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新人教A版高考数学二轮复习专题十一概率与统计2离散型随机变量及其分布列均值与方差综合篇课件
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这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题十一概率与统计2离散型随机变量及其分布列均值与方差综合篇课件，共16页。
2.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i
则称X服从两点分布.(2)超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中任取n件,其中恰有X件次品,则P(X =k)= (k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列为超几何分布列.
考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.均值与方差的定义若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映 了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差称D(X)= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(x).2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=① aE(X)+b .(2)D(aX+b)=② a2D(X) .(a,b为实数)3.两点分布的均值、方差
若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法
例 (2020山东泰安6月三模)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水 果),购入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A 水果没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完 毕(根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该 水果批发商根据往年的销量,统计了100天A水果在每天的前8小时的销售 量,制成如下频数分布条形图.
现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率为A水果 在一天的前8小时内的销售量的概率,记X表示A水果在一天前8小时内的 销售量,n表示水果批发商一天批发A水果的袋数.(1)求X的分布列;(2)以日利润的期望为决策依据,在n=15与n=16中选其一,应选用哪个?
解题导引 (1)以频率作为概率,由条形图可得分布列.(2)求出n=15,n=16时的期望,比较大小得结论.
解析 (1)根据条形图,可得A水果在一天的前8小时内的销售量分别为14, 15,16,17袋的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1,所以X的分布列为
(2)当n=15时,设水果批发商的日利润为Y元,则Y的可能取值为760,900,P(Y=760)=0.2,P(Y=900)=0.8,所以期望E(Y)=760×0.2+900×0.8=872.当n=16时,设水果批发商的日利润为Z元,则Z的可能取值为680,820,960,P(Z=680)=0.2,P(Z=820)=0.3,P(Z=960)=0.5.所以期望E(Z)=680×0.2+820×0.3+960×0.5=862.故E(Y)>E(Z).综上可知,当n=15时的日利润的期望大于n=16时的日利润的期望,故选n=15.
方法总结 计算期望与方差的一般步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
解析 (1)由题意知 解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9,结合f(x)= 得 + + + + =1,则a=0.15.可知销售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别 是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,∴销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.(2)销售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2∶3∶3,所以在
各组抽取的天数分别为2,3,3.X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)= = = ,P(X=3)= = = ,P(X=2)=1- - = .X的分布列为
数学期望EX=1× +2× +3× = .
例 (2020河南天一“顶尖计划”第一次联考,21)某机构组织的家庭教育 活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩 饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要 求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果. 设小孩对四种食物排出的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAy ByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA-yA)2+(xB-yB)2+(xC-yC)2+(xD-yD)2,用X来衡量家长对小孩饮 食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.①求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;②求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);
(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断 这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.
②根据①的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,此时家长的排序一 共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的X的值,X的分布列如下表:
2.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i
则称X服从两点分布.(2)超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中任取n件,其中恰有X件次品,则P(X =k)= (k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列为超几何分布列.
考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.均值与方差的定义若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映 了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差称D(X)= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(x).2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=① aE(X)+b .(2)D(aX+b)=② a2D(X) .(a,b为实数)3.两点分布的均值、方差
若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法
例 (2020山东泰安6月三模)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水 果),购入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A 水果没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完 毕(根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该 水果批发商根据往年的销量,统计了100天A水果在每天的前8小时的销售 量,制成如下频数分布条形图.
现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率为A水果 在一天的前8小时内的销售量的概率,记X表示A水果在一天前8小时内的 销售量,n表示水果批发商一天批发A水果的袋数.(1)求X的分布列;(2)以日利润的期望为决策依据,在n=15与n=16中选其一,应选用哪个?
解题导引 (1)以频率作为概率,由条形图可得分布列.(2)求出n=15,n=16时的期望,比较大小得结论.
解析 (1)根据条形图,可得A水果在一天的前8小时内的销售量分别为14, 15,16,17袋的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1,所以X的分布列为
(2)当n=15时,设水果批发商的日利润为Y元,则Y的可能取值为760,900,P(Y=760)=0.2,P(Y=900)=0.8,所以期望E(Y)=760×0.2+900×0.8=872.当n=16时,设水果批发商的日利润为Z元,则Z的可能取值为680,820,960,P(Z=680)=0.2,P(Z=820)=0.3,P(Z=960)=0.5.所以期望E(Z)=680×0.2+820×0.3+960×0.5=862.故E(Y)>E(Z).综上可知,当n=15时的日利润的期望大于n=16时的日利润的期望,故选n=15.
方法总结 计算期望与方差的一般步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
解析 (1)由题意知 解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9,结合f(x)= 得 + + + + =1,则a=0.15.可知销售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别 是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,∴销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.(2)销售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2∶3∶3,所以在
各组抽取的天数分别为2,3,3.X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)= = = ,P(X=3)= = = ,P(X=2)=1- - = .X的分布列为
数学期望EX=1× +2× +3× = .
例 (2020河南天一“顶尖计划”第一次联考,21)某机构组织的家庭教育 活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩 饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要 求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果. 设小孩对四种食物排出的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAy ByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA-yA)2+(xB-yB)2+(xC-yC)2+(xD-yD)2,用X来衡量家长对小孩饮 食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.①求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;②求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);
(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断 这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.
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