（x）＝ln（x+1）
【解答】解：若f（x）＝1+2sin2x，则f（a+b+c）＝1+2sin2（a+b+c），
f（a）+f（b）+f（c）＝1+2sin2a+1+2sin2b+1+2sin2c＝3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，
故1+2sin2（a+b+c）≤3≤3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，
故对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故A正确，
若f（x）＝2x，令a＝b＝c＝1，f（a+b+c）＝f（3）＝8，f（a）+f（b）+f（c）＝2+2+2＝6，故B错误，
若f（x），则f（a+b+c），f（a）+f（b）+f（c），
且（）2﹣（）2＝（a+b+c）﹣（a+b+c+222）＜0，故，
故对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故C正确，
若f（x）＝ln（x+1），则f（a+b+c）＝ln（a+b+c+1），
f（a）+f（b）+f（c）＝ln（a+1）+ln（b+1）+ln（c+1）＝ln[（a+1）•（b+1）•（c+1）]＝ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），
故ln（a+b+c+1）＜ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），
故对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故D正确，
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（ ）
A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值
B．四面体D1DEF表面积为定值
C．异面直线B1E和AF所成角为90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°
【解答】解：对于A，因为四边形BEDF的面积为S＝SABCD﹣S△ABE﹣S△BCF＝1FC＝1（AE+BF）＝1（定值）．
∴四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值，故正确；
对于B，过D作DH⊥EF，连接D1H，则D1H⊥EF，设AE＝DF＝x，则DH，
∴D1H，S，
∴四面体D1DEF表面积为Sx×11，∴四面体D1DEF表面积为定值，故正确．
对于C，如图建立空间直角坐标系，设AE＝x，则E（1﹣x，0，0），F（0，x，0），B1（1，1，1），A（1，0，0），
则，，
∴x﹣x+0＝0，∴异面直线B1E和AF所成角为90°，故正确；
对于D，当AE＝DF时，可得二面角D1﹣EF﹣D就是∠DHD1，二面角B1﹣EF﹣B就是∠BHB1，
则tan∠DHD1＝2，tan∠bHb1，
tan（∠DHD1+∠BHB1），
此时二面角D1﹣EF﹣B1的正切值为，故错．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（i）（i）＝ 5 ．
【解答】解：（i）（i）．
故答案为：5．
14．（5分）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为12，则n＝ 28 ．
【解答】解：某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160．
采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，
其中高一年级被抽取的人数为12，
则n12，
解得n＝28．
故答案为：28．
15．（5分）已知||＝2||＝2，•1，则与的夹角为 ．
【解答】解：||＝2||＝2，•1，||
设与的夹角为θ，则cosθ，
θ∈[0，π]，
所以θ．
故答案为：．
16．（5分）在四棱台ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABFE，AE＝DE，P为侧棱AE上的动点，若二面角H﹣BC﹣A与二面角P﹣CD﹣B的大小相等．则PA的长为 ．
【解答】解：∵DE⊥平面ABFE，
∴DE⊥AB，
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADHE，
过点P作PM⊥AD，过点H作HN⊥AD，则PM⊥平面ABCD，HN⊥平面ABCD，
过点N作NK⊥BC，则∠PDM为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∠HKN为二面角H﹣BC﹣A的平面角，
又AE＝DE，
∴∠PAD＝45°，，
由题意，，
设PA＝x，则，
∴，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及图象的对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
【解答】解：（I），
所以最小正周期为，所有的周期为kπ，k∈Z且k≠0；
令，得，所以对称中心为；
（II）因为，所以，，
所以f（x）的值域为[﹣1，2]．
18．（12分）在直角坐标系中，O是坐标原点，向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若与的夹角不超过45°，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），
则，
因为，
则0，
故a+2b＝5，则（a+1）+2b＝6，
所以（）
，
当且仅当且a+2b＝5，即时取等号，
所以的最小值为；
（Ⅱ）因为（2，﹣1），（a，b），
则，
因为与的夹角不超过45°，
则，
即，
令，则t＞0，
所以，
故，解得，
又t＞0，
所以的取值范围为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求证：PC⊥PD；
（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
20．（12分）一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定的过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定的太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．该保险公司随机抽取50名保险推销员，统计了其2020年的月均推销额（单位：万元），将数据按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16）组比[12，14）组的频数多4．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a和b的值；
（Ⅱ）为调动推销员的积极性，公司设计了两种奖励方案．方案一：奖励月均推销额进入前60%的员工；方案二：奖励月均推销额达到或超过平均数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）的员工．你认为哪种方案更好？
【解答】解：（1）∵由频率分布直方图的性质，图中所有小矩形的面积之和等于1，
又∵[14，16）组比[12，14）组的频数多4，
∴，解得a＝0.03，b＝0.07．
（2）方案一，奖励月均推销额进入前60%的员工，
∵样本容量为50，
∴能获得奖励员工人数为50×60%＝30，
方案二，奖励月均推销额达到或超过平均数，
根据频率分布直方图，可得月均推销额的平均数为（0.03×2×13+0.07×2×15+0.12×2×17+0.14×2×19+0.1×2×21+0.04×2×23）＝18.32，
月均推销额低于18万的频率为2×（0.03+0.07+0.12）＝0.44，
∵本次抽样样本容量为50名保险推销员，
∴月均推销额低于18万的人数为50×0.44＝22，
∴月均推销额高于18万的人数比小于28，
综上所述，对比两种奖励方案，应选方案一，更多人员获得奖励．
21．（12分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表：
红色
白色
塑料球
木质球
塑料球
木质球
68个
136个
153个
51个
（Ⅰ）分别估计等可能地从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个得到塑料球的概率；
（Ⅱ）等可能地从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，估计这3个球中恰有2个塑料球的概率．
【解答】解：（Ⅰ）等可能地从仓库所有红色球中随机抽取1个，
基本事件总数n1＝68+136＝204，
其中得到塑料球包含的基本事件个数m1＝68，
∴得到塑料球的概率为P1，
等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，
基本事件总数n2＝153+51＝204，
其中得到塑料球包含的基本事件个数m2＝153，
∴得到塑料球的概率为P2．
（Ⅱ）等可能地从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，
等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，
基本事件总数n4120902，
这3个球中恰有2个塑料球包含的基本事件个数：
m1531122，
∴估计这3个球中恰有2个塑料球的概率为P．
22．（12分）函数f（x）＝|2x+a﹣9|，g（x）＝﹣x2+（5﹣a）x+2a，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数g（x）为偶函数，求函数f（g（x）﹣7）的值域；
（Ⅱ）若不存在x∈R，使得f（x）＞6和g（x）＞6同时成立，求a的取值范围．
【解答】解：（ I ）∵g（x）为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），解得a＝5，
∴g（x）＝﹣x2+10，
g（x） 的值域为（﹣∞，10]，∴g（x）﹣7∈（﹣∞，3]．
而
∴f（g（x）﹣7）的值域为[0，4]．
（II）根据题意，即f（x）⩽6和g（x）⩽6解集的并集为 R．
先解 g（x）⩽6，得（x﹣2）（x+a﹣3）⩾0（*）．
①当a＝1时，（*）式显然成立，原命题成立；
②当a＜1时，（*）式解集为（﹣∞，2]⋃[3﹣a，+∞），
只需当2＜x＜3﹣a时，|2x+a﹣9|⩽6即可．
解得3﹣2x⩽a⩽15﹣2x，即﹣1⩽a⩽15﹣23﹣a，即得a∈[﹣1，1）．
③当a＞1时，（*）式解集为（﹣∞，3﹣a]∪[2，+∞），
只需当3﹣a＜x＜2时，|2x+a﹣9|⩽6即可．
解得3﹣2x⩽a⩽15﹣2x，即3﹣23﹣a⩽a⩽15﹣22，即得a∈（1，11]．
综上a的取值范围为[﹣1，11]．
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2020-2021学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅∈A D．0∈A
2．（5分）关于函数y＝sinx+cosx，以下说法正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上存在最小值
C．在区间上是增函数
D．在区间上存在最大值
3．（5分）现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为5，方差为2.4
C．中位数为4，众数为5 D．中位数为4，方差为2.8
5．（5分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），长期的实验和分析表明，f（x）与x有以下关系：f（x）则下列说法错误的是（ ）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝8，EF＝6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．66 C．126 D．105
7．（5分）在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，（m＞0，n＞0），则（ ）
A．m+n为定值 B．m•n为定值
C．4m+n的最小值为 D．m+4n的最小值为6
8．（5分）设函数f（x）的定义域为I，如果对任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，称函数f（x）为“D函数”，则下列函数为“D函数”的是（ ）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝ex+lnx
C．f（x）＝x2﹣2x
D．f（x）＝sinx﹣cosx+sinx•cosx
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点P是其所在平面内一点，（ ）
A．若，则点P在△ABC的中位线上
B．若3，则P为△ABC的重心
C．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．若ccosB＝bcosC，则△ABC是等腰三角形
（多选）10．（5分）甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）
（多选）11．（5分）下列四个函数中，满足对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c）的是（ ）
A．f（x）＝1+2sin2x B．f（x）＝2x
C．f（x） D．f（x）＝ln（x+1）
（多选）12．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（ ）
A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值
B．四面体D1DEF表面积为定值
C．异面直线B1E和AF所成角为90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（i）（i）＝ ．
14．（5分）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为12，则n＝ ．
15．（5分）已知||＝2||＝2，•1，则与的夹角为 ．
16．（5分）在四棱台ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABFE，AE＝DE，P为侧棱AE上的动点，若二面角H﹣BC﹣A与二面角P﹣CD﹣B的大小相等．则PA的长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及图象的对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
18．（12分）在直角坐标系中，O是坐标原点，向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若与的夹角不超过45°，求的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求证：PC⊥PD；
（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的余弦值．
20．（12分）一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定的过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定的太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．该保险公司随机抽取50名保险推销员，统计了其2020年的月均推销额（单位：万元），将数据按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16）组比[12，14）组的频数多4．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a和b的值；
（Ⅱ）为调动推销员的积极性，公司设计了两种奖励方案．方案一：奖励月均推销额进入前60%的员工；方案二：奖励月均推销额达到或超过平均数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）的员工．你认为哪种方案更好？
21．（12分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表：
红色
白色
塑料球
木质球
塑料球
木质球
68个
136个
153个
51个
（Ⅰ）分别估计等可能地从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个得到塑料球的概率；
（Ⅱ）等可能地从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，估计这3个球中恰有2个塑料球的概率．
22．（12分）函数f（x）＝|2x+a﹣9|，g（x）＝﹣x2+（5﹣a）x+2a，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数g（x）为偶函数，求函数f（g（x）﹣7）的值域；
（Ⅱ）若不存在x∈R，使得f（x）＞6和g（x）＞6同时成立，求a的取值范围．
2020-2021学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅∈A D．0∈A
【解答】解：1∈A，所以A正确；{﹣1}⊆A，所以B不正确；∅⊆A，所以C不正确；0∉A，所以D不正确．
故选：A．
2．（5分）关于函数y＝sinx+cosx，以下说法正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上存在最小值
C．在区间上是增函数
D．在区间上存在最大值
【解答】解：∵y＝sinx+cosx，
∴函数y的单调递增区间为，
∴，故选项A错误，选项C正确，
当 时，y取得最小值，故在区间上不存在最小值，故选项B错误，
当时，y取得最大值，故在区间上不存在最大值，故选项D错误．
故选：C．
3．（5分）现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，
基本事件总数n15，
取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数m3，
则取出的鞋都是左脚的概率是P．
故选：D．
4．（5分）四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为5，方差为2.4
C．中位数为4，众数为5 D．中位数为4，方差为2.8
【解答】解：对于选项A，1，2，5，6，6符合条件，故A错，
对于选项B，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为4，故B对，
对于选项C，1，2，4，5，5符合条件，故C错，
对于选项D，1，4，4，5，6符合条件，故D错，
故选：B．
5．（5分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），长期的实验和分析表明，f（x）与x有以下关系：f（x）则下列说法错误的是（ ）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
【解答】解：由题意，f（x）
当0＜x≤10时，f（x）＝﹣0.1x2+2.6x+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，
故函数f（x）在（0，10]上单调递增，最大值为f（10）＝59.9；
当10＜x≤16时，f（x）＝59，故f（x）为常数函数，
当16＜x≤30时，f（x）＝﹣3x+107，故f（x）单调递减，所以f（x）＜f（16）＝59，
则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，
故选项A正确；
因为f（5）＝﹣0.1×（5﹣13）2+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5，
f（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，
所以讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点，
故选项B正确；
由选项A的分析可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强，
故选项C正确；
当0＜x≤10时，令f（x）＝55，
则﹣0.1×（x﹣13）2＝﹣4.9，所以（x﹣13）2＝49，
解得x＝20或x＝6，
又0＜x≤10，故x＝6，
当16＜x≤30时，令f（x）＝55，则﹣3x+107＝55，
解得x，
因此学生达到（或超过）55的接受能力的时间为6，
所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成，
故选项D错误．
故选：D．
6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝8，EF＝6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．66 C．126 D．105
【解答】解：按图2中的分割方式，中间为直三棱柱，
直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，
则直三棱柱的体积；
两侧为全等的两个四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积S，四棱锥的高为h＝3，
则两个四棱锥的体积．
∴该“羡除”的体积为V＝V1+V2＝63+21＝84．
故选：A．
7．（5分）在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，（m＞0，n＞0），则（ ）
A．m+n为定值 B．m•n为定值
C．4m+n的最小值为 D．m+4n的最小值为6
【解答】解：由题意可得m，∴（m ），
同理可得（n）．
由于、共线，∴，且λ＜0．
∴（m ）λ[（n）]，
∴mλ，λ（n）
故 m，n，
∴m+n，m•n均与λ取值有关，故AB错误；
4m+n＝1﹣λ（﹣λ）2，当且仅当λ时成立，故C正确；
m+4n（）2，当且仅当λ＝﹣2时成立，故D错误．
故选：C．
8．（5分）设函数f（x）的定义域为I，如果对任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，称函数f（x）为“D函数”，则下列函数为“D函数”的是（ ）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝ex+lnx
C．f（x）＝x2﹣2x
D．f（x）＝sinx﹣cosx+sinx•cosx
【解答】解：∵对任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，∴函数f（x）的值域关于原点对称，
f（x）＝3x的值域为（0，+∞），故A错误，
f（x）＝ex+lnx的值域为（﹣∞，+∞），故B正确，
f（x）＝x2﹣2x的值域为[﹣1，+∞），故C错误，
f（x）＝sinx﹣cosx+sinx•cosx＝sinx﹣cosx（sinx﹣cosx）2+（sinx﹣cosx），
∵sinx﹣cosx，∴f（x）≤1，故D错误，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点P是其所在平面内一点，（ ）
A．若，则点P在△ABC的中位线上
B．若3，则P为△ABC的重心
C．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形
D．若ccosB＝bcosC，则△ABC是等腰三角形
【解答】解：对于A，由，
得，即（）＝﹣1010（），
设AC的中点为E，BC的中点为F，可得1010，
则P、E、F三点共线，即点P在△ABC的中位线上，故A正确；
对于B，设BC中点为G，由3，得，
∴，即P为△ABC的重心，故B正确；
对于C，取a＝3，b＝5，c＝4，满足a2+b2＞c2，但a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，故C错误；
对于D，由ccosB＝bcosC，得sinCcosB＝sinBcosC，∴sin（C﹣B）＝0，
∵0＜C＜π，0＜B＜π，∴﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B＝0，即B＝C，△ABC为等腰三角形，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）
【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数n＝6×6＝36，
记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件A包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），
∴P（A），
事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件B包含的基本事件有18个，分别为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
∴P（B），
事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件C包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），
（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），
∴P（C），
事件AB包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
P（AB），
∵P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A、B是相互独立事件，故A正确；
事件B与C能同时发生，故事件B与C不是互斥事件，故B错误；
P（A）＝P（B）＝P（C），故C正确；
ABC包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
∴P（ABC）．故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）下列四个函数中，满足对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c）的是（ ）
A．f（x）＝1+2sin2x B．f（x）＝2x
C．f（x） D．f（x）＝ln（x+1）
【解答】解：若f（x）＝1+2sin2x，则f（a+b+c）＝1+2sin2（a+b+c），
f（a）+f（b）+f（c）＝1+2sin2a+1+2sin2b+1+2sin2c＝3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，
故1+2sin2（a+b+c）≤3≤3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，
故对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故A正确，
若f（x）＝2x，令a＝b＝c＝1，f（a+b+c）＝f（3）＝8，f（a）+f（b）+f（c）＝2+2+2＝6，故B错误，
若f（x），则f（a+b+c），f（a）+f（b）+f（c），
且（）2﹣（）2＝（a+b+c）﹣（a+b+c+222）＜0，故，
故对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故C正确，
若f（x）＝ln（x+1），则f（a+b+c）＝ln（a+b+c+1），
f（a）+f（b）+f（c）＝ln（a+1）+ln（b+1）+ln（c+1）＝ln[（a+1）•（b+1）•（c+1）]＝ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），
故ln（a+b+c+1）＜ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），
故对任意正数a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故D正确，
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（ ）
A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值
B．四面体D1DEF表面积为定值
C．异面直线B1E和AF所成角为90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°
【解答】解：对于A，因为四边形BEDF的面积为S＝SABCD﹣S△ABE﹣S△BCF＝1FC＝1（AE+BF）＝1（定值）．
∴四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值，故正确；
对于B，过D作DH⊥EF，连接D1H，则D1H⊥EF，设AE＝DF＝x，则DH，
∴D1H，S，
∴四面体D1DEF表面积为Sx×11，∴四面体D1DEF表面积为定值，故正确．
对于C，如图建立空间直角坐标系，设AE＝x，则E（1﹣x，0，0），F（0，x，0），B1（1，1，1），A（1，0，0），
则，，
∴x﹣x+0＝0，∴异面直线B1E和AF所成角为90°，故正确；
对于D，当AE＝DF时，可得二面角D1﹣EF﹣D就是∠DHD1，二面角B1﹣EF﹣B就是∠BHB1，
则tan∠DHD1＝2，tan∠bHb1，
tan（∠DHD1+∠BHB1），
此时二面角D1﹣EF﹣B1的正切值为，故错．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（i）（i）＝ 5 ．
【解答】解：（i）（i）．
故答案为：5．
14．（5分）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为12，则n＝ 28 ．
【解答】解：某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160．
采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，
其中高一年级被抽取的人数为12，
则n12，
解得n＝28．
故答案为：28．
15．（5分）已知||＝2||＝2，•1，则与的夹角为 ．
【解答】解：||＝2||＝2，•1，||
设与的夹角为θ，则cosθ，
θ∈[0，π]，
所以θ．
故答案为：．
16．（5分）在四棱台ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABFE，AE＝DE，P为侧棱AE上的动点，若二面角H﹣BC﹣A与二面角P﹣CD﹣B的大小相等．则PA的长为 ．
【解答】解：∵DE⊥平面ABFE，
∴DE⊥AB，
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADHE，
过点P作PM⊥AD，过点H作HN⊥AD，则PM⊥平面ABCD，HN⊥平面ABCD，
过点N作NK⊥BC，则∠PDM为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∠HKN为二面角H﹣BC﹣A的平面角，
又AE＝DE，
∴∠PAD＝45°，，
由题意，，
设PA＝x，则，
∴，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及图象的对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
【解答】解：（I），
所以最小正周期为，所有的周期为kπ，k∈Z且k≠0；
令，得，所以对称中心为；
（II）因为，所以，，
所以f（x）的值域为[﹣1，2]．
18．（12分）在直角坐标系中，O是坐标原点，向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若与的夹角不超过45°，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），
则，
因为，
则0，
故a+2b＝5，则（a+1）+2b＝6，
所以（）
，
当且仅当且a+2b＝5，即时取等号，
所以的最小值为；
（Ⅱ）因为（2，﹣1），（a，b），
则，
因为与的夹角不超过45°，
则，
即，
令，则t＞0，
所以，
故，解得，
又t＞0，
所以的取值范围为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求证：PC⊥PD；
（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
20．（12分）一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定的过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定的太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．该保险公司随机抽取50名保险推销员，统计了其2020年的月均推销额（单位：万元），将数据按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16）组比[12，14）组的频数多4．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a和b的值；
（Ⅱ）为调动推销员的积极性，公司设计了两种奖励方案．方案一：奖励月均推销额进入前60%的员工；方案二：奖励月均推销额达到或超过平均数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）的员工．你认为哪种方案更好？
【解答】解：（1）∵由频率分布直方图的性质，图中所有小矩形的面积之和等于1，
又∵[14，16）组比[12，14）组的频数多4，
∴，解得a＝0.03，b＝0.07．
（2）方案一，奖励月均推销额进入前60%的员工，
∵样本容量为50，
∴能获得奖励员工人数为50×60%＝30，
方案二，奖励月均推销额达到或超过平均数，
根据频率分布直方图，可得月均推销额的平均数为（0.03×2×13+0.07×2×15+0.12×2×17+0.14×2×19+0.1×2×21+0.04×2×23）＝18.32，
月均推销额低于18万的频率为2×（0.03+0.07+0.12）＝0.44，
∵本次抽样样本容量为50名保险推销员，
∴月均推销额低于18万的人数为50×0.44＝22，
∴月均推销额高于18万的人数比小于28，
综上所述，对比两种奖励方案，应选方案一，更多人员获得奖励．
21．（12分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表：
红色
白色
塑料球
木质球
塑料球
木质球
68个
136个
153个
51个
（Ⅰ）分别估计等可能地从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个得到塑料球的概率；
（Ⅱ）等可能地从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，估计这3个球中恰有2个塑料球的概率．
【解答】解：（Ⅰ）等可能地从仓库所有红色球中随机抽取1个，
基本事件总数n1＝68+136＝204，
其中得到塑料球包含的基本事件个数m1＝68，
∴得到塑料球的概率为P1，
等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，
基本事件总数n2＝153+51＝204，
其中得到塑料球包含的基本事件个数m2＝153，
∴得到塑料球的概率为P2．
（Ⅱ）等可能地从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，
等可能地从仓库所有白色球中随机抽取1个，
基本事件总数n4120902，
这3个球中恰有2个塑料球包含的基本事件个数：
m1531122，
∴估计这3个球中恰有2个塑料球的概率为P．
22．（12分）函数f（x）＝|2x+a﹣9|，g（x）＝﹣x2+（5﹣a）x+2a，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数g（x）为偶函数，求函数f（g（x）﹣7）的值域；
（Ⅱ）若不存在x∈R，使得f（x）＞6和g（x）＞6同时成立，求a的取值范围．
【解答】解：（ I ）∵g（x）为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），解得a＝5，
∴g（x）＝﹣x2+10，
g（x） 的值域为（﹣∞，10]，∴g（x）﹣7∈（﹣∞，3]．
而
∴f（g（x）﹣7）的值域为[0，4]．
（II）根据题意，即f（x）⩽6和g（x）⩽6解集的并集为 R．
先解 g（x）⩽6，得（x﹣2）（x+a﹣3）⩾0（*）．
①当a＝1时，（*）式显然成立，原命题成立；
②当a＜1时，（*）式解集为（﹣∞，2]⋃[3﹣a，+∞），
只需当2＜x＜3﹣a时，|2x+a﹣9|⩽6即可．
解得3﹣2x⩽a⩽15﹣2x，即﹣1⩽a⩽15﹣23﹣a，即得a∈[﹣1，1）．
③当a＞1时，（*）式解集为（﹣∞，3﹣a]∪[2，+∞），
只需当3﹣a＜x＜2时，|2x+a﹣9|⩽6即可．
解得3﹣2x⩽a⩽15﹣2x，即3﹣23﹣a⩽a⩽15﹣22，即得a∈（1，11]．
综上a的取值范围为[﹣1，11]．
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