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2022-2023学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合M={x|x2<1},N={x|x<12}，则M∪N=( )
A. {x|x<12} B. {x|−1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设a=(13)2.5,b=log35,c=3−2.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. c
A. 3：2 B. 3：1 C. 2：3 D. 1：3
5. 函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π3个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tanφ=( )
A. − 3 B. 3 C. − 33 D. 33
6. 兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格(单位：Q元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表所示：
时间t/(单位：天)
10
20
70
销售价格Q(单位：元/千克)
100
50
100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a⋅bt，Q=a⋅logbt.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为( )
A. 6月5日 B. 6月15日 C. 6月25日 D. 7月5日
7. 已知定义在R上的三个函数f(x)，g(x)，h(x)，其中f(x)为偶函数，g(x)，h(x)是奇函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)在R上单调递增，h(x)在R上单调递减，则( )
A. f(x)⋅g(x)是奇函数，且在(−∞,0)上单调递增
B. f(x)⋅g(x)是偶函数，且在(−∞,0)上单调递减
C. g(x)⋅h(x)是奇函数，且在(−∞,0)上单调递减
D. g(x)⋅h(x)是偶函数，且在(−∞,0)上单调递增
8. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱AA1，BC，CD的中点，则该正方体的外接球被平面EFG所截的圆的面积是( )
A. 1811π B. 2711π C. 2911π D. 3211π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知平面向量a,b的夹角为π3，且满足|a|=1,|b|=2，则( )
A. a⋅b=1 B. (a−b)⊥a
C. |a−b|= 3 D. b在a上的投影向量的模为32
10. 已知函数f(x)=x2+x+3x−m(m∈R)，则( )
A. x=1是f(x)的极值点 B. f(1)是f(x)的最小值
C. f(x)最多有2个零点 D. f(x)最少有1个零点
11. 三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD，BE⊥AC，BF⊥AD，
E，F分别为垂足，G为BD中点，则( )
A. 平面BEF⊥平面ABD
B. 平面BEF⊥平面ACD
C. 平面BEF⊥平面ABC
D. 平面BEF⊥平面AGC
12. 金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费x与每晚增加的客流量y存在如下关系：
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20
参考数据：y−=10,i=16xiyi=257,i=16xi2=91,i=162i=126,i=16(2i)2=5460,i=162iyi=1906
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b =i=1nx1y1−nx−⋅y−i=1nx12−nx−2,a =y−−b x−
现用曲线C：y=c1+c2×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c1，c2的最小二乘估计(精确到0.1)，依所求回归方程C为预测依据，则( )
A. c 1=5.8
B. 曲线C经过点(log221,10)
C. 广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人
D. 若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (x3−1x)12的展开式中常数项是______ .(用数字作答)
14. 函数f(x)=excosx在x=0处的切线方程是 ．
15. 现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率是______ ．
16. 已知函数f(x)=x2+a,x⩽0,ex−x,x>0,若f(f(x))>f(x)对任意的x∈[−2,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知α∈(0,π2),sin(α+π4)=cos2α．
(1)求α的大小；
(2)设函数f(x)=sin(x+2α)+2sin2x2，求f(x)在[0,π]上的最大值．
18. (本小题12.0分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示．
(1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值：
(2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率α=0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
合计
(P(χ2⩾6.635)=0.01,χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d)
19. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD是由△ABC与正△ACD拼接而成，设AB=1,sin∠BAC= 3sin∠ACB．
(1)当∠ABC=90°时，设BD=xBA+yBC，求x，y的值；
(2)当∠ABC=150°时，求线段BD的长．
20. (本小题12.0分)
如图四棱锥P−ABCD，点A，B，C，D在圆O上，AB=AD=2，∠BAD=120°，顶点P在底面的射影为圆心O，点E在线段PD上．
(1)若AB//CD，PE=λPD，当AE//平面PBC时，求λ的值；
(2)若AB与CD不平行，四棱锥P−ABCD的体积为 6,PO= 2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
21. (本小题12.0分)
袋子中有大小相同的12个白球和6个红球．
(1)若从袋中随机有放回地摸取3个球，记摸到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望；
(2)若把这18个球分别放到三个盒子中，其中0号盒子有1个红球5个白球，1号盒子有2个红球4个白球，2号盒子有3个红球3个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以3的余数为i(i=0,1,2)时，从i号盒子中摸取3个球.求摸出的3个球中至少有2个白球的概率．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2+1x−alnx(a>0)．
(1)若a=32，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，极值点为x0，证明：
(i)e
注：e为自然对数的底数，e=2.71828⋯．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合M={x|x2<1},N={x|x<12}，
即M={x|−1
故选：C．
解不等式求出集合M，结合集合的并集运算定义，可得答案．
本题考查的知识点是不等式的解法，集合的并集运算，难度不大，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：
依题意，
复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，
⇔a=0且b≠0，
∴“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件，
故选B．
由于复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件．
本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目．
3.【答案】D
【解析】解：a=3−2.5，c=3−2.3，
∴1=30>3−2.3>3−2.5，且log35>log33=1，
∴a
根据指数函数的单调性可得出1>c>a，根据对数函数的单调性可得出b>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，点P为正六棱锥的顶点，点O是底面中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，连接PM、AO、BO，
如图：
设其底面边长为a，则∠AOB=60°，易得△AOB为等边三角形，
则有OM= 32a，
又由其侧面和底面的夹角大小为60°，即∠PMO=60°，则有POOM= 3，变形可得PO=3a2，
则该正六棱锥的高和底面边长之比为3：2．
故选：A．
根据题意，作出六棱锥的简图，设其底面边长为a，由二面角的定义求出PO的值，计算可得答案．
本题考查棱锥的几何结构，涉及平面与平面所成的角，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π3个单位，得g(x)=sin(2x+2π3+φ)的图像，
又函数g(x)是偶函数，则有2π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ−π6，k∈Z，
所以tanφ=tan(kπ−π6)=− 33．
故选：C．
根据图像平移得函数g(x)的解析式，由函数g(x)是偶函数，解出φ，可得tanφ．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由提供的数据知，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系函数不是常数函数，也不是单调函数，
因为函数Q=at+b，Q=a⋅bt，Q=a⋅logbt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，
将表格所提供的三组数据(10,100)，(20,50)，(70,100)分别代入Q可得，
100a+10b+c=100400a+20b+c=504900a+70b+c=100，
解得a=110，b=−8，c=98，
所以Q=110t2−8t+98，
二次函数Q=110t2−8t+98的图象对称轴为t=−−82×110=40，且开口向上，
所以在对称轴处即t=40天时函数取得最小值，由15+40=55，且55−31+1=25，
所以此时对应的日期为6月25日．
故选：C．
由提供的数据知函数模型不是单调函数，可选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得求得函数解析式，由此求出结论．
本题考查了函数模型的选择与应用问题，也考查了利用建立数学模型解决实际应用问题，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)为偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递增，∴f(x)在(−∞,0]上单调递减，
∵g(x)，h(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增，h(x)在R上单调递减，
∴f(x)g(x)是奇函数，则B不正确，
g(x)h(x)是偶函数，则C不正确，
设x1
∴g(x1)h(x2)>0，
即−g(x1)>−g(x2)>0，
则−g(x1)h(x1)>−g(x2)h(x2)>0，
即g(x1)h(x1)
∴f(x1)>f(x2)，
若f(x1)>f(x2)>0，则−g(x1)f(x1)>−g(x2)f(x2)>0，即g(x1)f(x1)
故选：D．
根据函数奇偶性的性质判断函数f(x)g(x)和g(x)h(x)的奇偶性，利用函数单调性和不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性与单调性的关系以及不等式的性质进行证明是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：正方体的外接球直径2R为体对角线长 22+22+22=2 3，即R= 3，
取CC1中点P，连接PE，则PE中点O为外接球的球心，
于是O到平面EFG的距离是P到平面EFG的距离的一半，
过E作EM⊥FG，垂足为M，过P作PQ⊥EM，垂足为Q，连接AF，AG，AC，BD，
根据题干数据，EF= 1+5= 6，同理EG= 6，
由于PC=EA且PC//EA，则四边形PEAC为平行四边形，故PE//AC，
显然AC⊥BD，根据中位线性质FG//BD，则AC⊥FG，于是PE⊥FG，
又EM⊥FG，PE，EM⊂平面PEM，PE∩EM=E，则FG⊥平面PEM，
又PQ⊂平面PEM，故FG⊥PQ，又PQ⊥EM，FG∩EM=M，FG，EM⊂平面EFG，
故PQ⊥平面EFG，又AM=3 22，则EM= 222，sin∠AME=2 22，
由PE//AC，则sin∠PEM=sin∠AME=2 22，于是PQ=PEsin∠PEM=4 11，
即P到平面EFG的距离为4 11，于是O到平面EFG的距离是2 11，
设正方体的外接球被平面EFG所截的圆的半径为r，
则r= R2−(12PQ)2= 3−411= 2911，于是截面圆面积为πr2=29π11．
故选：C．
正方体的外接球直径即为体对角线的长，然后只需求出球心到平面EFG的距离，即可由勾股定理确定半径．
本题考查空间几何体的外接球问题，考查截面圆的面积的求法，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：选项A，a⋅b=|a|⋅|b|cosπ3=1×2×12=1，即A正确；
选项B，(a−b)⋅a=a2−b⋅a=1−1=0，所以(a−b)⊥a，即B正确；
选项C，|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 1−2×1+4= 3，即C正确；
选项D，b在a上的投影向量的模为|b|cosπ3=2×12=1，即D错误．
故选：ABC．
选项A，由平面向量数量积的定义，得解；
选项B，计算(a−b)⋅a的值，即可判断；
选项C，由|a−b|= (a−b)2，展开运算，得解；
选项D，b在a上的投影向量的模为|b|cosπ3，得解．
本题考查平面向量数量积的应用，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：已知f(x)=x2+x+3x−m(m∈R)，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
可得f′(x)=2x+1−3x2=(x−1)(2x2+3x+3)x2，
因为2x2+3x+3=2(x+34)2−98+3>0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当0
又f′(1)=0，
所以x=1是f(x)的极值点，故选项A正确；
不妨取x1=min{−4,−12− |1+m|}，
因为x1≤−4，
所以3x1≥−34，
此时f(x1)=x12+x1+3x1−m≥x12+x1−34−m=(x1+12)2−1−m，
因为x1≤−12− |1+m|，
所以(x1+12)2>|1+m|，
即f(x1)≥(x1+12)2−1−m≥|1+m|−1−m≥0，
所以当x0，
不妨取x2=max{−1,−13|m−1|}，
因为−1≤x2<0，
所以x22≤1，
此时f(x2)=x22+x2+3x2−m≤1+x2+3x2−m<1+3x2−m，
因为−13|m−1|≤x2<0，
所以3x2≤−|m−1|，
则f(x2)<1+3x2−m≤1−|m−1|−m=1−m−|m−1|≤0，
所以当x2
所以函数f(x)在(−∞,0)至少存在一个零点，故选项D正确；
当m>6时，f(1)=6−m<0，3m<1， m>1，
此时f(3m)=9m2+3m+m−m=9m2+3m>0，
当0
又f( m)=m+ m+3 m−m= m+3 m>0，
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以存在唯一x″∈(1, m)，使得f(x″)=0，
则当m>6时，f(x)在x>0上存在两个零点，
所以函数f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)上至少存在三个零点，故选项C错误；
当m<6时，f(1)=6−m>0，
因为当x<0时，f(x)<0，
所以f(1)不是函数f(x)的最小值，故选项B错误．
故选：AD．
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性和极值，进而判断选项A；结合零点存在性定理以及函数的性质即可判断选项D；分析函数f(x)在x>0上的零点个数，判断选项C；根据以上信息得到f(1)有可能大于零，判断选项B．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，则CD⊥平面ABC，
BE⊂平面ABC，则CD⊥BE，又AC⊥BE，AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，
则BE⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，则BE⊥AD，
又BF⊥AD，BE∩BF=B，BE，BF⊂平面BEF，则AD⊥平面BEF，
因为AD⊂平面ABD，所以平面BEF⊥平面ABD，故A正确；
对于B，因为BE⊥平面ACD，BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面ACD，故B正确；
对于C，若平面BEF⊥平面ABC，由平面BEF∩平面ABC=BE，AC⊂平面ABC，AC⊥BE，
则AC⊥平面BEF，又AD⊥平面BEF，则AC//AD，与AC与AD相交矛盾，故C错误；
对于D，记AG∩BF=H，若平面BEF⊥平面AGC，且平面BEF∩平面AGC=EH，
过B作BM⊥EH于M，连接AM，则BM⊥平面AGC，而CG⊂平面AGC，则BM⊥CG，
AB⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，则AB⊥CG，
BC=CD，G为BD的中点，则CG⊥BD，
又AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，则CG⊥平面ABD，
而BF⊂平面ABD，则CG⊥BF，
又BM⊥CG，BM∩BF=B，BM，BF⊂平面BMF，则CG⊥平面BMF，即CG⊥平面BEF，
又CG⊥平面ABD，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，故D错误．
故选：AB．
证明CD⊥平面ABC，BE⊥平面ACD，AD⊥平面BEF，结合面面垂直的判定定理可判断A；由BE⊥平面ACD，结合面面垂直的判定定理可判断B；若平面BEF⊥平面ABC，则可得AC与AD相交矛盾，从而可判断C；可证明CG⊥平面ABD，CG⊥平面BEF，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，从而可判断D．
本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：由题意i=162iyi=1906，y−=10，
16i=162i=16×126=21，i=16(2i)2=5460，
∴C1=10−3231407×21≈5.2，故A错误；
∴y =34767+3231407×2x=5.2+0.2⋅2x，
令x=log221，得y≈10，故B正确；
由上式可知，x每增加1，y应该平均增加0.4，故C错误；
若x>9，y>107.6，
而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确．
故选：BD．
根据题目中的数据，得出c1，c2的最小二乘估计，求出回归方程，逐个选项判断即可．
本题考查了求回归方程，考查最小二乘法，是中档题．
13.【答案】−220
【解析】解：由二项展开式的通项公式Tr+1=C12r⋅(x3)12−r⋅(−1x)r=C12r⋅x36−4r ⋅(−1)r，
当36−4r=0，即r=9时，展开式是常数项，
常数项为：−C129=−220．
故答案为：−220．
利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0，然后求出常数项．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．考查计算能力．
14.【答案】y=x+1
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
求出原函数的导函数，得到f′(0)，再求得f(0)，利用直线方程的斜截式得答案．
【解答】
解：由f(x)=excosx，得f′(x)=excosx−exsinx，
∴f′(0)=1，又f(0)=1，
∴函数f(x)=excosx在x=0处的切线方程是y=x+1．
故答案为：y=x+1．
15.【答案】16
【解析】解：甲乙丙三人每人一间随机安排共有A93种安排方法，
其中恰好只有甲乙两人住的房间相邻的方法有A77A22种，
∴恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率为：
P=A72A22A93=16．
故答案为：16．
利用捆绑法及排列数公式，结合古典概率公式能求出恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】{a|a<−6或a>0}
【解析】解：当x∈(0,+∞)时，f(x)=ex−x，f′(x)=ex−1>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x∈[−2,0]时，f(x)=x2+a，在[−2,0]上单调递减，
令t=f(x)，则当x∈[−2,0]时，f(x)∈[a,a+4]；当x∈(0,+∞)时，f(x)∈(1,+∞)，
则题意转化为t∈[a,a+4]∪(1，+∞)时，f(t)>t恒成立．
令φ(x)=ex−ex，x>0，则φ′(x)=ex−e，
当0
∴当t>0时，f(t)=et−t≥et−t=(e−1)t>t，恒成立．
当a>0时，t∈(1,+∞)，f(t)>t恒成立．
当a≤0且t∈(0,+∞)时，f(t)>t恒成立．
只需考虑a≤0且t∈[a,a+4]∩(−∞，0]时，f(t)=t2+a>t，即a>−t2+t恒成立，
当a≤−4时，t∈[a,a+4]，y=−t2+t单调递增，
则由a>−t2+t恒成立，得a>−(a+4)2+a+4，解得a<−6，
当−4
综上，实数a的取值范围是{a|a<−6或a>0}．
令t=f(x)，则题意转化为t∈[a,a+4]∪(1，+∞)时，f(t)>t恒成立，根据a与t的取值范围分类讨论，列出不等式求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为sin(α+π4)=cos2α，即sinαcosπ4+cosαsinπ4=cos2α−sin2α，
则 22(sinα+cosα)=cos2α−sin2α，
因为α∈(0,π2)，所以sinα+cosα≠0，
所以cosα−sinα= 22，
即sin(α+3π4)=12，
又α+3π4∈(3π4,5π4)，
所以α+3π4=5π6，
则α=π12；
(2)f(x)=sin(x+π6)+2sin2x2= 32sinx+12cosx+2×1−cosx2= 32sinx−12cosx+1=sin(x−π6)+1，
∵x∈[0,π]，
所以x−π6∈[−π6,5π6]，
当x−π6=π2时，f(x)的最大值为2．
【解析】(1)由三角恒等变换可得sin(α+3π4)=12，由α+3π4∈(3π4,5π4)，可得α+3π4=5π6，即可得答案；
(2)化简得f(x)=sin(x−π6)+1，结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换及正弦函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图知：(0.004+0.020+0.044+x+0.044+0.010+0.010)×5=1，
解得x=0.068；
(2)列联表如下：
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
60
40
100
新养殖法
34
66
100
合计
94
106
200
零假设为H0：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关，
χ2=200×(62×66−38×34)296×104×100×100≈15.705>6.635，
所以推断H0不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
【解析】(1)利用频率分布直方图种各个小矩形的面积之和为1，可求出x的值；
(2)结合(1)中列联表计算可得χ2，对比临界值即可得到结论．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，由AB=1,sin∠BAC= 3sin∠ACB，
可知BC= 3AB= 3．
由于∠ABC=π2，∴∠ACB=π6且AC=2，
∵△ACD为正三角形，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=π2，
∵DC=AC=2，∴CD=2BA，
∴BD=BC+CD=BC+2BA，
∵BD=xBA+yBC，∴x=2，y=1．
(2)在△ABC中，由余弦定理有：AC= AB2+BC2−2AB×BCcosB= 7，
所以cos∠BAC= 72+12− 322×1× 7=52 7,sin∠ACB= 32 7，
cos∠BAD=cos(∠BAC+π3)=52 7×12− 32 7× 32=12 7，
∴在△ABD中，由余弦定理：BD= AB2+AD2−2AB×ADcos∠BAD
= 12+ 72−2×1× 7×12 7= 7．
∴BD= 7．
【解析】(1)由条件求出BC，再由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得；
(2)在△ABC中，由余弦定理求出AC和∠BAC，从而求出cos∠BAD，在△ABD中，由余弦定理即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和解三角形等知识，属于中档题．
20.【答案】解：(1)过E作EF//PC交线段DC于F，连接AF，
因为EF//PC，PC⊂平面PBC，
所以EF//平面PBC，
又因为AE//平面PBC，EF∩AE=E，
所以平面AEF//平面PBC，
因为平面AEF∩平面ABCD=AF，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
所以AF//BC，
又因为AB//CD，
所以四边形ABCF是平行四边形，
所以CF=AB=2，而CD=4，
所以CF=12CD，得PE=12PD，
所以λ=12．
(2)因为VP−ABCD=13S四边形ABCD×PO，
又因为四棱锥P−ABCD的体积为 6,PO= 2，
所以 6=13S四边形ABCD× 2，
所以S四边形ABCD=3 3，
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×2×2sin120°+S△BCD，
所以3 3= 3+S△BCD，
所以S△BCD=2 3，
由余弦定理可得BD2=22+22−2×2×2×cos120°=12，则BD=2 3，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为R，则2R=BCsin120∘=4，
作直径BC′，由圆内接四边形对角互补，则∠BC′D=60°，
所以C′D=2Rcos60°=2，
S△BCD=12×DB×DC′=2 3，
所以C，C′重合，
所以BC为直径，且BC=4，
以O为原点，OB，OP为y，z轴，过O垂直于BC的方向为x轴，
如图建立空间直角坐标系：
则A( 3,1,0)，B(0,2,0)，C(0,−2,0)，P(0,0, 2)，
所以PA=( 3,1,− 2)，PB=(0,2,− 2)，PC=(0,−2,− 2)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=0n⋅PB=0，即 3x+y− 2z=02y− 2z=0，
令y=1，则z= 2，x= 33，
所以n=( 33,1, 2)，
设直线PC与平面PAB所成角为θ，则sinθ=|PC⋅n||PC||n|=4 6× 303=2 55，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为2 55．
【解析】(1)过E作EF//PC交线段DC于F，连接AF，由线面平行的判定可得EF//平面PBC，又AE//平面PBC，由面面平行的判定定理可得平面AEF//平面PBC，再由面面平行的性质定理可得AF//BC，进而可得四边形ABCF是平行四边形，进而可得答案．
(2)由VP−ABCD=13S四边形ABCD×PO，可得S四边形ABCD=3 3，进而可得S△BCD=2 3，由余弦定理可得BD，根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为R，则2R=BCsin120∘=4，作直径BC′，由圆内接四边形对角互补，则∠BC′D=60°，推出C，C′重合，以O为原点，OB，OP为y，z轴，过O垂直于BC的方向为x轴，建立空间直角坐标系，解得平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则直线PC与平面PAB所成角为θ，则sinθ=|PC⋅n||PC||n|，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，线面所成角，解题关键是利用空间向量法进行计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)方法1：ξ取值为0，1，2，3，每次取到白球的概率p=1218=23．
因为ξ∼B(3,23)，故E(ξ)=3×23=2
方法2：P(ξ=i)=C3i(23)i(13)3−i(i=0,1,2,3)
所以ξ分布列为
ξ
0
1
2
3
P
127
29
49
827
故E(ξ)=3×23=2
(2)抛掷两颗骰子，记点数之和除以3的余数等于i(i=0,1,2)为事件Ai，
则点数之和等于3，6，9，12的分别有：
等于3的(1,2)，(2,1)2种，
等于6的(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，
等于9的(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)4种，
等于12的(6,6)1种情况，
故P(A0)=2+5+4+136=13；
点数之和等于4，7，10的分别有：
等于4的(1,3)，(2,2)，(3,1)3种，
等于7的(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6种，
等于10的(4,6)，(5,5)，(6,4)3种，
故P(A1)=3+6+336=13；
点数之和等于2，5，8，11的分别有：
等于2的(1,1)1种，
等于5的(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)4种，
等于8的(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)5种，
等于11的(5,6)，(6,5)2种，
故P(A2)=1+4+5+236=13；
所以P(A0)=P(A1)=P(A2)=13；
法一：记摸出的3个球中至少有2个白球记为事件B，则
P(B|A0)=C52⋅C11C63+C53C63=1,P(B|A1)=C42⋅C21C63+C43C63=45
P(B|A2)=C32⋅C31C63+C33C63=12
由全概率公式可得：
P(B)=P(A0)⋅P(B|A0)+P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)
=13×1+13×45+13×12=2330；
法二：设事件A为摸出的3个球中没有白球，
则P(A)=13×C33C63=160，
设事件B为模出的3个球中只有1个白球，
则P(B)=13×C41C2233_6=1360，
因此，摸出的3个球中至少有2个白球的概率为：
1−P(A)−P(B)=1−160−160=2330．
【解析】(1)根据ξ服从二项分布，直接用公式求数学期望，或者算出ξ取不同值时的概率，再根据分布列求期望．
(2)先用列举法得到抛掷两颗骰子，点数之和除以3的余数为0，1，2的概率均为13，再分别计算三种情况下摸出的3个球中至少有两个白球的概率，最后用全概率公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，全概率公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)由f(x)=x2+1x−32lnx，可得f′(x)=(2x+1)(x−2)2x2，
令f′(x)>0，得x>2，令f′(x)<0，得0
(2)证明：(i)f′(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2，
设g(x)=x2−ax−1，g(0)=−1，g(1)=−a<0，g(a)=−1，g(a+1)=a>0，
∴存在唯一x0∈(a,a+1)且x0>1，使得g(x0)=0．
当x∈(0,x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，x0是极小值点．
若a⩽e，则f(x)min=f(x0)=x02+1x0−alnx0⩾x02+1x0−elnx0>x0−elnx0⩾0，不满足要求，
∴要使函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，则f(x0)<0，a>e．
∴e
∴f(x1)=x1+1x1−alnx1=0①，f(x2)=x2+1x2−alnx2=0②，
①−②，得x1−x2+1x1−1x2=a(lnx1−lnx2)，整理，得1−1x1x2=a(lnx1−lnx2)x1−x2③.
下证：x1−x2lnx1−lnx212lnx1x2，∴t−1t+1>12lnt．
令h(t)=12lnt−t−1t+1，则h′(t)=(t−1)22t(t+1)2>0，∴h(t)在(0,1)上单调递增，
又h(1)=0，∴h(t)=12lnt−t−1t+1<0，∴t−1t+1>12lnt，∴x1−x2lnx1−lnx2
∴x1+x2>2a+x1+x2x1x2>2a，∴x1+x2>2a．
【解析】(1)对f(x)求导，得f′(x)=(2x+1)(x−2)2x2，再由f′(x)>0，f′(x)<0求解；
(2)(i)f′(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2，设g(x)=x2−ax−1，由零点存在定理得到存在唯一x0∈(a,a+1)且x0>1，使得g(x0)=0，然后根据函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，由f(x0)<0，a>e求解；
(ii)由f(x1)=x1+1x1−alnx1=0，f(x2)=x2+1x2−alnx2=0，得x1−x2+1x1−1x2=a(lnx1−lnx2)，整理为x1−x2lnx1−lnx212lnx1x2，即t−1t+1>12lnt，利用导数法证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．
2022-2023学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合M={x|x2<1},N={x|x<12}，则M∪N=( )
A. {x|x<12} B. {x|−1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设a=(13)2.5,b=log35,c=3−2.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. c
A. 3：2 B. 3：1 C. 2：3 D. 1：3
5. 函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π3个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tanφ=( )
A. − 3 B. 3 C. − 33 D. 33
6. 兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格(单位：Q元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表所示：
时间t/(单位：天)
10
20
70
销售价格Q(单位：元/千克)
100
50
100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a⋅bt，Q=a⋅logbt.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为( )
A. 6月5日 B. 6月15日 C. 6月25日 D. 7月5日
7. 已知定义在R上的三个函数f(x)，g(x)，h(x)，其中f(x)为偶函数，g(x)，h(x)是奇函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)在R上单调递增，h(x)在R上单调递减，则( )
A. f(x)⋅g(x)是奇函数，且在(−∞,0)上单调递增
B. f(x)⋅g(x)是偶函数，且在(−∞,0)上单调递减
C. g(x)⋅h(x)是奇函数，且在(−∞,0)上单调递减
D. g(x)⋅h(x)是偶函数，且在(−∞,0)上单调递增
8. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱AA1，BC，CD的中点，则该正方体的外接球被平面EFG所截的圆的面积是( )
A. 1811π B. 2711π C. 2911π D. 3211π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知平面向量a,b的夹角为π3，且满足|a|=1,|b|=2，则( )
A. a⋅b=1 B. (a−b)⊥a
C. |a−b|= 3 D. b在a上的投影向量的模为32
10. 已知函数f(x)=x2+x+3x−m(m∈R)，则( )
A. x=1是f(x)的极值点 B. f(1)是f(x)的最小值
C. f(x)最多有2个零点 D. f(x)最少有1个零点
11. 三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD，BE⊥AC，BF⊥AD，
E，F分别为垂足，G为BD中点，则( )
A. 平面BEF⊥平面ABD
B. 平面BEF⊥平面ACD
C. 平面BEF⊥平面ABC
D. 平面BEF⊥平面AGC
12. 金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费x与每晚增加的客流量y存在如下关系：
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20
参考数据：y−=10,i=16xiyi=257,i=16xi2=91,i=162i=126,i=16(2i)2=5460,i=162iyi=1906
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b =i=1nx1y1−nx−⋅y−i=1nx12−nx−2,a =y−−b x−
现用曲线C：y=c1+c2×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c1，c2的最小二乘估计(精确到0.1)，依所求回归方程C为预测依据，则( )
A. c 1=5.8
B. 曲线C经过点(log221,10)
C. 广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人
D. 若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (x3−1x)12的展开式中常数项是______ .(用数字作答)
14. 函数f(x)=excosx在x=0处的切线方程是 ．
15. 现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率是______ ．
16. 已知函数f(x)=x2+a,x⩽0,ex−x,x>0,若f(f(x))>f(x)对任意的x∈[−2,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知α∈(0,π2),sin(α+π4)=cos2α．
(1)求α的大小；
(2)设函数f(x)=sin(x+2α)+2sin2x2，求f(x)在[0,π]上的最大值．
18. (本小题12.0分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示．
(1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值：
(2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率α=0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
合计
(P(χ2⩾6.635)=0.01,χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d)
19. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD是由△ABC与正△ACD拼接而成，设AB=1,sin∠BAC= 3sin∠ACB．
(1)当∠ABC=90°时，设BD=xBA+yBC，求x，y的值；
(2)当∠ABC=150°时，求线段BD的长．
20. (本小题12.0分)
如图四棱锥P−ABCD，点A，B，C，D在圆O上，AB=AD=2，∠BAD=120°，顶点P在底面的射影为圆心O，点E在线段PD上．
(1)若AB//CD，PE=λPD，当AE//平面PBC时，求λ的值；
(2)若AB与CD不平行，四棱锥P−ABCD的体积为 6,PO= 2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
21. (本小题12.0分)
袋子中有大小相同的12个白球和6个红球．
(1)若从袋中随机有放回地摸取3个球，记摸到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望；
(2)若把这18个球分别放到三个盒子中，其中0号盒子有1个红球5个白球，1号盒子有2个红球4个白球，2号盒子有3个红球3个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以3的余数为i(i=0,1,2)时，从i号盒子中摸取3个球.求摸出的3个球中至少有2个白球的概率．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2+1x−alnx(a>0)．
(1)若a=32，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，极值点为x0，证明：
(i)e
注：e为自然对数的底数，e=2.71828⋯．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合M={x|x2<1},N={x|x<12}，
即M={x|−1
故选：C．
解不等式求出集合M，结合集合的并集运算定义，可得答案．
本题考查的知识点是不等式的解法，集合的并集运算，难度不大，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：
依题意，
复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，
⇔a=0且b≠0，
∴“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件，
故选B．
由于复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件．
本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目．
3.【答案】D
【解析】解：a=3−2.5，c=3−2.3，
∴1=30>3−2.3>3−2.5，且log35>log33=1，
∴a
根据指数函数的单调性可得出1>c>a，根据对数函数的单调性可得出b>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，点P为正六棱锥的顶点，点O是底面中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，连接PM、AO、BO，
如图：
设其底面边长为a，则∠AOB=60°，易得△AOB为等边三角形，
则有OM= 32a，
又由其侧面和底面的夹角大小为60°，即∠PMO=60°，则有POOM= 3，变形可得PO=3a2，
则该正六棱锥的高和底面边长之比为3：2．
故选：A．
根据题意，作出六棱锥的简图，设其底面边长为a，由二面角的定义求出PO的值，计算可得答案．
本题考查棱锥的几何结构，涉及平面与平面所成的角，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π3个单位，得g(x)=sin(2x+2π3+φ)的图像，
又函数g(x)是偶函数，则有2π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ−π6，k∈Z，
所以tanφ=tan(kπ−π6)=− 33．
故选：C．
根据图像平移得函数g(x)的解析式，由函数g(x)是偶函数，解出φ，可得tanφ．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由提供的数据知，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系函数不是常数函数，也不是单调函数，
因为函数Q=at+b，Q=a⋅bt，Q=a⋅logbt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，
将表格所提供的三组数据(10,100)，(20,50)，(70,100)分别代入Q可得，
100a+10b+c=100400a+20b+c=504900a+70b+c=100，
解得a=110，b=−8，c=98，
所以Q=110t2−8t+98，
二次函数Q=110t2−8t+98的图象对称轴为t=−−82×110=40，且开口向上，
所以在对称轴处即t=40天时函数取得最小值，由15+40=55，且55−31+1=25，
所以此时对应的日期为6月25日．
故选：C．
由提供的数据知函数模型不是单调函数，可选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得求得函数解析式，由此求出结论．
本题考查了函数模型的选择与应用问题，也考查了利用建立数学模型解决实际应用问题，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)为偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递增，∴f(x)在(−∞,0]上单调递减，
∵g(x)，h(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增，h(x)在R上单调递减，
∴f(x)g(x)是奇函数，则B不正确，
g(x)h(x)是偶函数，则C不正确，
设x1
∴g(x1)
即−g(x1)>−g(x2)>0，
则−g(x1)h(x1)>−g(x2)h(x2)>0，
即g(x1)h(x1)
∴f(x1)>f(x2)，
若f(x1)>f(x2)>0，则−g(x1)f(x1)>−g(x2)f(x2)>0，即g(x1)f(x1)
故选：D．
根据函数奇偶性的性质判断函数f(x)g(x)和g(x)h(x)的奇偶性，利用函数单调性和不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性与单调性的关系以及不等式的性质进行证明是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：正方体的外接球直径2R为体对角线长 22+22+22=2 3，即R= 3，
取CC1中点P，连接PE，则PE中点O为外接球的球心，
于是O到平面EFG的距离是P到平面EFG的距离的一半，
过E作EM⊥FG，垂足为M，过P作PQ⊥EM，垂足为Q，连接AF，AG，AC，BD，
根据题干数据，EF= 1+5= 6，同理EG= 6，
由于PC=EA且PC//EA，则四边形PEAC为平行四边形，故PE//AC，
显然AC⊥BD，根据中位线性质FG//BD，则AC⊥FG，于是PE⊥FG，
又EM⊥FG，PE，EM⊂平面PEM，PE∩EM=E，则FG⊥平面PEM，
又PQ⊂平面PEM，故FG⊥PQ，又PQ⊥EM，FG∩EM=M，FG，EM⊂平面EFG，
故PQ⊥平面EFG，又AM=3 22，则EM= 222，sin∠AME=2 22，
由PE//AC，则sin∠PEM=sin∠AME=2 22，于是PQ=PEsin∠PEM=4 11，
即P到平面EFG的距离为4 11，于是O到平面EFG的距离是2 11，
设正方体的外接球被平面EFG所截的圆的半径为r，
则r= R2−(12PQ)2= 3−411= 2911，于是截面圆面积为πr2=29π11．
故选：C．
正方体的外接球直径即为体对角线的长，然后只需求出球心到平面EFG的距离，即可由勾股定理确定半径．
本题考查空间几何体的外接球问题，考查截面圆的面积的求法，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：选项A，a⋅b=|a|⋅|b|cosπ3=1×2×12=1，即A正确；
选项B，(a−b)⋅a=a2−b⋅a=1−1=0，所以(a−b)⊥a，即B正确；
选项C，|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 1−2×1+4= 3，即C正确；
选项D，b在a上的投影向量的模为|b|cosπ3=2×12=1，即D错误．
故选：ABC．
选项A，由平面向量数量积的定义，得解；
选项B，计算(a−b)⋅a的值，即可判断；
选项C，由|a−b|= (a−b)2，展开运算，得解；
选项D，b在a上的投影向量的模为|b|cosπ3，得解．
本题考查平面向量数量积的应用，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：已知f(x)=x2+x+3x−m(m∈R)，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
可得f′(x)=2x+1−3x2=(x−1)(2x2+3x+3)x2，
因为2x2+3x+3=2(x+34)2−98+3>0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当0
又f′(1)=0，
所以x=1是f(x)的极值点，故选项A正确；
不妨取x1=min{−4,−12− |1+m|}，
因为x1≤−4，
所以3x1≥−34，
此时f(x1)=x12+x1+3x1−m≥x12+x1−34−m=(x1+12)2−1−m，
因为x1≤−12− |1+m|，
所以(x1+12)2>|1+m|，
即f(x1)≥(x1+12)2−1−m≥|1+m|−1−m≥0，
所以当x
不妨取x2=max{−1,−13|m−1|}，
因为−1≤x2<0，
所以x22≤1，
此时f(x2)=x22+x2+3x2−m≤1+x2+3x2−m<1+3x2−m，
因为−13|m−1|≤x2<0，
所以3x2≤−|m−1|，
则f(x2)<1+3x2−m≤1−|m−1|−m=1−m−|m−1|≤0，
所以当x2
所以函数f(x)在(−∞,0)至少存在一个零点，故选项D正确；
当m>6时，f(1)=6−m<0，3m<1， m>1，
此时f(3m)=9m2+3m+m−m=9m2+3m>0，
当0
又f( m)=m+ m+3 m−m= m+3 m>0，
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以存在唯一x″∈(1, m)，使得f(x″)=0，
则当m>6时，f(x)在x>0上存在两个零点，
所以函数f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)上至少存在三个零点，故选项C错误；
当m<6时，f(1)=6−m>0，
因为当x<0时，f(x)<0，
所以f(1)不是函数f(x)的最小值，故选项B错误．
故选：AD．
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性和极值，进而判断选项A；结合零点存在性定理以及函数的性质即可判断选项D；分析函数f(x)在x>0上的零点个数，判断选项C；根据以上信息得到f(1)有可能大于零，判断选项B．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，则CD⊥平面ABC，
BE⊂平面ABC，则CD⊥BE，又AC⊥BE，AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，
则BE⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，则BE⊥AD，
又BF⊥AD，BE∩BF=B，BE，BF⊂平面BEF，则AD⊥平面BEF，
因为AD⊂平面ABD，所以平面BEF⊥平面ABD，故A正确；
对于B，因为BE⊥平面ACD，BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面ACD，故B正确；
对于C，若平面BEF⊥平面ABC，由平面BEF∩平面ABC=BE，AC⊂平面ABC，AC⊥BE，
则AC⊥平面BEF，又AD⊥平面BEF，则AC//AD，与AC与AD相交矛盾，故C错误；
对于D，记AG∩BF=H，若平面BEF⊥平面AGC，且平面BEF∩平面AGC=EH，
过B作BM⊥EH于M，连接AM，则BM⊥平面AGC，而CG⊂平面AGC，则BM⊥CG，
AB⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，则AB⊥CG，
BC=CD，G为BD的中点，则CG⊥BD，
又AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，则CG⊥平面ABD，
而BF⊂平面ABD，则CG⊥BF，
又BM⊥CG，BM∩BF=B，BM，BF⊂平面BMF，则CG⊥平面BMF，即CG⊥平面BEF，
又CG⊥平面ABD，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，故D错误．
故选：AB．
证明CD⊥平面ABC，BE⊥平面ACD，AD⊥平面BEF，结合面面垂直的判定定理可判断A；由BE⊥平面ACD，结合面面垂直的判定定理可判断B；若平面BEF⊥平面ABC，则可得AC与AD相交矛盾，从而可判断C；可证明CG⊥平面ABD，CG⊥平面BEF，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，从而可判断D．
本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：由题意i=162iyi=1906，y−=10，
16i=162i=16×126=21，i=16(2i)2=5460，
∴C1=10−3231407×21≈5.2，故A错误；
∴y =34767+3231407×2x=5.2+0.2⋅2x，
令x=log221，得y≈10，故B正确；
由上式可知，x每增加1，y应该平均增加0.4，故C错误；
若x>9，y>107.6，
而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确．
故选：BD．
根据题目中的数据，得出c1，c2的最小二乘估计，求出回归方程，逐个选项判断即可．
本题考查了求回归方程，考查最小二乘法，是中档题．
13.【答案】−220
【解析】解：由二项展开式的通项公式Tr+1=C12r⋅(x3)12−r⋅(−1x)r=C12r⋅x36−4r ⋅(−1)r，
当36−4r=0，即r=9时，展开式是常数项，
常数项为：−C129=−220．
故答案为：−220．
利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0，然后求出常数项．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．考查计算能力．
14.【答案】y=x+1
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
求出原函数的导函数，得到f′(0)，再求得f(0)，利用直线方程的斜截式得答案．
【解答】
解：由f(x)=excosx，得f′(x)=excosx−exsinx，
∴f′(0)=1，又f(0)=1，
∴函数f(x)=excosx在x=0处的切线方程是y=x+1．
故答案为：y=x+1．
15.【答案】16
【解析】解：甲乙丙三人每人一间随机安排共有A93种安排方法，
其中恰好只有甲乙两人住的房间相邻的方法有A77A22种，
∴恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率为：
P=A72A22A93=16．
故答案为：16．
利用捆绑法及排列数公式，结合古典概率公式能求出恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】{a|a<−6或a>0}
【解析】解：当x∈(0,+∞)时，f(x)=ex−x，f′(x)=ex−1>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x∈[−2,0]时，f(x)=x2+a，在[−2,0]上单调递减，
令t=f(x)，则当x∈[−2,0]时，f(x)∈[a,a+4]；当x∈(0,+∞)时，f(x)∈(1,+∞)，
则题意转化为t∈[a,a+4]∪(1，+∞)时，f(t)>t恒成立．
令φ(x)=ex−ex，x>0，则φ′(x)=ex−e，
当0
∴当t>0时，f(t)=et−t≥et−t=(e−1)t>t，恒成立．
当a>0时，t∈(1,+∞)，f(t)>t恒成立．
当a≤0且t∈(0,+∞)时，f(t)>t恒成立．
只需考虑a≤0且t∈[a,a+4]∩(−∞，0]时，f(t)=t2+a>t，即a>−t2+t恒成立，
当a≤−4时，t∈[a,a+4]，y=−t2+t单调递增，
则由a>−t2+t恒成立，得a>−(a+4)2+a+4，解得a<−6，
当−4
综上，实数a的取值范围是{a|a<−6或a>0}．
令t=f(x)，则题意转化为t∈[a,a+4]∪(1，+∞)时，f(t)>t恒成立，根据a与t的取值范围分类讨论，列出不等式求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为sin(α+π4)=cos2α，即sinαcosπ4+cosαsinπ4=cos2α−sin2α，
则 22(sinα+cosα)=cos2α−sin2α，
因为α∈(0,π2)，所以sinα+cosα≠0，
所以cosα−sinα= 22，
即sin(α+3π4)=12，
又α+3π4∈(3π4,5π4)，
所以α+3π4=5π6，
则α=π12；
(2)f(x)=sin(x+π6)+2sin2x2= 32sinx+12cosx+2×1−cosx2= 32sinx−12cosx+1=sin(x−π6)+1，
∵x∈[0,π]，
所以x−π6∈[−π6,5π6]，
当x−π6=π2时，f(x)的最大值为2．
【解析】(1)由三角恒等变换可得sin(α+3π4)=12，由α+3π4∈(3π4,5π4)，可得α+3π4=5π6，即可得答案；
(2)化简得f(x)=sin(x−π6)+1，结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换及正弦函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图知：(0.004+0.020+0.044+x+0.044+0.010+0.010)×5=1，
解得x=0.068；
(2)列联表如下：
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
60
40
100
新养殖法
34
66
100
合计
94
106
200
零假设为H0：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关，
χ2=200×(62×66−38×34)296×104×100×100≈15.705>6.635，
所以推断H0不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
【解析】(1)利用频率分布直方图种各个小矩形的面积之和为1，可求出x的值；
(2)结合(1)中列联表计算可得χ2，对比临界值即可得到结论．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，由AB=1,sin∠BAC= 3sin∠ACB，
可知BC= 3AB= 3．
由于∠ABC=π2，∴∠ACB=π6且AC=2，
∵△ACD为正三角形，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=π2，
∵DC=AC=2，∴CD=2BA，
∴BD=BC+CD=BC+2BA，
∵BD=xBA+yBC，∴x=2，y=1．
(2)在△ABC中，由余弦定理有：AC= AB2+BC2−2AB×BCcosB= 7，
所以cos∠BAC= 72+12− 322×1× 7=52 7,sin∠ACB= 32 7，
cos∠BAD=cos(∠BAC+π3)=52 7×12− 32 7× 32=12 7，
∴在△ABD中，由余弦定理：BD= AB2+AD2−2AB×ADcos∠BAD
= 12+ 72−2×1× 7×12 7= 7．
∴BD= 7．
【解析】(1)由条件求出BC，再由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得；
(2)在△ABC中，由余弦定理求出AC和∠BAC，从而求出cos∠BAD，在△ABD中，由余弦定理即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和解三角形等知识，属于中档题．
20.【答案】解：(1)过E作EF//PC交线段DC于F，连接AF，
因为EF//PC，PC⊂平面PBC，
所以EF//平面PBC，
又因为AE//平面PBC，EF∩AE=E，
所以平面AEF//平面PBC，
因为平面AEF∩平面ABCD=AF，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
所以AF//BC，
又因为AB//CD，
所以四边形ABCF是平行四边形，
所以CF=AB=2，而CD=4，
所以CF=12CD，得PE=12PD，
所以λ=12．
(2)因为VP−ABCD=13S四边形ABCD×PO，
又因为四棱锥P−ABCD的体积为 6,PO= 2，
所以 6=13S四边形ABCD× 2，
所以S四边形ABCD=3 3，
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×2×2sin120°+S△BCD，
所以3 3= 3+S△BCD，
所以S△BCD=2 3，
由余弦定理可得BD2=22+22−2×2×2×cos120°=12，则BD=2 3，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为R，则2R=BCsin120∘=4，
作直径BC′，由圆内接四边形对角互补，则∠BC′D=60°，
所以C′D=2Rcos60°=2，
S△BCD=12×DB×DC′=2 3，
所以C，C′重合，
所以BC为直径，且BC=4，
以O为原点，OB，OP为y，z轴，过O垂直于BC的方向为x轴，
如图建立空间直角坐标系：
则A( 3,1,0)，B(0,2,0)，C(0,−2,0)，P(0,0, 2)，
所以PA=( 3,1,− 2)，PB=(0,2,− 2)，PC=(0,−2,− 2)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=0n⋅PB=0，即 3x+y− 2z=02y− 2z=0，
令y=1，则z= 2，x= 33，
所以n=( 33,1, 2)，
设直线PC与平面PAB所成角为θ，则sinθ=|PC⋅n||PC||n|=4 6× 303=2 55，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为2 55．
【解析】(1)过E作EF//PC交线段DC于F，连接AF，由线面平行的判定可得EF//平面PBC，又AE//平面PBC，由面面平行的判定定理可得平面AEF//平面PBC，再由面面平行的性质定理可得AF//BC，进而可得四边形ABCF是平行四边形，进而可得答案．
(2)由VP−ABCD=13S四边形ABCD×PO，可得S四边形ABCD=3 3，进而可得S△BCD=2 3，由余弦定理可得BD，根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为R，则2R=BCsin120∘=4，作直径BC′，由圆内接四边形对角互补，则∠BC′D=60°，推出C，C′重合，以O为原点，OB，OP为y，z轴，过O垂直于BC的方向为x轴，建立空间直角坐标系，解得平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则直线PC与平面PAB所成角为θ，则sinθ=|PC⋅n||PC||n|，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，线面所成角，解题关键是利用空间向量法进行计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)方法1：ξ取值为0，1，2，3，每次取到白球的概率p=1218=23．
因为ξ∼B(3,23)，故E(ξ)=3×23=2
方法2：P(ξ=i)=C3i(23)i(13)3−i(i=0,1,2,3)
所以ξ分布列为
ξ
0
1
2
3
P
127
29
49
827
故E(ξ)=3×23=2
(2)抛掷两颗骰子，记点数之和除以3的余数等于i(i=0,1,2)为事件Ai，
则点数之和等于3，6，9，12的分别有：
等于3的(1,2)，(2,1)2种，
等于6的(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，
等于9的(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)4种，
等于12的(6,6)1种情况，
故P(A0)=2+5+4+136=13；
点数之和等于4，7，10的分别有：
等于4的(1,3)，(2,2)，(3,1)3种，
等于7的(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6种，
等于10的(4,6)，(5,5)，(6,4)3种，
故P(A1)=3+6+336=13；
点数之和等于2，5，8，11的分别有：
等于2的(1,1)1种，
等于5的(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)4种，
等于8的(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)5种，
等于11的(5,6)，(6,5)2种，
故P(A2)=1+4+5+236=13；
所以P(A0)=P(A1)=P(A2)=13；
法一：记摸出的3个球中至少有2个白球记为事件B，则
P(B|A0)=C52⋅C11C63+C53C63=1,P(B|A1)=C42⋅C21C63+C43C63=45
P(B|A2)=C32⋅C31C63+C33C63=12
由全概率公式可得：
P(B)=P(A0)⋅P(B|A0)+P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)
=13×1+13×45+13×12=2330；
法二：设事件A为摸出的3个球中没有白球，
则P(A)=13×C33C63=160，
设事件B为模出的3个球中只有1个白球，
则P(B)=13×C41C2233_6=1360，
因此，摸出的3个球中至少有2个白球的概率为：
1−P(A)−P(B)=1−160−160=2330．
【解析】(1)根据ξ服从二项分布，直接用公式求数学期望，或者算出ξ取不同值时的概率，再根据分布列求期望．
(2)先用列举法得到抛掷两颗骰子，点数之和除以3的余数为0，1，2的概率均为13，再分别计算三种情况下摸出的3个球中至少有两个白球的概率，最后用全概率公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，全概率公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)由f(x)=x2+1x−32lnx，可得f′(x)=(2x+1)(x−2)2x2，
令f′(x)>0，得x>2，令f′(x)<0，得0
(2)证明：(i)f′(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2，
设g(x)=x2−ax−1，g(0)=−1，g(1)=−a<0，g(a)=−1，g(a+1)=a>0，
∴存在唯一x0∈(a,a+1)且x0>1，使得g(x0)=0．
当x∈(0,x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，x0是极小值点．
若a⩽e，则f(x)min=f(x0)=x02+1x0−alnx0⩾x02+1x0−elnx0>x0−elnx0⩾0，不满足要求，
∴要使函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，则f(x0)<0，a>e．
∴e
∴f(x1)=x1+1x1−alnx1=0①，f(x2)=x2+1x2−alnx2=0②，
①−②，得x1−x2+1x1−1x2=a(lnx1−lnx2)，整理，得1−1x1x2=a(lnx1−lnx2)x1−x2③.
下证：x1−x2lnx1−lnx2
令h(t)=12lnt−t−1t+1，则h′(t)=(t−1)22t(t+1)2>0，∴h(t)在(0,1)上单调递增，
又h(1)=0，∴h(t)=12lnt−t−1t+1<0，∴t−1t+1>12lnt，∴x1−x2lnx1−lnx2
∴x1+x2>2a+x1+x2x1x2>2a，∴x1+x2>2a．
【解析】(1)对f(x)求导，得f′(x)=(2x+1)(x−2)2x2，再由f′(x)>0，f′(x)<0求解；
(2)(i)f′(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2，设g(x)=x2−ax−1，由零点存在定理得到存在唯一x0∈(a,a+1)且x0>1，使得g(x0)=0，然后根据函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，由f(x0)<0，a>e求解；
(ii)由f(x1)=x1+1x1−alnx1=0，f(x2)=x2+1x2−alnx2=0，得x1−x2+1x1−1x2=a(lnx1−lnx2)，整理为x1−x2lnx1−lnx2
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．
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