【解析版】2022学年川底中学九年级上期中数学模拟试卷

2022学年山西省晋城市泽州县川底中学九年级（上）期中数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共21分）

1．（2014•松江区二模）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 同类二次根式．

分析： 把B、C、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可．

解答： 解：A、与不是同类二次根式，故本选项错误；

B、=3与不是同类二次根式，故本选项错误；

C、=3与不是同类二次根式，故本选项错误；

D、=与是同类二次根式，故本选项准确．

故选D．

点评： 本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

2．（2014•武汉模拟）下列计算正确的是（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 二次根式的混合运算．

专题： 计算题．

分析： A、利用二次根式的乘法法则计算即可判定；

B、利用同类二次根式的定义即可判定；

C、利用二次根式的乘法法则计算即可判定；

D、利用二次根式的定义即可判定．

解答： 解：A、，故选项正确；

B、，故选项错误；

C、，故选项错误；

D、，故选项错误．

故选A．

点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算，其中熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待

3．（2014秋•泽州县校级期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）

　 A． 4、2、1、3 B． 1、2、3、5 C． 3、4、5、6              D．              1、2、2、4

考点： 比例线段．

分析： 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．

解答： 解：

A.2×1≠3×4，故本选项错误；

B.1×5≠2×3，故本选项错误；

C.4×5≠3×6，故本选项错误；

D.2×2=1×4，故本选项正确；

故选；D．

点评： 此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．

4．（2015•邵阳县二模）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（　　）

　 A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根

　 C． 只有一个实数根 D． 没有实数根

考点： 根的判别式．

专题： 计算题．

分析： 先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

解答： 解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5．（2014秋•永春县期末）用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方结果正确的是（　　）

　 A． （x+2）2=5 B． （x+2）2=1 C． （x﹣2）2=1              D．              （x﹣2）2=5

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．

解答： 解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4

配方得（x+2）2=5．

故选：A．

点评： 本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

6．（2013春•南通期中）顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（　　）

　 A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D．              梯形

考点： 中点四边形．

分析： 因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．

解答： 解：连接AC、BD，

在△ABD中，

∵AH=HD，AE=EB

∴EH=BD，

同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，

∴EH=HG=GF=FE，

∴四边形EFGH为菱形．

故选C．

点评： 本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．

7．（2014秋•泽州县校级期中）如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，不能添加的条件是（　　）

　 A． DE∥BC B． AD•AC=AB•AE C．              AD：AC=AE：AB              D．              AD：AB=DE：BC

考点： 相似三角形的判定．

分析： 根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B、C、D进行判断．

解答： 解：A、当DE∥BC，则△AED∽ACB，所以A选项错误；

B、当AD•AC=AB•AE，即AD：AB=AE：AC，而∠A公共，则△AED∽ACB，所以B选项错误；

C、当AD：AC=AE：AB，而∠A公共，则△AED∽△ABC，所以C选项

D、AD：AB=DE：BC，而它们的夹角∠ADE和∠ABC不确定相等，则不能判断△AED与△ABC相似，所以D选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

二、填空题（每小题4分，共40分）

8．（2014秋•泽州县校级期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣4　．

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，再解不等式即可．

解答： 解：由题意得：x+4≥0，

解得：x≥﹣4，

故答案为：x≥﹣4．

点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

9．（2014秋•泽州县校级期中）甲、乙两地的实际距离20千米，则在比例尺为1：1000000的地图上两地间的距离应为　2　厘米．

考点： 比例线段．

专题： 应用题．

分析： 比例问题，实际距离乘以比例尺即为图上距离．

解答： 解；20千米=2000000厘米，2000000×=2厘米．

点评： 掌握比例线段的定义，灵活使用比例尺．

10．（2010•陕西）方程x2﹣4x=0的解为　x1=0，x2=4　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 计算题．

分析： x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．

解答： 解：x2﹣4x=0

x（x﹣4）=0

x=0或x﹣4=0

x1=0，x2=4

故答案是：x1=0，x2=4．

点评： 本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．该题运用了因式分解法．

11．（2014秋•泽州县校级期中）如果，那么=　　．

考点： 比例的性质．

分析： 根据分比性质：1﹣=1﹣，可得答案．

解答： 解：，由分比性质得

1﹣=1﹣，即

=，

故答案为：．

点评： 本题考查了比例的性质，利用了分比性质．

12．（2013秋•惠安县期末）若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为　2：3　．

考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．

解答： 解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，

∴它们的周长比为：2：3．

故答案为：2：3．

点评： 此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．

13．（2014秋•泽州县校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，若DE=3，则AC=　6　．

考点： 三角形中位线定理．

分析： 根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，ED=AC，进而由DE的值求得AC．

解答： 解：∵D，E分别是△ABC的边AC和BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∵DE=3，

∴AC=2DE=6．

故答案是：6．

点评： 本题主要考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

14．（2015•薛城区校级三模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=　3　．

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可．

解答： 解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，

∴x1+x2=3，

故答案为：3．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

15．（2014秋•泽州县校级期中）如图，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE与CF相交于点G，FG=2，则CG的长为　4　．

考点： 三角形的重心．

分析： 由点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE与CF相交于点G，可知点G是△ABC的重心，根据三角形重心的性质，可得CG=2FG=4．

解答： 解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，

∴点G为△ABC的重心，

∴CG=2FG=4．

故答案为4．

点评： 此题主要考查了三角形重心的定义与性质，三角形三边中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

16．（2013秋•晋江市期末）如图，D、E两点分别在△ABC的边BC、CA上，DE与AB不平行，当满足条件（写出一个即可）　∠CDE=∠A　时，△CDE∽△CAB．

考点： 相似三角形的判定．

专题： 开放型．

分析： 要使两个三角形相似，使两个角对应相等，即可得出其相似．

解答： 解：满足条件∠CDE=∠A即可

∵∠CDE=∠A，∠C为公共角，

∴△CDE∽△CAB．

故答案为：∠CDE=∠A（答案不唯一）．

点评： 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定，熟练掌握满足两个三角形相似的条件．

17．（2014秋•泽州县校级期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠B的平分线交AC于D，AC=2，则AD=　﹣1　．

考点： 黄金分割．

分析： 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得∠ABD=∠ABC=36°，则DA=DB，于是可证明△BDC∽△ABC，利用相似比得到CD：BC=BC：AC，利用等线段代换得到CD：AD=AD：AC，于是可根据黄金分割的定义得到AD=AC．

解答： 解：如图，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，

∵∠ABC的平分线BD与AC交于D，

∴∠ABD=∠ABC=36°，

∴DA=DB，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∴BD=BC，

∵∠C=∠ABC=∠BDC=72°，

∴△BDC∽△ABC，

∴CD：BC=BC：AC，

∴CD：AD=AD：AC，

∴AD=AC=﹣1．

故答案为：﹣1．

点评： 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

三、解答题（共89分）

18．（2010秋•德化县校级期中）计算：．

考点： 二次根式的加减法．

专题： 计算题．

分析： 先将二次根式化为最简，然后再进行同类二次根式的合并即可．

解答： 解：原式=5﹣+=5．

点评： 本题考查二次根式的加减运算，属于基础题，注意要先将二次根式化为最简．

19．（2005•北京）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0

考点： 解一元二次方程-配方法．

专题： 配方法．

分析： 首先把方程移项变形为x2﹣4x=﹣1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．

解答： 解：移项，得：x2﹣4x=﹣1，

配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2=﹣1+（﹣2）2，

即（x﹣2）2=3，

解这个方程，得：x﹣2=±；

即x1=2+，x2=2﹣．

点评： 配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

20．（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣12=0．

考点： 解一元二次方程-公式法．

分析： 先求出△的值，再代入求根公式计算即可．

解答： 解：5x2﹣4x﹣12=0，

∵a=5，b=﹣4，c=﹣12，

∴x====，

∴x1=﹣2，x2=．

点评： 此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出△的值．

21．（2014秋•泽州县校级期中）先化简，再求值：（x+）（x﹣）+x（1﹣x），其中x=．

考点： 整式的混合运算—化简求值．

专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=x2﹣3+x﹣x2=x﹣3，

当x=﹣4时，原式=﹣7．

点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（2014秋•泽州县校级期中）如图，在网格图中（小正方形的边长1），△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）直接写出点C（　3　，　4　）的坐标，并把△ABC沿y轴对称得△A1B1C1，再把△A1B1C1沿x轴对称得△A2B2C2，请分别作出对称后的图形△A1B1C1与△A2B2C2；

（2）在方格纸中画出与△ABC位似比为2：1的格点三角形．

考点： 作图-位似变换；作图-轴对称变换．

分析： （1）根据网格可直接写出C点坐标；

（2）根据轴对称的性质画出图形即可；

（3）以A为位似中心，边长比为1：2画出位似图形图即可．

解答： 解：（1）如图，△A1B1C1与△A2B2C2即为所求三角形．

由图可知，C（3，4）．

故答案为：3，4；

（2）如图：△A3B3C3即为所求．

点评： 本题考查的是作图﹣位似变换，熟知位似图形的作法是解答此题的关键．

23．（2012•广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题；压轴题．

分析： （1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；

（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．

解答： 解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，

7000（1﹣x）2=5670，

解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）

=95%×85%

=80.75%，

（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，

∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

点评： 此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．

24．（2014秋•泽州县校级期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，BC=8，点M是AB上的一个动点，MN∥BC交AC于点N，若点M从点B处开始向点A方向运动，速度为每秒2个单位．

（1）当运动2秒时，求AM的长；

（2）如果记运动的时间为x秒，MN的长度为y个单位，请你写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

考点： 平行线分线段成比例．

专题： 计算题．

分析： （1）利用路程等于速度乘以时间得到BM=4，则用AB﹣BM即可得到AM；

（2）根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到=，即=，再利用比例性质变形，用x表示y即可，并写出x的取值范围．

解答： 解：（1）当运动2秒时，BM=4，

所以AM=AB﹣BM=7﹣4=3；

（2）记运动的时间为x秒，则BM=2x，则AM=7﹣2x，

∵MN∥BC，

∴=，即=，

∴y=﹣x+8（0＜y＜）．

点评： 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

25．（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为　26.8　万元；

（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

考点： 一元二次方程的应用．

分析： （1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×2，即可得出答案；

（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．

解答： 解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，

∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×（3﹣1）=26.8，

故答案为：26.8；

（2）设需要售出x部汽车，

由题意可知，每部汽车的销售利润为：

28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（万元），

当0≤x≤10，

根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，

整理，得x2+14x﹣120=0，

解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=6，

当x＞10时，

根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，

整理，得x2+19x﹣120=0，

解这个方程，得x1=﹣24（不合题意，舍去），x2=5，

因为5＜10，所以x2=5舍去．

答：需要售出6部汽车．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．

26．（2013秋•洛江区期中）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．若P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间．

（1）当t=5时，△PAQ的面积=　25　cm2；

（2）当t=　　时，△PAQ是等腰直角三角形；

（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的△PAQ与△ABC相似？

考点： 四边形综合题．

分析： （1）当t=5时，AQ=BC﹣5=10﹣5=5，AP=2×5=10，再根据三角形的面积公式即可得出结论；

（2）根据AQ=AP时△PAQ是等腰直角三角形即可得出t的值；

（3）若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况：

①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；

②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC．

解答： 解：（1）∵AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，

∴当t=5时，AQ=BC﹣5=10﹣5=5，AP=2×5=10，

∴S△PAQ=×AP×AQ=×10×5=25cm2．

故答案为：25；

（2）∵AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，

∴AQ=10﹣t，AP=2t，

∵△PAQ是等腰直角三角形，

∴10﹣t=2t，解得t=s．

故答案为：；

（3）∵以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，

∴△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，

①当△ABC∽△PAQ时，

=，即=，

解得：t=；

②当△ABC∽△QAP时，

=，=，解得t=．

故当t=s或t=s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评： 本题考查的是四边形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质等知识，难度适中．