新人教A版高考数学二轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合集训含解析

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合集训含解析，共20页。
解三角形及其综合应用
基础篇
【基础集训】
考点一　正弦定理和余弦定理
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=3sinB,c=5,且cosC=56,则a= (　　)
A.22　　B.3　　C.32　　D.4
答案　B
2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则ab等于 (　　)
A.32　　B.43　　C.2　　D.3
答案　D
3.在△ABC中,a=23,c=22,A=60°,则C= (　　)
A.30°　　B.45°　　C.45°或135°　　D.60°
答案　B
4.(多选题)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个命题中正确的是 (　　)
A.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC是锐角三角形
B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形
C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形
D.若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是等边三角形
答案　ACD
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a∶b∶c=4∶3∶2,则2sinA-sinBsin2C= (　　)
A.37　　B.57　　C.97　　D.107
答案　D
6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b+acosC=0,sinA=2sin(A+C),则bca2= (　　)
A.7　　B.72　　C.74　　D.54
答案　C
7.设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则△ABC周长的取值范围为 (　　)
A.(0,2+2)　　B.(0,3+3)
C.(2+2,3+3)　　D.(2+2,3+3]
答案　C
考点二　解三角形及其综合应用
8.在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为 (　　)
A.1534　　B.154　　C.2134　　D.3534
答案　A
9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m. 

答案　1006



[教师专用题组]

【基础集训】
考点一　正弦定理和余弦定理
1.(2020吉林长春二模,8)在△ABC中,C=30°,cosA=-23,AC=15-2,则AC边上的高为 (　　)
A.52　　B.2　　C.5　　D.152
答案　C　依题意得sinA=1-cos2A=53,则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=53×32-23×12=15-26.由正弦定理得BCsinA=ACsinB,得BC=AC·sinAsinB,所以AC边上的高为BC·sinC=AC·sinA·sinCsinB=(15-2)×53×1215-26=5,故选C.
2.(2019安徽安庆二模,10)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,则ab等于 (　　)
A.32　　B.43　　C.2　　D.3
答案　D　由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinA·cosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,
则cosA=12.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=3.故选D.
3.(2020陕西安康二模,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=π4,tanC=7,则b=　　　　. 
答案　524
解析　由tanC=7且C∈(0,π)可求得sinC=7210,cosC=210.故sinA=sin(B+C)=sinπ4+C=22(cosC+
sinC)=22×210+7210=45.由asinA=bsinB⇒245=bsinπ4⇒b=524.
4.(2020河南开封二模,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB=-12,　　　　.△ABC的面积是否存在最大值?若存在,求对应三角形的三边;若不存在,说明理由. 
从①a+c=2,②b=3a这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析　若选①,由题意得sinB=32,S=12acsinB=34ac≤34a+c22=34,当且仅当a=c=1时等号成立,则面积的最大值为34,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=3,则b=3.
若选②,由题意得B=2π3,则sinB=32,因为sinBsinA=ba=3,所以sinA=12,A=π6,C=π6,所以a=c,S=12acsinB=34a2,a可以取任意正数,所以△ABC的面积不存在最大值.
5.(2020九师联盟3月联考,17)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-b+cc=sinBsinA+sinB-sinC.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的外接圆半径为2,求△ABC的面积S的最大值.
解析　(1)由正弦定理及题意得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又因为00,∴sinA>sinπ2-B=cosB,∴“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要条件.
综上,“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.
2.(2018云南昭通一模,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=223,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆的面积为 (　　)
A.4π　　B.8π　　C.9π　　D.36π
答案　C　已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R为△ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则2RsinC=2,因为cosC=223,所以sinC=13,所以R=3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.
3.(2019北京朝阳一模文,4,5分)已知△ABC中,∠A=120°,a=21,△ABC的面积为3.若bc,故最大角是A,
由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-22·c2cosA,得cosA=-24.
误区警示　根据三角形中“大边对大角”判断出哪个角最大,然后用余弦定理求解.
6.(2019贵州凯里中学4月月考,17)已知锐角△ABC面积为S,∠A,∠B,∠C所对边分别是a,b,c,∠A,∠C的平分线相交于点O,b=23且S=34(a2+c2-b2),求:
(1)∠B的大小;
(2)△AOC周长的最大值.
解析　(1)∵S=34(a2+c2-b2),
∴12acsinB=34(a2+c2-b2),
故12acsinB=34·2accosB⇒tanB=3,
∵B∈0,π2,∴B=π3.
(2)设△AOC周长为l,∠OAC=α,
∵△ABC为锐角三角形,B=π3,
∴A+C∈0,2π3,C∈0,π2,∴A∈π6,π2,
则α∈π12,π4,
∵OA,OC分别是∠A,∠C的平分线,B=π3,
∴∠AOC=2π3,
由正弦定理,OAsinπ3-α=OCsinα=23sin2π3=4.
∴△AOC周长l=4sinα+4sinπ3-α+23=4sinα+π3+23.
∵α∈π12,π4,∴α+π3∈5π12,7π12,
∴当α=π6时,△AOC周长取得最大值,最大值为4+23.
综合篇
【综合集训】
考法一　利用正弦、余弦定理解三角形
1.(2019湖南四校调研联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAsinB+sinC+ba+c=1,则C= (　　)
A.π6　　B.π3　　C.2π3　　D.5π6
答案　B
2. (2020浙江名校联盟考,13)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=π3,
3. 则asinC=　　　　,a+b的取值范围是　　　　　　　　. 
答案　3;(1+3,4+23)
3.(2021届广东湛江二十一中月考,17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+bc=(b+c)2.
(1)求角A;
(2)若b=1,c=3,D为BC的中点,求中线AD的长.
4.(2020山东泰安5月模拟,19)在①asinC-3ccosBcosC=3bcos2C;②5ccosB+4b=5a;③(2b-a)cosC
=ccosA这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足　　　. 
(1)求sinC;
(2)已知a+b=5,△ABC的外接圆半径为433,求△ABC的边AB上的高h.

考法二　三角形形状的判断
5.(2020山东济宁二中10月月考,8)在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,a2=b2+c2-bc,则△ABC的形状是 (　　)
A.等边三角形　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　D.等腰直角三角形
答案　A
6.(2020山东青岛三模,7)在△ABC中,如果cos(2B+C)+cosC>0,那么△ABC的形状为 (　　)
A.钝角三角形　　B.直角三角形　　C.锐角三角形　　D.等腰三角形
答案　A
7.(多选题)(2020山东烟台5月模拟,11)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,则 (　　)
A.sin∠CDB=310　　B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45　　D.△ABC为钝角三角形
答案　BC



考法三　与三角形的面积、范围有关的问题
8.(2020湖南师范大学附属中学月考(六),10)设锐角△ABC的三个内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为 (　　)
A.(22,23)　　B.(22,4)
C.(2,23)　　D.(0,4)
答案　A
9.(2020河北正定中学第三次质量检测,16)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,BD=5,AB⊥AC,AC=2AB,则CD的最小值为　　　　. 

答案　5
10.(2020浙江绍兴嵊州期末,15)在锐角△ABC中,D是边BC上一点,且AB=22,BC=3,AC=AD,若cos∠CAD=35,则sinC=　　　　;△ABC的面积是　　　　. 
答案　255;3
11.(2021届江苏苏州八校联盟第一次适应性检测,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2.有以下3个条件:
①2ccosA=b;②2b-a=2ccosA;③a+b=2c.
请在以上3个条件中选择一个,求△ABC面积的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
12.(2020湖北襄阳四中3月月考,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB=bsinA-π3.
(1)求A;
(2)D是线段BC上的点,若AD=BD=2,CD=3,求△ADC的面积.
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一　利用正弦、余弦定理解三角形
1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sinC=sinA+sinB,cosC=35且S△ABC=4,则c= (　　)
A.463　　B.4　　C.263　　D.5
答案　A　因为2sinC=sinA+sinB,所以由正弦定理可得2c=a+b①,
由cosC=35可得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-165ab②,又由cosC=35,得sinC=45,
所以S△ABC=12absinC=2ab5=4,∴ab=10③.
由①②③解得c=463,故选A.
2. (2019宁夏石嘴山一模,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若ccosB+
3. bcosC=asinA,S=34(b2+a2-c2),则B= (　　)
A.90°　　B.60°　　C.45°　　D.30°
答案　D　由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,
得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,
所以sin(C+B)=sin2A⇒sinA=1,
因为0°