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新人教A版高考数学二轮复习专题五三角函数与解三角形1三角函数的概念同角三角函数的基本关系及诱导公式综合集训含解析
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这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题五三角函数与解三角形1三角函数的概念同角三角函数的基本关系及诱导公式综合集训含解析，共17页。
专题五 三角函数与解三角形
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析
备考指导
主题
内容
一、三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
4.理解同角三角函数的基本关系式.
5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近几年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,考题难度以中档题为主,题型在选择题、填空题和解答题均有可能出现,比如(2020新高考Ⅰ的第10题(多选题),第15题(填空题),第17题(解答题),占20分;2020课标Ⅰ理第9题考查二倍角公式,第16题是翻折问题与解三角形的结合;2020北京第14题考查三角函数最值及诱导公式,第17题选条件用正、余弦定理解三角形与求三角形的面积结合等).
1.在复习备考中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.
2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.
3.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查.
二、三角恒等变换
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.
三、三角函数的图象、性质及应用
1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.
2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.
3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
四、解三角形及综合应用
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.
【真题探秘】
必备知识
正弦定理、余弦定理.
核心素养
数学运算、逻辑推理.
解题指导
在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理.
易错警示
应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
核心素养
2020课标Ⅰ理,9
5
选择题
中
三角恒等变换
二倍角公式、同角三角
函数的基本关系
公式法
数学运算
2020课标Ⅰ,文7,理7
5
选择题
易
三角函数的图象与性质
求最小正周期
定义法
数学运算
2020新高考Ⅰ,10
5
多项
选择题
中
三角函数的图象与性质
诱导公式、三角函数的性质
定义法
数学运算
逻辑推理
2020北京,14
5
填空题
中
三角函数的图象与性质
三角函数的最值的应用
直接法
数学运算
逻辑推理
2020课标Ⅰ理,16
5
填空题
中
解三角形
余弦定理的应用
直接法
逻辑推理
数学运算
2020天津,8
5
选择题
中
三角函数的性质及其应用
三角函数的周期、
最值,图象平移
逐项判断法
数形结合法
数学运算
2020北京,17
13
解答题
中
解三角形及其综合应用
条件选择;正、余弦定理的
应用,三角形的面积公式,
两角和的正弦公式
直接法
逻辑推理
数学运算
2020新高考Ⅰ,17
10
解答题
中
解三角形及其综合应用
条件选择;正、余弦
定理的应用
直接法
逻辑推理
数学运算
2020天津,16
14
解答题
中
解三角形及其综合应用
正、余弦定理的应用,两角和
的正弦公式、二倍角公式
直接法
逻辑推理
数学运算
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度以中档为主,选择题、填空题和解答题均有可能出现.
2.高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其应用,以及正弦、余弦定理在解三角形中的应用,有时也以化简求值为背景考查三角恒等变换等问题.
3.在处理三角函数与解三角形有关问题时,熟记公式是解决此类问题的前提,同时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题中的应用.
4.本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.高考对本章内容的考查在稳定中有所提升,考查方式及题目难度在2020年变化较大,分值所占比重比往年要高,要引起足够重视.
2.考查内容主要体现在以下方面:①以三角函数图象为背景考查诱导公式、图象的变换、性质的应用以及三角恒等变换(如2020年新高考Ⅰ卷第10题);②以解三角形为载体考查正弦、余弦定理以及三角形面积公式的应用(如2020年新高考Ⅰ卷第17题,是一种全新的题型,需要先选择条件,再解三角形,有很强的自主选择性,考查了学生探究问题的能力);③以函数、不等式、向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注.同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用.
§5.1 三角函数的概念、同角三角函数
的基本关系及诱导公式
基础篇
【基础集训】
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 ( )
A.10π B.9π C.910π D.109π
答案 D
2.已知角α的终边经过点(m,-2m),其中m≠0,则sinα+cosα=( )
A.-55 B.±55 C.-35 D.±35
答案 B
3.若sinθ·cosθ<0,tanθsinθ>0,则角θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 D
4.在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边逆时针旋转2π3得到角β,若sinπ6+α=13,则cosβ= ( )
A.-223 B.23 C.23 D.-13
答案 D
5.已知扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
答案 B
6.已知sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sinθcosθ+cos2θ= ( )
A.15 B.25 C.35 D.55
答案 C
7.已知点P(1,3)在角α的终边上,则6sinα+8cosα3sinα-2cosα= .
答案 267
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020山西模拟)“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当θ为第一或第四象限角时,cosθ>0,所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分条件,
当cosθ>0时,θ是第一或第四象限角或x轴正半轴上的角,所以“θ为第一或第四象限角”不是“cosθ>0”的必要条件,
所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要条件.
故选A.
易错警示 忽视角的终边在x轴正半轴上的情况.
2.(2019北京海淀期中,5)角θ终边经过点P(4,y),且sinθ=-35,则tanθ= ( )
A.-43 B.43 C.-34 D.34
答案 C 本题考查三角函数的定义.
sinθ=yx2+y2=y42+y2=-35,
∴y=-3,
∴P点坐标为(4,-3),
∴tanθ=yx=-34.故选C.
3.(2020山西大同期中)设a=sin5π12,b=cos5π12,c=tan5π12,则 ( )
A.a
4.(2020百校联考高考考前冲刺(二),3)已知O为坐标原点,角α的终边经过点P(3,m)(m<0)且sinα=1010m,则sin2α=( )
A.45 B.35 C.-35 D.-45
答案 C 根据题意得,sinα=mm2+9=1010m,解得m=-1,所以P(3,-1),所以sinα=-1010,cosα=31010,所以sin2α=2sinαcosα=-35.
5.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且cosα3=-cosα3,则α3是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 C ∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z).∴2kπ3+π3<α3<2kπ3+π2(k∈Z),∴α3的终边在第一象限或第三象限或第四象限.又∵cosα3=-cosα3,
∴cosα3≤0,∴α3是第三象限角,故选C.
6.(2019北京西城一模,13)能说明“若sinα=cosβ,则α+β=k·360°+90°,其中k∈Z”为假命题的一组α,β的值是 .
答案 α=180°,β=90°(答案不唯一)
解析 当α=180°,β=90°时,满足sinα=cosβ,但α+β=270°,不满足α+β=k·360°+90°(k∈Z),因此原命题为假命题.
7.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cosπ2x+α+1,且f(8)=2,则f(2018)= .
答案 0
解析 ∵f(8)=cos(4π+α)+1=cosα+1=2,
∴cosα=1,∴f(2018)=cosπ2×2018+α+1=cos(1009π+α)+1=cos(π+α)+1=-cosα+1=-1+1=0.
8.(2020广东化州二模,15)已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则sin2α-cos2α2sinαcosα+cos2α的值为 .
答案 35
解析 由f(x)=23x3得f'(x)=2x2,∴f'(1)=2,故tanα=2.
∴sin2α-cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α-12tanα+1=22-12×2+1=35.
思路分析 根据导数的几何意义求出tanα=2,然后将所给齐次式转化为只含有tanα的形式后求解即可.
方法总结 本题以导数的几何意义为载体考查三角函数求值.对于含有sinα,cosα的齐次式的求值问题,一般利用同角三角函数的基本关系转化为关于tanα的形式后再求解.
综合篇
【综合集训】
考法一 三角函数定义的应用
1.(2020山东仿真联考2,3)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则cos2θ的值为 ( )
A.-725 B.725 C.-2425 D.2425
答案 A
2.(2020山东滕州一中3月模拟,5)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)= ( )
A.12 B.32 C.-12 D.-32
答案 A
3.(2020四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为 ( )
A.±12 B.-12 C.12 D.32
答案 C
考法二 同角三角函数的基本关系式的应用
4.(2020山东济南二模,3)已知α为第四象限角,cosα=513,则sinα= ( )
A.-1213 B.1213 C.-512 D.512
答案 A
5.(2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,5)已知直线l1:xsinα+y-1=0,直线l2:x-3ycosα+1=0,若l1⊥l2,则sin2α=( )
A.23 B.±35 C.-35 D.35
答案 D
6.(2020山东济宁6月三模,12)已知tan(π-α)=2,则sinα+cosαsinα-cosα= .
答案 13
考法三 利用诱导公式化简求值
7.直线l:2x-y+e=0的倾斜角为α,则sin(π-α)sinπ2+α的值为 ( )
A.-25 B.-15 C.15 D.25
答案 D
8.(2020湖南株洲检测,3)化简sin(π-α)·cos(3π+α)sin3π2+α·cosα-π2的结果为 ( )
A.1 B.-1 C.sinα D.cosα
答案 A
9.(2020吉林部分名校3月联考,8)若sinθ-cosθ=43,且θ∈34π,π,则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )
A.-23 B.23 C.-43 D.43
答案 A
10.(多选题)(2020山东聊城一中线上3月测试,9)下列化简正确的是 ( )
A.tan(π+1)=tan1 B.sin(-α)tan(360°-α)=cosα
C.sin(π-α)cos(π+α)=tanα D.cos(π-α)tan(-π-α)sin(2π-α)=1
答案 AB
11.(2020陕西渭南尚德中学月考,17)已知f(α)=sin(5π-α)·cosα+3π2·cos(π+α)sinα-3π2·cosα+π2·tan(α-3π).
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos3π2-α=15,求f(α)的值.
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 三角函数定义的应用
1.(2019北京海淀一模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是 ( )
A.sinα+π2 B.cosα+π2
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
答案 D ∵角α的终边在第二象限,
∴α+π2的终边在第三象限,∴sinα+π2<0,cosα+π2<0.
∵α+π的终边在第四象限,∴sin(α+π)<0,cos(α+π)>0.故选D.
2.(2018云南曲靖质检,5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin2θ+π3= ( )
A.3-4310 B.-3-4310 C.4-3310 D.-4-3310
答案 A 由题意知θ的终边在第一或第三象限,且tanθ=3,则sin2θ+π3=12sin2θ+
32cos2θ=sinθcosθ+32(cos2θ-sin2θ)sin2θ+cos2θ=tanθ+32(1-tan2θ)tan2θ+1=3-4310,故选A.
解后反思 用三角函数定义求三角函数值的两种情况:
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.
3.(2020山西太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα= ( )
A.33+410 B.-33+410 C.33-410 D.4-3310
答案 B 本题主要考查三角函数的定义、两角和的余弦公式,通过角的旋转以及凑角法转化角α的形式,考查转化与化归思想,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.
将角α的终边按顺时针方向旋转π6后得到的角为α-π6,由三角函数的定义,可得cosα-π6=-3(-3)2+42=-35,sinα-π6=4(-3)2+42=45,所以cosα=cosα-π6+π6=cosα-π6cosπ6-sinα-π6sinπ6=-35×32-45×12=-33+410,故选B.
思路分析 首先利用三角函数定义求出角α-π6的正、余弦值,然后利用凑角法把角α转化为α-π6+π6,再利用两角和的余弦公式求得结果.
4.(2019新疆石河子一中期中,7)已知角β的终边上的一点P的坐标为35,45,若角β的终边绕着坐标原点逆时针旋转90°得到角α,则cos2α1+sin2α= ( )
A.-17 B.17 C.-7 D.7
答案 D ∵角β的终边上的一点P的坐标为35,45,
∴cosβ=35,sinβ=45,
∴角β的终边绕着坐标原点逆时针旋转90°得到角α,则sinα=sinβ+π2=cosβ=35,
cosα=cosβ+π2=-sinβ=-45,
∴cos2α=2cos2α-1=725,sin2α=2sinαcosα=-2425,
∴cos2α1+sin2α=7251-2425=7.故选D.
思路分析 由题意利用任意角的三角函数的定义可求cosβ,sinβ,利用诱导公式可求sinα,cosα的值,根据二倍角公式可求cos2α,sin2α,代入计算即可.
5.(2017北京海淀期中)若角θ的终边过点P(3,-4),则sin(θ-π)= .
答案 45
解析 由角θ的终边过点P(3,-4),得sinθ=-45,
所以sin(θ-π)=-sinθ=45.
6.(2018陕西榆林一模,13)若角α的终边经过点P35,-45,则sinαtanα的值是 .
答案 1615
解析 设坐标原点为O,OP=r=352+-452=1,
∴sinα=-45,tanα=-4535=-43,∴sinαtanα=-45×-43=1615.
思路分析 利用三角函数的定义即可求解.
考法二 同角三角函数的基本关系的应用
1.(2019四川成都石室中学4月月考,2)已知α为第二象限角,且sinα+cosα=15,则cosα-sinα= ( )
A.75 B.-75 C.±75 D.2425
答案 B ∵sinα+cosα=15,两边平方得1+2sinαcosα=125,∴2sinαcosα=-2425,
∴(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1+2425=4925,∵α为第二象限角,∴cosα-sinα=-75,故选B.
2.(2020河南六市一模,5)已知cosπ2+α=35,且α∈π2,3π2,则tanα= ( )
A.43 B.34 C.-34 D.±34
答案 B ∵cosπ2+α=35,∴sinα=-35.又α∈π2,3π2,∴cosα=-1-sin2α=-45,∴tanα=sinαcosα=34.故选B.
3.(2020吉林长春二模,9)已知α为锐角,且sinα+π3sinα-π3=tanα+π3,则角α= ( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
答案 C 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式等,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.
由条件得sinα+π3sinα-π3=sinα+π3cosα+π3,又因为α为锐角,所以sinα-π3=cosα+π3,即sinα-π3=sinπ2-α+π3,所以有α-π3=π2-α+π3,解得α=π4,故选C.
4.(2020湖北武汉外国语学校月考)已知θ∈0,π2,则4cos2θsin4θ+1cos4θ的最小值为 .
答案 5+42
解析 1cos2θ=sin2θcos2θ+1,1sin2θ=cos2θsin2θ+1,
令sinθcosθ2=k,k>0,
则1sin2θ=1k+1,1cos4θ=1cos2θ2=(k+1)2=k2+2k+1,
∴4cos2θsin4θ+1cos4θ=4cos2θsin2θ·1sin2θ+1cos4θ=4k1k+1+k2+2k+1
=4k2+k2+4k+2k+1≥24k2·k2+24k·2k+1=5+42,
当且仅当k4=4,2k2=4,即k=2时,取等号,
则4cos2θsin4θ+1cos4θ的最小值为5+42.
思路分析 令sinθcosθ2=k,k>0,利用同角三角函数的基本关系得出1sin2θ=1k+1,1cos4θ=k2+2k+1,从而将4cos2θsin4θ+1cos4θ化为4k2+k2+4k+2k+1,再结合基本不等式得出最值.
考法三 利用诱导公式化简求值
1.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin33π14+α=-5cos5π14+α,则tan5π14+α= ( )
A.-53 B.-35 C.35 D.53
答案 A 由3sin33π14+α=-5cos5π14+α,得sin5π14+α=-53cos5π14+α,所以tan5π14+α=sin5π14+αcos5π14+α=-53.
2.(2017巴蜀黄金大联考,4)已知cos4π5cos7π15-sin9π5sin7π15=cosx+π2cosx+23,则sin2x等于 ( )
A.13 B.-13 C.112 D.-112
答案 A ∵cos4π5cos7π15-sin9π5sin7π15=cos4π5cos7π15+sin4π5sin7π15=cos4π5-7π15=cosπ3=12,
∴cosx+π2cosx+23=12,即-sinxcosx=12-23=-16.
∴12sin2x=16.∴sin2x=13.故选A.
3.(2020广东深圳统测,6)已知tanα=-3,则sin2α+π4= ( )
A.35 B.-35 C.45 D.-45
答案 D sin2α+π4=sin2α+π2=cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α,将tanα=-3代入,原式=1-91+9=-45,故选D.
4.(2020江西九江模拟,14)已知cosπ6-α=23,则sin（π6+2α）= .
答案 -19
解析 本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.
因为2π6-α+π6+2α=π2,所以sinπ6+2α=sinπ2-2[π6-α]=cos2π6-α=2cos2π6-α-1,把cosπ6-α=23代入得,原式=2×49-1=-19.
专题五 三角函数与解三角形
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析
备考指导
主题
内容
一、三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
4.理解同角三角函数的基本关系式.
5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近几年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,考题难度以中档题为主,题型在选择题、填空题和解答题均有可能出现,比如(2020新高考Ⅰ的第10题(多选题),第15题(填空题),第17题(解答题),占20分;2020课标Ⅰ理第9题考查二倍角公式,第16题是翻折问题与解三角形的结合;2020北京第14题考查三角函数最值及诱导公式,第17题选条件用正、余弦定理解三角形与求三角形的面积结合等).
1.在复习备考中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.
2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.
3.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查.
二、三角恒等变换
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.
三、三角函数的图象、性质及应用
1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.
2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.
3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
四、解三角形及综合应用
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.
【真题探秘】
必备知识
正弦定理、余弦定理.
核心素养
数学运算、逻辑推理.
解题指导
在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理.
易错警示
应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
核心素养
2020课标Ⅰ理,9
5
选择题
中
三角恒等变换
二倍角公式、同角三角
函数的基本关系
公式法
数学运算
2020课标Ⅰ,文7,理7
5
选择题
易
三角函数的图象与性质
求最小正周期
定义法
数学运算
2020新高考Ⅰ,10
5
多项
选择题
中
三角函数的图象与性质
诱导公式、三角函数的性质
定义法
数学运算
逻辑推理
2020北京,14
5
填空题
中
三角函数的图象与性质
三角函数的最值的应用
直接法
数学运算
逻辑推理
2020课标Ⅰ理,16
5
填空题
中
解三角形
余弦定理的应用
直接法
逻辑推理
数学运算
2020天津,8
5
选择题
中
三角函数的性质及其应用
三角函数的周期、
最值,图象平移
逐项判断法
数形结合法
数学运算
2020北京,17
13
解答题
中
解三角形及其综合应用
条件选择;正、余弦定理的
应用,三角形的面积公式,
两角和的正弦公式
直接法
逻辑推理
数学运算
2020新高考Ⅰ,17
10
解答题
中
解三角形及其综合应用
条件选择;正、余弦
定理的应用
直接法
逻辑推理
数学运算
2020天津,16
14
解答题
中
解三角形及其综合应用
正、余弦定理的应用,两角和
的正弦公式、二倍角公式
直接法
逻辑推理
数学运算
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度以中档为主,选择题、填空题和解答题均有可能出现.
2.高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其应用,以及正弦、余弦定理在解三角形中的应用,有时也以化简求值为背景考查三角恒等变换等问题.
3.在处理三角函数与解三角形有关问题时,熟记公式是解决此类问题的前提,同时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题中的应用.
4.本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.高考对本章内容的考查在稳定中有所提升,考查方式及题目难度在2020年变化较大,分值所占比重比往年要高,要引起足够重视.
2.考查内容主要体现在以下方面:①以三角函数图象为背景考查诱导公式、图象的变换、性质的应用以及三角恒等变换(如2020年新高考Ⅰ卷第10题);②以解三角形为载体考查正弦、余弦定理以及三角形面积公式的应用(如2020年新高考Ⅰ卷第17题,是一种全新的题型,需要先选择条件,再解三角形,有很强的自主选择性,考查了学生探究问题的能力);③以函数、不等式、向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注.同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用.
§5.1 三角函数的概念、同角三角函数
的基本关系及诱导公式
基础篇
【基础集训】
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 ( )
A.10π B.9π C.910π D.109π
答案 D
2.已知角α的终边经过点(m,-2m),其中m≠0,则sinα+cosα=( )
A.-55 B.±55 C.-35 D.±35
答案 B
3.若sinθ·cosθ<0,tanθsinθ>0,则角θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 D
4.在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边逆时针旋转2π3得到角β,若sinπ6+α=13,则cosβ= ( )
A.-223 B.23 C.23 D.-13
答案 D
5.已知扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
答案 B
6.已知sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sinθcosθ+cos2θ= ( )
A.15 B.25 C.35 D.55
答案 C
7.已知点P(1,3)在角α的终边上,则6sinα+8cosα3sinα-2cosα= .
答案 267
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020山西模拟)“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当θ为第一或第四象限角时,cosθ>0,所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分条件,
当cosθ>0时,θ是第一或第四象限角或x轴正半轴上的角,所以“θ为第一或第四象限角”不是“cosθ>0”的必要条件,
所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要条件.
故选A.
易错警示 忽视角的终边在x轴正半轴上的情况.
2.(2019北京海淀期中,5)角θ终边经过点P(4,y),且sinθ=-35,则tanθ= ( )
A.-43 B.43 C.-34 D.34
答案 C 本题考查三角函数的定义.
sinθ=yx2+y2=y42+y2=-35,
∴y=-3,
∴P点坐标为(4,-3),
∴tanθ=yx=-34.故选C.
3.(2020山西大同期中)设a=sin5π12,b=cos5π12,c=tan5π12,则 ( )
A.a
4.(2020百校联考高考考前冲刺(二),3)已知O为坐标原点,角α的终边经过点P(3,m)(m<0)且sinα=1010m,则sin2α=( )
A.45 B.35 C.-35 D.-45
答案 C 根据题意得,sinα=mm2+9=1010m,解得m=-1,所以P(3,-1),所以sinα=-1010,cosα=31010,所以sin2α=2sinαcosα=-35.
5.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且cosα3=-cosα3,则α3是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 C ∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z).∴2kπ3+π3<α3<2kπ3+π2(k∈Z),∴α3的终边在第一象限或第三象限或第四象限.又∵cosα3=-cosα3,
∴cosα3≤0,∴α3是第三象限角,故选C.
6.(2019北京西城一模,13)能说明“若sinα=cosβ,则α+β=k·360°+90°,其中k∈Z”为假命题的一组α,β的值是 .
答案 α=180°,β=90°(答案不唯一)
解析 当α=180°,β=90°时,满足sinα=cosβ,但α+β=270°,不满足α+β=k·360°+90°(k∈Z),因此原命题为假命题.
7.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cosπ2x+α+1,且f(8)=2,则f(2018)= .
答案 0
解析 ∵f(8)=cos(4π+α)+1=cosα+1=2,
∴cosα=1,∴f(2018)=cosπ2×2018+α+1=cos(1009π+α)+1=cos(π+α)+1=-cosα+1=-1+1=0.
8.(2020广东化州二模,15)已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则sin2α-cos2α2sinαcosα+cos2α的值为 .
答案 35
解析 由f(x)=23x3得f'(x)=2x2,∴f'(1)=2,故tanα=2.
∴sin2α-cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α-12tanα+1=22-12×2+1=35.
思路分析 根据导数的几何意义求出tanα=2,然后将所给齐次式转化为只含有tanα的形式后求解即可.
方法总结 本题以导数的几何意义为载体考查三角函数求值.对于含有sinα,cosα的齐次式的求值问题,一般利用同角三角函数的基本关系转化为关于tanα的形式后再求解.
综合篇
【综合集训】
考法一 三角函数定义的应用
1.(2020山东仿真联考2,3)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则cos2θ的值为 ( )
A.-725 B.725 C.-2425 D.2425
答案 A
2.(2020山东滕州一中3月模拟,5)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)= ( )
A.12 B.32 C.-12 D.-32
答案 A
3.(2020四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为 ( )
A.±12 B.-12 C.12 D.32
答案 C
考法二 同角三角函数的基本关系式的应用
4.(2020山东济南二模,3)已知α为第四象限角,cosα=513,则sinα= ( )
A.-1213 B.1213 C.-512 D.512
答案 A
5.(2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,5)已知直线l1:xsinα+y-1=0,直线l2:x-3ycosα+1=0,若l1⊥l2,则sin2α=( )
A.23 B.±35 C.-35 D.35
答案 D
6.(2020山东济宁6月三模,12)已知tan(π-α)=2,则sinα+cosαsinα-cosα= .
答案 13
考法三 利用诱导公式化简求值
7.直线l:2x-y+e=0的倾斜角为α,则sin(π-α)sinπ2+α的值为 ( )
A.-25 B.-15 C.15 D.25
答案 D
8.(2020湖南株洲检测,3)化简sin(π-α)·cos(3π+α)sin3π2+α·cosα-π2的结果为 ( )
A.1 B.-1 C.sinα D.cosα
答案 A
9.(2020吉林部分名校3月联考,8)若sinθ-cosθ=43,且θ∈34π,π,则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )
A.-23 B.23 C.-43 D.43
答案 A
10.(多选题)(2020山东聊城一中线上3月测试,9)下列化简正确的是 ( )
A.tan(π+1)=tan1 B.sin(-α)tan(360°-α)=cosα
C.sin(π-α)cos(π+α)=tanα D.cos(π-α)tan(-π-α)sin(2π-α)=1
答案 AB
11.(2020陕西渭南尚德中学月考,17)已知f(α)=sin(5π-α)·cosα+3π2·cos(π+α)sinα-3π2·cosα+π2·tan(α-3π).
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos3π2-α=15,求f(α)的值.
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 三角函数定义的应用
1.(2019北京海淀一模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是 ( )
A.sinα+π2 B.cosα+π2
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
答案 D ∵角α的终边在第二象限,
∴α+π2的终边在第三象限,∴sinα+π2<0,cosα+π2<0.
∵α+π的终边在第四象限,∴sin(α+π)<0,cos(α+π)>0.故选D.
2.(2018云南曲靖质检,5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin2θ+π3= ( )
A.3-4310 B.-3-4310 C.4-3310 D.-4-3310
答案 A 由题意知θ的终边在第一或第三象限,且tanθ=3,则sin2θ+π3=12sin2θ+
32cos2θ=sinθcosθ+32(cos2θ-sin2θ)sin2θ+cos2θ=tanθ+32(1-tan2θ)tan2θ+1=3-4310,故选A.
解后反思 用三角函数定义求三角函数值的两种情况:
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.
3.(2020山西太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα= ( )
A.33+410 B.-33+410 C.33-410 D.4-3310
答案 B 本题主要考查三角函数的定义、两角和的余弦公式,通过角的旋转以及凑角法转化角α的形式,考查转化与化归思想,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.
将角α的终边按顺时针方向旋转π6后得到的角为α-π6,由三角函数的定义,可得cosα-π6=-3(-3)2+42=-35,sinα-π6=4(-3)2+42=45,所以cosα=cosα-π6+π6=cosα-π6cosπ6-sinα-π6sinπ6=-35×32-45×12=-33+410,故选B.
思路分析 首先利用三角函数定义求出角α-π6的正、余弦值,然后利用凑角法把角α转化为α-π6+π6,再利用两角和的余弦公式求得结果.
4.(2019新疆石河子一中期中,7)已知角β的终边上的一点P的坐标为35,45,若角β的终边绕着坐标原点逆时针旋转90°得到角α,则cos2α1+sin2α= ( )
A.-17 B.17 C.-7 D.7
答案 D ∵角β的终边上的一点P的坐标为35,45,
∴cosβ=35,sinβ=45,
∴角β的终边绕着坐标原点逆时针旋转90°得到角α,则sinα=sinβ+π2=cosβ=35,
cosα=cosβ+π2=-sinβ=-45,
∴cos2α=2cos2α-1=725,sin2α=2sinαcosα=-2425,
∴cos2α1+sin2α=7251-2425=7.故选D.
思路分析 由题意利用任意角的三角函数的定义可求cosβ,sinβ,利用诱导公式可求sinα,cosα的值,根据二倍角公式可求cos2α,sin2α,代入计算即可.
5.(2017北京海淀期中)若角θ的终边过点P(3,-4),则sin(θ-π)= .
答案 45
解析 由角θ的终边过点P(3,-4),得sinθ=-45,
所以sin(θ-π)=-sinθ=45.
6.(2018陕西榆林一模,13)若角α的终边经过点P35,-45,则sinαtanα的值是 .
答案 1615
解析 设坐标原点为O,OP=r=352+-452=1,
∴sinα=-45,tanα=-4535=-43,∴sinαtanα=-45×-43=1615.
思路分析 利用三角函数的定义即可求解.
考法二 同角三角函数的基本关系的应用
1.(2019四川成都石室中学4月月考,2)已知α为第二象限角,且sinα+cosα=15,则cosα-sinα= ( )
A.75 B.-75 C.±75 D.2425
答案 B ∵sinα+cosα=15,两边平方得1+2sinαcosα=125,∴2sinαcosα=-2425,
∴(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1+2425=4925,∵α为第二象限角,∴cosα-sinα=-75,故选B.
2.(2020河南六市一模,5)已知cosπ2+α=35,且α∈π2,3π2,则tanα= ( )
A.43 B.34 C.-34 D.±34
答案 B ∵cosπ2+α=35,∴sinα=-35.又α∈π2,3π2,∴cosα=-1-sin2α=-45,∴tanα=sinαcosα=34.故选B.
3.(2020吉林长春二模,9)已知α为锐角,且sinα+π3sinα-π3=tanα+π3,则角α= ( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
答案 C 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式等,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.
由条件得sinα+π3sinα-π3=sinα+π3cosα+π3,又因为α为锐角,所以sinα-π3=cosα+π3,即sinα-π3=sinπ2-α+π3,所以有α-π3=π2-α+π3,解得α=π4,故选C.
4.(2020湖北武汉外国语学校月考)已知θ∈0,π2,则4cos2θsin4θ+1cos4θ的最小值为 .
答案 5+42
解析 1cos2θ=sin2θcos2θ+1,1sin2θ=cos2θsin2θ+1,
令sinθcosθ2=k,k>0,
则1sin2θ=1k+1,1cos4θ=1cos2θ2=(k+1)2=k2+2k+1,
∴4cos2θsin4θ+1cos4θ=4cos2θsin2θ·1sin2θ+1cos4θ=4k1k+1+k2+2k+1
=4k2+k2+4k+2k+1≥24k2·k2+24k·2k+1=5+42,
当且仅当k4=4,2k2=4,即k=2时,取等号,
则4cos2θsin4θ+1cos4θ的最小值为5+42.
思路分析 令sinθcosθ2=k,k>0,利用同角三角函数的基本关系得出1sin2θ=1k+1,1cos4θ=k2+2k+1,从而将4cos2θsin4θ+1cos4θ化为4k2+k2+4k+2k+1,再结合基本不等式得出最值.
考法三 利用诱导公式化简求值
1.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin33π14+α=-5cos5π14+α,则tan5π14+α= ( )
A.-53 B.-35 C.35 D.53
答案 A 由3sin33π14+α=-5cos5π14+α,得sin5π14+α=-53cos5π14+α,所以tan5π14+α=sin5π14+αcos5π14+α=-53.
2.(2017巴蜀黄金大联考,4)已知cos4π5cos7π15-sin9π5sin7π15=cosx+π2cosx+23,则sin2x等于 ( )
A.13 B.-13 C.112 D.-112
答案 A ∵cos4π5cos7π15-sin9π5sin7π15=cos4π5cos7π15+sin4π5sin7π15=cos4π5-7π15=cosπ3=12,
∴cosx+π2cosx+23=12,即-sinxcosx=12-23=-16.
∴12sin2x=16.∴sin2x=13.故选A.
3.(2020广东深圳统测,6)已知tanα=-3,则sin2α+π4= ( )
A.35 B.-35 C.45 D.-45
答案 D sin2α+π4=sin2α+π2=cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α,将tanα=-3代入,原式=1-91+9=-45,故选D.
4.(2020江西九江模拟,14)已知cosπ6-α=23,则sin（π6+2α）= .
答案 -19
解析 本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.
因为2π6-α+π6+2α=π2,所以sinπ6+2α=sinπ2-2[π6-α]=cos2π6-α=2cos2π6-α-1,把cosπ6-α=23代入得,原式=2×49-1=-19.
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