高中数学3.3 对数函数y=loga x的图像和性质第1课时课后作业题

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对数函数y＝logax的图象和性质新课程标准解读核心素养1.进一步理解对数函数的图象和性质直观想象2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题数学运算 第1课时　对数函数的图象和性质观察图形，回答下列问题：[问题]　(1)观察图①所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图②所示，那么a，b，c的大小关系如何？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　对数函数的图象和性质 a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：(3)过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞；当0＜x＜1时，y＜(4)当x＞1时，y＜；当0＜x＜1时，y＞(5)在定义域(0，＋∞)上是函数；当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大(5)在定义域(0，＋∞)上是函数；当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大对数函数图象的再理解(1)对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内；(2)①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0.简记为：同区间为正，异区间为负．　　　　 1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)解析：选C　由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度得到(或令x＝0 得y＝0，而且函数为增函数)．2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>cC．c>b>a  D．c>a>b解析：选A　a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln 2<ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a>b>c.3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)A．0＜a＜b＜1  B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1  D．b＞a＞1解析：选B　作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.4．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．答案：(1，＋∞)对数型函数的定义域[例1]　(链接教科书第111页例6)求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．[解]　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2.故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．(2)要使函数式有意义，需即解得x≥4.故函数y＝的定义域是{x|x≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.故函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}．(4)要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2.故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}．求对数型函数定义域的原则(1)分母不能为0；(2)根指数为偶数时，被开方数非负；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　　　 [跟踪训练]求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝＋ln(x＋1)．解：(1)要使函数有意义，需即即－3<x<－2或x≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需即∴－1<x<2.故所求函数的定义域为(－1，2).对数型函数的图象[例2]　(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．(1)[解析]　y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.[答案]　C(2)[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　 [跟踪训练]1．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(　　)A．(1，1)　　　　　　　 B．(1，2)C．(2，1)  D．(2，2)解析：选C　令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝loga1＋1＝1，因此f(x)的图象恒过点(2，1)．故选C.2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．解析：当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0<a<1时，对数函数y＝logax的图象是下降的．对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向．故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，.答案：，，，3．作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示． 比较对数值的大小[例3]　(链接教科书第111页例7)比较下列各题中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)．[解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9<2，所以log31.9<log32.(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)π>3.14，当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，有logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，有logaπ<loga3.14.综上可得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.比较对数值大小时常用的4种方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．　　　　 [跟踪训练]比较下列各组对数值的大小：(1)log与log；(2)3log45，2log23；(3)log0.3与log3.解：(1)因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，且<，所以log>log.(2)∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log45>2log23.(3)由对数的性质知log0.3>0>log3，所以log0.3>log3.求解对数不等式[例4]　解不等式：(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．[解]　(1)原不等式等价于解得＜x≤3.所以不等式的解集为.(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．当a＞1时，不等式等价于 无解．当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．常见对数不等式的2种解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　 [跟踪训练]1．求满足不等式log3x<1的x的取值集合．解：∵log3x<1＝log33，∴x满足的条件为即0<x<3.∴x的取值集合为{x|0<x<3}．2．已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．解：∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，得解得x>1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．1．函数f(x)＝的定义域为(　　)A．[1，2)  B．(－∞，1)C．(1，2)  D．(－∞，2)解析：选A　要使f(x)有意义，则解得1≤x<2，∴f(x)的定义域为[1，2)．故选A.2．(多选)已知a>0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)解析：选ABD　对于A，由指数函数和对数函数知a>1，而由一次函数知a<1，不符合；对于B，∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指数函数和对数函数知0<a<1，而由一次函数知a>1，不符合．3．函数y＝loga(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是(　　)A．(1，0)  B．(2，0)C．(3，0)  D．(4，0)解析：选C　令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．4．三个数a＝3，b＝，c＝log3的大小顺序为(　　)A．b<c<a  B．b<a<cC．c<a<b  D．c<b<a解析：选D　a＝3>1，0<b＝<1，c＝log3<0，所以a>b>c.5．已知loga>1，求a的取值范围．解：由loga>1得loga>logaa.①当a>1时，有a<，此时无解；②当0<a<1时，有<a，从而<a<1.所以a的取值范围是.