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新人教A版高考数学二轮复习专题一集合与常用逻辑用语2常用逻辑用语专题检测含解析
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这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题一集合与常用逻辑用语2常用逻辑用语专题检测含解析，共20页。试卷主要包含了下列说法正确的个数是，下列命题中,正确的是，设p，以下四个命题中,真命题的个数是等内容，欢迎下载使用。
常用逻辑用语
专题检测
1.(2019北京十四中10月月考,4)设x>0,y∈R,则“x>y”是“lnx>lny”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B lnx>lny等价于x>y>0,其构成的集合A={(x,y)|x>y>0};x>0,y∈R且x>y构成的集合B={(x,y)|x>y,x>0},∵A⊆B且B⊈A,
∴“x>y”是“lnx>lny”的必要而不充分条件.
故选B.
方法技巧 本题考查充分、必要条件的判断,运用集合关系判断充分、必要条件是解题关键.lnx>lny等价于x>y>0,与x>0且x>y比较,根据两种条件下对应的集合关系,利用“谁的范围小谁充分,谁的范围大谁必要”原则,可得答案.
2.(2019浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知命题“函数f(x)=sin2x+3cos2x-m在0,π2上有两个不同的零点”是真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.[-3,2) B.[-3,3)
C.[3,2) D.[0,2)
答案 C 由f(x)=0可得m=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,令t=2x+π3,则t∈π3,4π3,易知y=2sint的图象有一条对称轴是t=π2,结合图象可得3≤m<2.故选C.
3.若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3
C.a<0或a>3 D.0
解法二:设函数f(x)=ax2-2ax+3,若ax2-2ax+3>0恒成立,则f(x)min>0.
当a=0时,符合题意.
当a>0时,f(x)min=3-a>0,得0
所以0≤a<3,故若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则a<0或a≥3.
解法三:命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,即不等式ax2-2ax+3≤0有解.
当a=0时,不符合题意.
当a≠0时,Δ=4a2-12a≥0,得a<0或a≥3.
综上,a<0或a≥3.
4.(2017云南民族中学三模)下列说法正确的个数是 ( )
①f(x)=12x+1+α为奇函数,则α=12;
②“在△ABC中,若a>b,则A>B”的逆命题是假命题;
③“三个数a,b,c成等比数列”是“b=ac”的既不充分也不必要条件;
④命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,x03-x02+1>0”.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 对于①,易知f(x)的定义域为R,若f(x)=12x+1+α为奇函数,则f(0)=0,计算得出α=-12,所以①不正确;
对于②,原命题的逆命题为“在△ABC中,若A>B,则a>b”,根据“大角对大边”可知,“若A>B,则a>b”是真命题,所以②不正确;
对于③,三个数a,b,c成等比数列,则b2=ac,
∴b=±ac,
若a=b=c=0,满足b=ac,但三个数a,b,c不成等比数列,
∴“三个数a,b,c成等比数列”是“b=ac”的既不充分也不必要条件,所以③正确;
对于④,命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,x03-x02+1>0”,所以④正确.所以C选项是正确的.
5.(2018天津南开二模,6)下列命题中,正确的是 ( )
A.“lna>lnb”是“10a>10b”的充要条件
B.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0且n≠0”
C.存在x0>0,使得x0
答案 D 对于A,lna>lnb时,a>b>0,∴10a>10b,充分性成立;10a>10b时,a>b,但a,b不一定为正数,所以lna>lnb不一定成立,即必要性不成立,是充分不必要条件,A错误;对于B,命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”,∴B错误;对于C,设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx,则f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=0,即x>sinx在(0,+∞)上恒成立,故存在x0>0,使得x0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 依题意,mn-5m>5n-25⇔m(n-5)-5(n-5)>0⇔(m-5)(n-5)>0⇔m>5,n>5或m<5,n<5.故“m2+n2<16”⇒“mn-5m>5n-25”,充分性成立;反之不成立,例如m=n=6时,m2+n2>16,必要性不成立.故“m2+n2<16”是“mn-5m>5n-25”的充分不必要条件,故选A.
突破攻略 解决此类问题应该把握三个方面:一是准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;二是注意问题的形式,看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”;三是灵活运用所学知识判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行,即转化为两个命题关系的判断.当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.
7.(2018福建德化一中等三校联考,8)设p:x2-(2a+1)x+a2+a<0,q:lg(2x-1)≤1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 ( )
A.12,92 B.12,92 C.12,92 D.-∞,92
答案 A 由lg(2x-1)≤1得0<2x-1≤10,解得12
①“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题;
②存在正实数a,b,使得lg(a+b)=lga+lgb;
③“所有奇数都是素数”的否定;
④在△ABC中,A
答案 C 对于①,“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,如a=3≥1,b=-2,但a+b=1<2,故①为假命题;对于②,存在正实数a=2,b=2,使得lg(2+2)=lg22=2lg2=lg2+lg2,故②为真命题;对于③,“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”,如9是奇数,但不是素数,故③为真命题;对于④,在△ABC中,A
9.(2020广东惠州第一次调研,9)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
答案 D 对于A,a∥α,a∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以A不是α∥β的一个充分条件.
对于B,a⊂α,a∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以B不是α∥β的一个充分条件.
对于C,由a∥b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α可得α∥β或α,β相交,所以C不是α∥β的一个充分条件.
对于D,存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,如图,在β内过b上一点作c∥a,则c∥α,所以β内有两条相交直线平行于α,则有α∥β,所以D是α∥β的一个充分条件.故选D.
10.(2020北京清华附中摸底,7)已知函数f(x)=lnx+ax,则“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 本题考查函数的零点、充分与必要条件,考查学生的推理论证能力,体现逻辑推理与数学运算的核心素养.
f'(x)=1x-ax2=x-ax2,当a≤1时,f'(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,f(1)=a≤1,若函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点,则必须a<0;当a>1时,1a时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增,若函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点,则f(x)min=f(a)=lna+1≤0,即a≤1e,与a>1矛盾.综上,函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点等价于a<0,因此“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的充分必要条件,故选C.
思路分析 先求出f(x)的导函数,讨论单调性,然后求出函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点时a的范围,最后由充分、必要条件的概念即可得正确选项.
11.(2018江西赣州2月联考,12)已知p:关于x的不等式ex-lnx-m≥0(e为自然对数的底数)对任意x∈(0,+∞)恒成立;q:m∈-∞,136.那么p是q的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C ex-lnx-m≥0即ex-lnx≥m,
设f(x)=ex-lnx,则f'(x)=ex-1x,
显然f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f'12=e12-2<0,f'23=e23-32>0,
故存在x0∈12,23,
使得f'(x0)=ex0-1x0=0,
当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0=x0+1x0,
因为x0∈12,23,
所以x0+1x0>23+32=136,
记n=x0+1x0,则n>136,
由ex-lnx-m≥0(x∈(0,+∞)),得m∈(-∞,n],
又-∞,136⫋(-∞,n],故选C.
思路分析 首先进行参变量分离,构造函数f(x)=ex-lnx,利用导数判断函数单调性,求得f(x)min,从而求得ex-lnx-m≥0在(0,+∞)上恒成立时,实数m的取值范围,最后利用相应集合间的关系得结论.
12.(2017豫西五校4月联考,4)若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是 ( )
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x) B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0) D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0)
答案 C 由题意知∀x∈R,f(-x)=f(x)是假命题,则其否定为真命题,即∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)是真命题,故选C.
思路分析 利用偶函数的定义,结合命题的否定,即可得到结论.
方法点拨 对于省略量词的命题,否定时应先挖掘命题中的隐含量词,将命题改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
13.(2017江西南昌二中、临川一中联考,3)下列命题是真命题的是 ( )
①如果命题“p且q是假命题”,“非p”为真命题,则命题q一定是假命题;
②已知命题p:∃x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:∀x∈0,π2,tanx>sinx,则(¬p)∧q为真命题;
③命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角是真命题;
④若p:|x+1|>2,q:x>2,则¬p是¬q成立的充分不必要条件;
⑤命题“存在x0∈R,使得2x0≤0”的否定是“不存在x0∈R,使得2x0>0”.
A.①③ B.②④ C.③④ D.②⑤
答案 B 对于①,如果命题“p且q是假命题”,“非p”为真命题,则p为假命题,命题q可能是假命题,也可能是真命题,故错误;
对于②,x∈(-∞,0),23x>1⇒2x>3x,故命题p是假命题;命题q:∀x∈0,π2,tanx=sinxcosx>sinx,故命题q是真命题,故(¬p)∧q为真命题,正确;
对于③,命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π,故③错误;
对于④,由p:|x+1|>2,q:x>2⇒q是p的充分不必要条件,则¬p是¬q成立的充分不必要条件,故正确;
对于⑤,命题“存在x0∈R,使得2x0≤0”的否定是“对任意的x∈R,使得2x>0”,故错误.故选B.
14.(2019江西赣州十四县期中联考,4)下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题p:∃x0∈R,使得sinx0=62;命题q:∀x∈R,都有x>sinx,则命题p∨q为真”
C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
答案 D 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”.故A错.命题p:∃x0∈R,使得sinx0=62>1,是假命题.命题q:∀x∈R,都有x>sinx,是假命题,则命题p∨q为假.故B错.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”.故C错.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.故选D.
辨析比较 命题的否定和命题的否命题的区别:命题p的否定,即¬p,是指对命题p结论的否定;命题p的否命题,是指对命题p条件和结论同时否定.
15.(2019河北武邑中学期末,3)已知命题p:∀x∈N*,12x≥13x,命题q:∃x∈R,2x+21-x=22,则下列命题中是真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
答案 A 因为y=xn(n∈N*)在(0,+∞)上是增函数,又12>13,所以∀x∈N*,12x≥13x成立,p为真命题;
因为2x>0,21-x>0,所以2x+21-x≥22x×21-x=22,当且仅当2x=21-x,即x=12时等号成立,所以q为真命题,则p∧q为真命题,故选A.
一题多解 对于命题p:12x≥13x,即32x≥1,因为x∈N*时,32x≥1恒成立,所以命题p为真命题;当x=12时,212+21-12=22,所以命题q为真命题,故p∧q为真命题,故选A.
16.(2018陕西西安长安质检,5)下列命题中,真命题是 ( )
A.∃x0∈R,sin2x03+cos2x03=13
B.∀x∈(0,π),sinx>cosx
C.∃x0∈R,x02+x0=-2
D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
答案 D ∀x∈R,sin2x3+cos2x3=1,故A是假命题;当x∈0,π4时,sinx≤cosx,故B是假命题;∀x∈R,x2+x≥-14,故C是假命题;令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,即∀x∈(0,+∞),ex>x+1,故D是真命题.故选D.
17.(2017广东七校5月联考,5)已知命题p:∃a∈-∞,-14,函数f(x)=x+ax+1在12,3上单调递增;命题q:函数g(x)=x+log2x在区间12,+∞上无零点.则下列命题中是真命题的是 ( )
A.¬p B.p∧q C.(¬p)∨q D.p∧(¬q)
答案 D 设h(x)=x+ax+1.易知当a=-12时,函数h(x)为增函数,且h12=16>0,则此时函数f(x)在12,3上必单调递增,即p是真命题;∵g12=-12<0,g(1)=1>0,∴g(x)在12,+∞上有零点,即q是假命题,根据真值表可知p∧(¬q)是真命题,故选D.
思路分析 先判断出命题p,q的真假,然后根据真值表对选项进行逐一判定.
解题关键 判断出简单命题的真假是解题的关键.
18.(2019云南师范大学附属中学第四次月考,7)给出下列两个命题,命题p1:函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,则flog213的值为-2;命题p2:函数f(x)=ln1+x1-x是偶函数,则下列命题是真命题的是 ( )
A.p1∧p2 B.p1∧(?p2)
C.(?p1)∧p2 D.(?p1)∧(?p2)
答案 B 对于命题p1,因为-2
A.[-3,e) B.[-3,0]
C.0,12 D.[0,e)
答案 C 由ex-mx=0知x≠0,因此m=exx,设g(x)=exx,x≠0;则g'(x)=ex(x-1)x2,令g'(x)=0,解得x=1,易知g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,所以当x>0时,g(x)min=g(1)=e,因此当x>0时,g(x)≥e,又易知当x<0时,g(x)的值域为(-∞,0),所以g(x)的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),若p为真,则m的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞);f'(x)=x2-2mx-2,若f(x)在[-1,1]上递减,则x∈[-1,1]时,f'(x)≤0恒成立,所以有f '(-1)≤0,f '(1)≤0,即(-1)2-2m×(-1)-2≤0,1-2m-2≤0,解得-12≤m≤12,所以,若q为真,则m的取值范围是-12,12.若p∨(?q)为假命题,则p假q真,所以0≤m
p1:∃(x,y)∈D,x+y≥0;
p2:∀(x,y)∈D,x-y+1≤0;
p3:∀(x,y)∈D,yx+2≤12;
p4:∃(x,y)∈D,x2+y2≥2.
其中真命题是 ( )
A.p1,p2 B.p1,p3 C.p3,p4 D.p2,p4
答案 B |x|+|y|≤1表示的可行域如图中阴影部分所示:
对于p1,A(1,0),1+0=1≥0,故∃(x,y)∈D,x+y≥0为真命题;对于p2,A(1,0),1-0+1=2>0,故∀(x,y)∈D,x-y+1≤0为假命题;对于p3,yx+2表示的几何意义为点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率,由图可得,yx+2的取值范围为-12,12,故∀(x,y)∈D,yx+2≤12为真命题;对于p4,x2+y2表示的几何意义为点(x,y)到原点的距离的平方,由图可得x2+y2≤1,故∃(x,y)∈D,x2+y2≥2为假命题.故选B.
21.(2019江苏东台中学检测)已知集合A=x|12<2x<8,x∈R,B={x|-1
解析 A=x|12<2x<8,x∈R={x|-1
所以A⫋B,所以m+1>3,即m>2.
22.(2019云南昆明诊断性测试,14)设m>0,p:0
解析 由xx-1<0得0
23.下面有四个关于充要条件的命题:
①“若x∈A,则x∈B”是“A⊆B”的充要条件;
②“b=0”是“函数y=x2+bx+c为偶函数”的充要条件;
③“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件;
④“a>1”是“1a<1”的充要条件.
其中真命题的序号是 .
答案 ①②③
解析 由子集的定义知,①为真命题.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c,显然为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,即bx=0恒成立,得b=0,因此②为真命题.当x=1时,x2-2x+1=0成立,反之,当x2-2x+1=0时,x=1,所以③为真命题.由于1a<1⇔a-1a>0,即a>1或a<0,故a>1是1a<1的充分不必要条件,所以④为假命题.
24.(2018湖南浏阳三校联考,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0且¬p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解析 由p得(x-3a)(x-a)<0,
当a<0时,3a
∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.
设A=(3a,a),B=(-∞,-4)∪[-2,+∞),
可知A⫋B,∴a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥-23.
又∵a<0,∴a≤-4或-23≤a<0,
即实数a的取值范围为(-∞,-4]∪-23,0.
方法点拨 (1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决.
(2)在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易产生增解或漏解的情况.
25.(2017广东深圳一模,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若a>0且¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解析 (1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
当a=1时,1
若p∧q为真,则p真且q真,
∴实数x的取值范围是(2,3).
(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
∵a>0,∴a
则¬p⇒¬q,且¬q⇒/¬p,
设A={x|¬p},B={x|¬q},则A⫋B,
又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|¬q}={x|x≥4或x≤2},
∴a>0,a≤2,3a>4或a>0,a<2,3a≥4,
解得43≤a≤2,
∴实数a的取值范围是a|43≤a≤2.
方法总结 根据充分必要条件求解参数的取值范围,解决这类问题一般把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
26.(2019泰州中学、宜兴中学检测,6)命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”为假命题,则λ的取值范围是 .
答案 [0,4]
解析 命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”为假命题,
则其否定“∀x∈R,λx2-λx+1≥0成立”为真命题.
①当λ=0时,1≥0恒成立,即λ=0满足题意;
②当λ≠0时,由题意有λ>0,λ2-4λ≤0,解得0<λ≤4.
综合①②得:实数λ的取值范围是[0,4].
名师点睛 特称命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”的否定为“∀x∈R,λx2-λx+1≥0成立”,原命题为假命题,则其否定为真命题,分两种情况:λ=0和λ≠0,讨论可得解.
27.(2018衡水金卷调研卷五,14)已知命题P:∀x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,命题Q:∃x0∈[-2,2],2a≤2x0,若命题P∧Q为真命题,则实数a的取值范围为 .
答案 54,2
解析 当P为真命题时,x2+x+a>1,即x2+x+a-1>0恒成立,所以1-4(a-1)<0,解得a>54.
当Q为假命题时,¬Q为真命题,即∀x∈[-2,2],2a>2x,所以a>2.
又命题P∧Q为真命题,所以命题P,Q都为真命题,则a>54,a≤2,即54
28.(2017青海西宁一模)在下列结论中:①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∧q”为真是“¬p”为假的充分不必要条件;④“¬p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件.正确的是 .(填序号)
答案 ①③④
解析 结论①“p∧q”为真,说明p,q同为真,故能推出“p∨q”为真,而“p∨q”为真,说明p,q中至少一个为真,不能推出“p∧q”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故①正确;结论②“p∧q”为假,说明p,q中至少一个为假,不能推出“p∨q”为真,“p∨q”为真也不能推出“p∧q”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条件,故②错误;结论③“p∧q”为真,说明p,q都为真,故能推出“¬p”为假,“¬p”为假,则p为真,不能推出p∧q为真,故前者是后者的充分不必要条件,故③正确;结论④“¬p”为真,则p为假,可推出“p∧q”为假,而只要满足q假,p无论真假,都有“p∧q”为假,故“p∧q”为假不能推出“¬p”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故④正确,综上可得结论①③④正确.
30.已知c>0且c≠1,设命题p:函数y=cx在R上单调递减;命题q:对任意实数x,不等式x2-2x+c>0恒成立.
(1)写出命题q的否定,并求非q为真时,实数c的取值范围;
(2)如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数c的取值范围.
解析 (1)¬q:存在x0∈R,不等式x02-2x0+c≤0成立.
若非q为真,则Δ=(-2)2-4c≥0,即c≤12,
又c>0且c≠1,∴0
若p为真命题,则0
则p真q假时,01.
∴实数c的取值范围是0,12∪(1,+∞).
31.(2019江苏大桥实验中学检测)
(1)已知命题p:“∀x∈[1,3],kx+2>0”为假命题,求实数k的取值范围;
(2)已知命题q:“∃x∈R,使得ax2+2x+1<0”为真命题,求实数a的取值范围.
解析 (1)当k=0时,kx+2=2>0,此时对任意x都成立,即命题p为真命题,不合题意.
当k≠0时,要使命题p为假命题,则∃x∈[1,3],有kx+2≤0.设y=kx+2,此函数具有单调性.
可知必有k+2≤0或3k+2≤0,
解得k≤-2或k≤-23,即k≤-23.
综上可知k的取值范围为-∞,-23.
(2)当a=0时,不等式ax2+2x+1<0为2x+1<0.
解得x<-12,结论成立.
当a≠0时,令f(x)=ax2+2x+1,
当a<0时,显然ax2+2x+1<0有解,即存在x,使命题p为真.
当a>0时,必须有a>0,Δ>0,即a>0,4-4a>0,
解得0
32.(2019湖北黄冈9月质检,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程f(x)=2x有两相等实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设命题p:“函数y=2f(x)-t在(-∞,2)上有零点”,命题q:“函数g(x)=f(x)+tx-3在(-∞,2)上单调递增”,若命题“p∨q”为真命题,求实数t的取值范围.
解析 (1)∵方程f(x)=2x有两相等实根,即ax2+(b-2)x=0有两相等实根,∴Δ=(b-2)2=0且a≠0,解得b=2.
由f(x-1)=f(3-x),得x-1+3-x2=1,
∴直线x=1是函数f(x)图象的对称轴.
又此函数图象的对称轴是直线x=-b2a,∴-b2a=1,∴a=-1,
故f(x)=-x2+2x.
(2)由y=2-x2+2x-t,x∈(-∞,2),得2-x2+2x∈(0,2],
∴p为真命题时,0
∴t≥2.∴q为真命题时,t≥2.
若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,
∴02,t≥2或00.
故实数t的取值范围为(0,+∞).
33.(2017湖北襄阳五中模拟,19)设p:实数a满足不等式3a≤9,q:函数f(x)=13x3+3(3-a)2x2+9x无极值点.
(1)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知“p∧q”为真命题,并记为r,且t:a2-2m+12a+mm+12>0,若r是¬t的必要不充分条件,求正整数m的值.
解析 (1)若p为真,则3a≤9,得a≤2.
若q为真,则函数f(x)无极值点,∴f'(x)=x2+3(3-a)x+9≥0恒成立,
得Δ=9(3-a)2-4×9≤0,解得1≤a≤5.
∵“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,
∴p与q一真一假.
若p为真命题,q为假命题,则a≤2,a<1或a>5⇒a<1;
若q为真命题,p为假命题,则a>2,1≤a≤5⇒2
∴a≤2,1≤a≤5⇒1≤a≤2.
∵a2-2m+12a+mm+12>0,
∴(a-m)a-m+12>0,∴am+12,
即t:am+12,从而¬t:m≤a≤m+12.
∵r是¬t的必要不充分条件,∴¬t⇒r,r⇒/¬t,
∴m≥1,m+12<2或m>1,m+12≤2,
解得1≤m≤32,又∵m∈N*,∴m=1.
常用逻辑用语
专题检测
1.(2019北京十四中10月月考,4)设x>0,y∈R,则“x>y”是“lnx>lny”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B lnx>lny等价于x>y>0,其构成的集合A={(x,y)|x>y>0};x>0,y∈R且x>y构成的集合B={(x,y)|x>y,x>0},∵A⊆B且B⊈A,
∴“x>y”是“lnx>lny”的必要而不充分条件.
故选B.
方法技巧 本题考查充分、必要条件的判断,运用集合关系判断充分、必要条件是解题关键.lnx>lny等价于x>y>0,与x>0且x>y比较,根据两种条件下对应的集合关系,利用“谁的范围小谁充分,谁的范围大谁必要”原则,可得答案.
2.(2019浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知命题“函数f(x)=sin2x+3cos2x-m在0,π2上有两个不同的零点”是真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.[-3,2) B.[-3,3)
C.[3,2) D.[0,2)
答案 C 由f(x)=0可得m=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,令t=2x+π3,则t∈π3,4π3,易知y=2sint的图象有一条对称轴是t=π2,结合图象可得3≤m<2.故选C.
3.若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3
C.a<0或a>3 D.0
解法二:设函数f(x)=ax2-2ax+3,若ax2-2ax+3>0恒成立,则f(x)min>0.
当a=0时,符合题意.
当a>0时,f(x)min=3-a>0,得0
所以0≤a<3,故若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则a<0或a≥3.
解法三:命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,即不等式ax2-2ax+3≤0有解.
当a=0时,不符合题意.
当a≠0时,Δ=4a2-12a≥0,得a<0或a≥3.
综上,a<0或a≥3.
4.(2017云南民族中学三模)下列说法正确的个数是 ( )
①f(x)=12x+1+α为奇函数,则α=12;
②“在△ABC中,若a>b,则A>B”的逆命题是假命题;
③“三个数a,b,c成等比数列”是“b=ac”的既不充分也不必要条件;
④命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,x03-x02+1>0”.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 对于①,易知f(x)的定义域为R,若f(x)=12x+1+α为奇函数,则f(0)=0,计算得出α=-12,所以①不正确;
对于②,原命题的逆命题为“在△ABC中,若A>B,则a>b”,根据“大角对大边”可知,“若A>B,则a>b”是真命题,所以②不正确;
对于③,三个数a,b,c成等比数列,则b2=ac,
∴b=±ac,
若a=b=c=0,满足b=ac,但三个数a,b,c不成等比数列,
∴“三个数a,b,c成等比数列”是“b=ac”的既不充分也不必要条件,所以③正确;
对于④,命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,x03-x02+1>0”,所以④正确.所以C选项是正确的.
5.(2018天津南开二模,6)下列命题中,正确的是 ( )
A.“lna>lnb”是“10a>10b”的充要条件
B.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0且n≠0”
C.存在x0>0,使得x0
答案 D 对于A,lna>lnb时,a>b>0,∴10a>10b,充分性成立;10a>10b时,a>b,但a,b不一定为正数,所以lna>lnb不一定成立,即必要性不成立,是充分不必要条件,A错误;对于B,命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”,∴B错误;对于C,设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx,则f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=0,即x>sinx在(0,+∞)上恒成立,故存在x0>0,使得x0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 依题意,mn-5m>5n-25⇔m(n-5)-5(n-5)>0⇔(m-5)(n-5)>0⇔m>5,n>5或m<5,n<5.故“m2+n2<16”⇒“mn-5m>5n-25”,充分性成立;反之不成立,例如m=n=6时,m2+n2>16,必要性不成立.故“m2+n2<16”是“mn-5m>5n-25”的充分不必要条件,故选A.
突破攻略 解决此类问题应该把握三个方面:一是准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;二是注意问题的形式,看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”;三是灵活运用所学知识判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行,即转化为两个命题关系的判断.当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.
7.(2018福建德化一中等三校联考,8)设p:x2-(2a+1)x+a2+a<0,q:lg(2x-1)≤1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 ( )
A.12,92 B.12,92 C.12,92 D.-∞,92
答案 A 由lg(2x-1)≤1得0<2x-1≤10,解得12
①“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题;
②存在正实数a,b,使得lg(a+b)=lga+lgb;
③“所有奇数都是素数”的否定;
④在△ABC中,A
答案 C 对于①,“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,如a=3≥1,b=-2,但a+b=1<2,故①为假命题;对于②,存在正实数a=2,b=2,使得lg(2+2)=lg22=2lg2=lg2+lg2,故②为真命题;对于③,“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”,如9是奇数,但不是素数,故③为真命题;对于④,在△ABC中,A
9.(2020广东惠州第一次调研,9)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
答案 D 对于A,a∥α,a∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以A不是α∥β的一个充分条件.
对于B,a⊂α,a∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以B不是α∥β的一个充分条件.
对于C,由a∥b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α可得α∥β或α,β相交,所以C不是α∥β的一个充分条件.
对于D,存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,如图,在β内过b上一点作c∥a,则c∥α,所以β内有两条相交直线平行于α,则有α∥β,所以D是α∥β的一个充分条件.故选D.
10.(2020北京清华附中摸底,7)已知函数f(x)=lnx+ax,则“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 本题考查函数的零点、充分与必要条件,考查学生的推理论证能力,体现逻辑推理与数学运算的核心素养.
f'(x)=1x-ax2=x-ax2,当a≤1时,f'(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,f(1)=a≤1,若函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点,则必须a<0;当a>1时,1
思路分析 先求出f(x)的导函数,讨论单调性,然后求出函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点时a的范围,最后由充分、必要条件的概念即可得正确选项.
11.(2018江西赣州2月联考,12)已知p:关于x的不等式ex-lnx-m≥0(e为自然对数的底数)对任意x∈(0,+∞)恒成立;q:m∈-∞,136.那么p是q的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C ex-lnx-m≥0即ex-lnx≥m,
设f(x)=ex-lnx,则f'(x)=ex-1x,
显然f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f'12=e12-2<0,f'23=e23-32>0,
故存在x0∈12,23,
使得f'(x0)=ex0-1x0=0,
当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0=x0+1x0,
因为x0∈12,23,
所以x0+1x0>23+32=136,
记n=x0+1x0,则n>136,
由ex-lnx-m≥0(x∈(0,+∞)),得m∈(-∞,n],
又-∞,136⫋(-∞,n],故选C.
思路分析 首先进行参变量分离,构造函数f(x)=ex-lnx,利用导数判断函数单调性,求得f(x)min,从而求得ex-lnx-m≥0在(0,+∞)上恒成立时,实数m的取值范围,最后利用相应集合间的关系得结论.
12.(2017豫西五校4月联考,4)若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是 ( )
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x) B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0) D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0)
答案 C 由题意知∀x∈R,f(-x)=f(x)是假命题,则其否定为真命题,即∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)是真命题,故选C.
思路分析 利用偶函数的定义,结合命题的否定,即可得到结论.
方法点拨 对于省略量词的命题,否定时应先挖掘命题中的隐含量词,将命题改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
13.(2017江西南昌二中、临川一中联考,3)下列命题是真命题的是 ( )
①如果命题“p且q是假命题”,“非p”为真命题,则命题q一定是假命题;
②已知命题p:∃x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:∀x∈0,π2,tanx>sinx,则(¬p)∧q为真命题;
③命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角是真命题;
④若p:|x+1|>2,q:x>2,则¬p是¬q成立的充分不必要条件;
⑤命题“存在x0∈R,使得2x0≤0”的否定是“不存在x0∈R,使得2x0>0”.
A.①③ B.②④ C.③④ D.②⑤
答案 B 对于①,如果命题“p且q是假命题”,“非p”为真命题,则p为假命题,命题q可能是假命题,也可能是真命题,故错误;
对于②,x∈(-∞,0),23x>1⇒2x>3x,故命题p是假命题;命题q:∀x∈0,π2,tanx=sinxcosx>sinx,故命题q是真命题,故(¬p)∧q为真命题,正确;
对于③,命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π,故③错误;
对于④,由p:|x+1|>2,q:x>2⇒q是p的充分不必要条件,则¬p是¬q成立的充分不必要条件,故正确;
对于⑤,命题“存在x0∈R,使得2x0≤0”的否定是“对任意的x∈R,使得2x>0”,故错误.故选B.
14.(2019江西赣州十四县期中联考,4)下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题p:∃x0∈R,使得sinx0=62;命题q:∀x∈R,都有x>sinx,则命题p∨q为真”
C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
答案 D 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”.故A错.命题p:∃x0∈R,使得sinx0=62>1,是假命题.命题q:∀x∈R,都有x>sinx,是假命题,则命题p∨q为假.故B错.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”.故C错.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.故选D.
辨析比较 命题的否定和命题的否命题的区别:命题p的否定,即¬p,是指对命题p结论的否定;命题p的否命题,是指对命题p条件和结论同时否定.
15.(2019河北武邑中学期末,3)已知命题p:∀x∈N*,12x≥13x,命题q:∃x∈R,2x+21-x=22,则下列命题中是真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
答案 A 因为y=xn(n∈N*)在(0,+∞)上是增函数,又12>13,所以∀x∈N*,12x≥13x成立,p为真命题;
因为2x>0,21-x>0,所以2x+21-x≥22x×21-x=22,当且仅当2x=21-x,即x=12时等号成立,所以q为真命题,则p∧q为真命题,故选A.
一题多解 对于命题p:12x≥13x,即32x≥1,因为x∈N*时,32x≥1恒成立,所以命题p为真命题;当x=12时,212+21-12=22,所以命题q为真命题,故p∧q为真命题,故选A.
16.(2018陕西西安长安质检,5)下列命题中,真命题是 ( )
A.∃x0∈R,sin2x03+cos2x03=13
B.∀x∈(0,π),sinx>cosx
C.∃x0∈R,x02+x0=-2
D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
答案 D ∀x∈R,sin2x3+cos2x3=1,故A是假命题;当x∈0,π4时,sinx≤cosx,故B是假命题;∀x∈R,x2+x≥-14,故C是假命题;令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,即∀x∈(0,+∞),ex>x+1,故D是真命题.故选D.
17.(2017广东七校5月联考,5)已知命题p:∃a∈-∞,-14,函数f(x)=x+ax+1在12,3上单调递增;命题q:函数g(x)=x+log2x在区间12,+∞上无零点.则下列命题中是真命题的是 ( )
A.¬p B.p∧q C.(¬p)∨q D.p∧(¬q)
答案 D 设h(x)=x+ax+1.易知当a=-12时,函数h(x)为增函数,且h12=16>0,则此时函数f(x)在12,3上必单调递增,即p是真命题;∵g12=-12<0,g(1)=1>0,∴g(x)在12,+∞上有零点,即q是假命题,根据真值表可知p∧(¬q)是真命题,故选D.
思路分析 先判断出命题p,q的真假,然后根据真值表对选项进行逐一判定.
解题关键 判断出简单命题的真假是解题的关键.
18.(2019云南师范大学附属中学第四次月考,7)给出下列两个命题,命题p1:函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,则flog213的值为-2;命题p2:函数f(x)=ln1+x1-x是偶函数,则下列命题是真命题的是 ( )
A.p1∧p2 B.p1∧(?p2)
C.(?p1)∧p2 D.(?p1)∧(?p2)
答案 B 对于命题p1,因为-2
A.[-3,e) B.[-3,0]
C.0,12 D.[0,e)
答案 C 由ex-mx=0知x≠0,因此m=exx,设g(x)=exx,x≠0;则g'(x)=ex(x-1)x2,令g'(x)=0,解得x=1,易知g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,所以当x>0时,g(x)min=g(1)=e,因此当x>0时,g(x)≥e,又易知当x<0时,g(x)的值域为(-∞,0),所以g(x)的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),若p为真,则m的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞);f'(x)=x2-2mx-2,若f(x)在[-1,1]上递减,则x∈[-1,1]时,f'(x)≤0恒成立,所以有f '(-1)≤0,f '(1)≤0,即(-1)2-2m×(-1)-2≤0,1-2m-2≤0,解得-12≤m≤12,所以,若q为真,则m的取值范围是-12,12.若p∨(?q)为假命题,则p假q真,所以0≤m
p1:∃(x,y)∈D,x+y≥0;
p2:∀(x,y)∈D,x-y+1≤0;
p3:∀(x,y)∈D,yx+2≤12;
p4:∃(x,y)∈D,x2+y2≥2.
其中真命题是 ( )
A.p1,p2 B.p1,p3 C.p3,p4 D.p2,p4
答案 B |x|+|y|≤1表示的可行域如图中阴影部分所示:
对于p1,A(1,0),1+0=1≥0,故∃(x,y)∈D,x+y≥0为真命题;对于p2,A(1,0),1-0+1=2>0,故∀(x,y)∈D,x-y+1≤0为假命题;对于p3,yx+2表示的几何意义为点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率,由图可得,yx+2的取值范围为-12,12,故∀(x,y)∈D,yx+2≤12为真命题;对于p4,x2+y2表示的几何意义为点(x,y)到原点的距离的平方,由图可得x2+y2≤1,故∃(x,y)∈D,x2+y2≥2为假命题.故选B.
21.(2019江苏东台中学检测)已知集合A=x|12<2x<8,x∈R,B={x|-1
解析 A=x|12<2x<8,x∈R={x|-1
所以A⫋B,所以m+1>3,即m>2.
22.(2019云南昆明诊断性测试,14)设m>0,p:0
解析 由xx-1<0得0
23.下面有四个关于充要条件的命题:
①“若x∈A,则x∈B”是“A⊆B”的充要条件;
②“b=0”是“函数y=x2+bx+c为偶函数”的充要条件;
③“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件;
④“a>1”是“1a<1”的充要条件.
其中真命题的序号是 .
答案 ①②③
解析 由子集的定义知,①为真命题.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c,显然为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,即bx=0恒成立,得b=0,因此②为真命题.当x=1时,x2-2x+1=0成立,反之,当x2-2x+1=0时,x=1,所以③为真命题.由于1a<1⇔a-1a>0,即a>1或a<0,故a>1是1a<1的充分不必要条件,所以④为假命题.
24.(2018湖南浏阳三校联考,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0且¬p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解析 由p得(x-3a)(x-a)<0,
当a<0时,3a
∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.
设A=(3a,a),B=(-∞,-4)∪[-2,+∞),
可知A⫋B,∴a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥-23.
又∵a<0,∴a≤-4或-23≤a<0,
即实数a的取值范围为(-∞,-4]∪-23,0.
方法点拨 (1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决.
(2)在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易产生增解或漏解的情况.
25.(2017广东深圳一模,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若a>0且¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解析 (1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
当a=1时,1
若p∧q为真,则p真且q真,
∴实数x的取值范围是(2,3).
(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
∵a>0,∴a
则¬p⇒¬q,且¬q⇒/¬p,
设A={x|¬p},B={x|¬q},则A⫋B,
又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|¬q}={x|x≥4或x≤2},
∴a>0,a≤2,3a>4或a>0,a<2,3a≥4,
解得43≤a≤2,
∴实数a的取值范围是a|43≤a≤2.
方法总结 根据充分必要条件求解参数的取值范围,解决这类问题一般把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
26.(2019泰州中学、宜兴中学检测,6)命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”为假命题,则λ的取值范围是 .
答案 [0,4]
解析 命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”为假命题,
则其否定“∀x∈R,λx2-λx+1≥0成立”为真命题.
①当λ=0时,1≥0恒成立,即λ=0满足题意;
②当λ≠0时,由题意有λ>0,λ2-4λ≤0,解得0<λ≤4.
综合①②得:实数λ的取值范围是[0,4].
名师点睛 特称命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”的否定为“∀x∈R,λx2-λx+1≥0成立”,原命题为假命题,则其否定为真命题,分两种情况:λ=0和λ≠0,讨论可得解.
27.(2018衡水金卷调研卷五,14)已知命题P:∀x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,命题Q:∃x0∈[-2,2],2a≤2x0,若命题P∧Q为真命题,则实数a的取值范围为 .
答案 54,2
解析 当P为真命题时,x2+x+a>1,即x2+x+a-1>0恒成立,所以1-4(a-1)<0,解得a>54.
当Q为假命题时,¬Q为真命题,即∀x∈[-2,2],2a>2x,所以a>2.
又命题P∧Q为真命题,所以命题P,Q都为真命题,则a>54,a≤2,即54
28.(2017青海西宁一模)在下列结论中:①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∧q”为真是“¬p”为假的充分不必要条件;④“¬p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件.正确的是 .(填序号)
答案 ①③④
解析 结论①“p∧q”为真,说明p,q同为真,故能推出“p∨q”为真,而“p∨q”为真,说明p,q中至少一个为真,不能推出“p∧q”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故①正确;结论②“p∧q”为假,说明p,q中至少一个为假,不能推出“p∨q”为真,“p∨q”为真也不能推出“p∧q”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条件,故②错误;结论③“p∧q”为真,说明p,q都为真,故能推出“¬p”为假,“¬p”为假,则p为真,不能推出p∧q为真,故前者是后者的充分不必要条件,故③正确;结论④“¬p”为真,则p为假,可推出“p∧q”为假,而只要满足q假,p无论真假,都有“p∧q”为假,故“p∧q”为假不能推出“¬p”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故④正确,综上可得结论①③④正确.
30.已知c>0且c≠1,设命题p:函数y=cx在R上单调递减;命题q:对任意实数x,不等式x2-2x+c>0恒成立.
(1)写出命题q的否定,并求非q为真时,实数c的取值范围;
(2)如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数c的取值范围.
解析 (1)¬q:存在x0∈R,不等式x02-2x0+c≤0成立.
若非q为真,则Δ=(-2)2-4c≥0,即c≤12,
又c>0且c≠1,∴0
若p为真命题,则0
则p真q假时,0
∴实数c的取值范围是0,12∪(1,+∞).
31.(2019江苏大桥实验中学检测)
(1)已知命题p:“∀x∈[1,3],kx+2>0”为假命题,求实数k的取值范围;
(2)已知命题q:“∃x∈R,使得ax2+2x+1<0”为真命题,求实数a的取值范围.
解析 (1)当k=0时,kx+2=2>0,此时对任意x都成立,即命题p为真命题,不合题意.
当k≠0时,要使命题p为假命题,则∃x∈[1,3],有kx+2≤0.设y=kx+2,此函数具有单调性.
可知必有k+2≤0或3k+2≤0,
解得k≤-2或k≤-23,即k≤-23.
综上可知k的取值范围为-∞,-23.
(2)当a=0时,不等式ax2+2x+1<0为2x+1<0.
解得x<-12,结论成立.
当a≠0时,令f(x)=ax2+2x+1,
当a<0时,显然ax2+2x+1<0有解,即存在x,使命题p为真.
当a>0时,必须有a>0,Δ>0,即a>0,4-4a>0,
解得0
32.(2019湖北黄冈9月质检,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程f(x)=2x有两相等实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设命题p:“函数y=2f(x)-t在(-∞,2)上有零点”,命题q:“函数g(x)=f(x)+tx-3在(-∞,2)上单调递增”,若命题“p∨q”为真命题,求实数t的取值范围.
解析 (1)∵方程f(x)=2x有两相等实根,即ax2+(b-2)x=0有两相等实根,∴Δ=(b-2)2=0且a≠0,解得b=2.
由f(x-1)=f(3-x),得x-1+3-x2=1,
∴直线x=1是函数f(x)图象的对称轴.
又此函数图象的对称轴是直线x=-b2a,∴-b2a=1,∴a=-1,
故f(x)=-x2+2x.
(2)由y=2-x2+2x-t,x∈(-∞,2),得2-x2+2x∈(0,2],
∴p为真命题时,0
∴t≥2.∴q为真命题时,t≥2.
若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,
∴0
故实数t的取值范围为(0,+∞).
33.(2017湖北襄阳五中模拟,19)设p:实数a满足不等式3a≤9,q:函数f(x)=13x3+3(3-a)2x2+9x无极值点.
(1)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知“p∧q”为真命题,并记为r,且t:a2-2m+12a+mm+12>0,若r是¬t的必要不充分条件,求正整数m的值.
解析 (1)若p为真,则3a≤9,得a≤2.
若q为真,则函数f(x)无极值点,∴f'(x)=x2+3(3-a)x+9≥0恒成立,
得Δ=9(3-a)2-4×9≤0,解得1≤a≤5.
∵“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,
∴p与q一真一假.
若p为真命题,q为假命题,则a≤2,a<1或a>5⇒a<1;
若q为真命题,p为假命题,则a>2,1≤a≤5⇒2
∴a≤2,1≤a≤5⇒1≤a≤2.
∵a2-2m+12a+mm+12>0,
∴(a-m)a-m+12>0,∴a
即t:a
∵r是¬t的必要不充分条件,∴¬t⇒r,r⇒/¬t,
∴m≥1,m+12<2或m>1,m+12≤2,
解得1≤m≤32,又∵m∈N*,∴m=1.
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