2021-2022学年河南省八所名校高二（下）联考数学试卷（文科）（四）

2021-2022学年河南省八所名校高二（下）联考数学试卷（文科）（四）

1. 若，则下列各式中正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 经过点且倾斜角为的直线方程为

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是

A. 1 B.  C.  D.

4. 圆心为，半径是2的圆标准方程为

A.  B.
C.  D.

5. 点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是

A.  B.
C. 或 D. 或

6. 已知直线：，：，若，则的值是

A.  B.  C. 或1 D. 1

7. 直线平分圆的面积，则

A. 1 B. 3 C.  D. 2

8. 渐近线方程为的双曲线的焦距为4，则双曲线的方程为

A.  B.  C.  D.

9. 某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，……，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为
    

A. ，86 B. ，87 C. ，87 D. ，86

10. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A，B两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩每包10只，15家药店中抽检的A，B型号口罩不合格数的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是

A. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差
B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数
C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数
D. 估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率

11. 设点，若在圆O：上存在点N，使得，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是

A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 二面角的大小为定值
D. 异面直线AE、BF所成角为定值

13. 若向量，满足，，，则______.
14. 设等比数列的各项均为正数，且，则…______.
15. 已知函数，，，则______.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在圆C：上运动，且线段的中点B在E的一条渐近线上，若，则E的离心率的取值范围是______.
17. 已知函数
    求函数的单调区间；
    求函数在上的最大值和最小值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 中国棋手柯洁与AlphaGo的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于的学生称为“围棋迷”．
    请根据已知条件完成下面列联表，并判断是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关；

为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派2名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率．
附表：

参考公式：，其中

19. 已知抛物线C：的焦点为F，C上一点到焦点的距离为
    求C的方程；
    过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数，在处有极值
    求b，c的值；
    若有3个不同实根，求m的范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，
    若，求曲线在点处的切线方程；
    若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；
    
    
    
    
    
    
     

已知函数，
讨论函数的单调性；
若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．







答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：对于A，令，，满足，但，故A错误，
对于B，令，，故B错误，
对于C，令，，满足，但，故C错误，
对于D，，，
由不等式的可加性可得，，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：经过点且倾斜角为的直线的斜率为0，
故它的方程为，
故选：
先求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题．
由向量，，求得与的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．
【解答】

解：，，
，
，
又与互相垂直，
，解得：
故选：

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查圆的标准方程的求法，是基础题．
直接利用已知条件写出圆的方程即可．

【解答】

解：圆心在半径为2的圆方程为：
故选：

5.【答案】D
 

【解析】解：当时，开口向上，准线方程为，则点M到准线的距离为，求得，抛物线方程为，
当时，开口向下，准线方程为，点M到准线的距离为解得，抛物线方程为
故选：
根据点M到准线的距离为，分和两种情况分别求得a，进而得到抛物线方程．
本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：时，不平行，


解得
故选：
利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出的值．
本题考查两直线平行的条件，体现了转化的数学思想．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，圆的方程为，其圆心为，
若直线平分圆的面积，则圆心在直线上，
则有，解可得；
故选：
根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线上，将圆心坐标代入直线方程可得，解可得a的值，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的条件，属于基础题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：双曲线的焦距为4，
可得，渐近线方程为，可得，
，
解得，，
则双曲线的方程为：
故选：
求出双曲线的半焦距c，利用渐近线方程，列出方程求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以，
由5个数据分别是78、86、85、92、94，
计算平均数为
故选：
该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果．
本题考查了利用程序框图计算平均数的问题，是基础题．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：对于A，Ⅰ组数据分布更集中，所以方差更小，选项A错误．
对于B，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数为11，所以B正确；
对于C，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的中位数为11，所以C正确；
对于D，A型号口罩的不合格数为，
B型号口罩的不合格数为，
因为，所以A型口罩的合格率更小，选项D正确．
故选：
根据茎叶图中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．
本题考查了利用茎叶图中的数据对两组数进行数字特征分析与处理能力，是基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：点在直线上，
又直线与圆O：相切，
要使圆O：上存在点N，使得，

则的最大值大于或等于时，一定存在点N，使得，
而当MN与圆相切时取得最大值，此时有，
的取值范围为
故选：
根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得．
本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：因为，，，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
因为为定值，A到平面的距离为，
所以为定值，故B正确；
因为二面角就是二面角，所以其为定值，故C正确；
当，，取F为，如下图所示：

因为，所以异面直线AE，BF所成角为，
且，
当，，取E为，如下图所示：

因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以异面直线AE，BF所成角为，且，
由此可知：异面直线AE，BF所成的角不是定值，故D错误．
故选：
通过线面的垂直关系可证从而判断A，根据三棱锥的体积计算的公式可判断B，根据二面角即为二面角，可判断C，计算异面直线所成的角可判断
本题考查了二面角、异面直线所成角和三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
利用向量的数量积，结合向量的模，转化求解即可．
【解答】
解：向量，满足，，，
可得，
可得：，解得
故答案为：  

14.【答案】10
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的性质和通项公式，涉及对数的运算，属中档题．
由题意可得，解之可得，由对数的运算
可得……，
代入计算可得．
【解答】
解：由题意可得，解得，
……

故答案为10  

15.【答案】1
 

【解析】解：函数，，，
，
，，，
解得
故答案为：
由，，列方程组求出，，从而，由此能求出
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为，由，得，，
即，，
由得，
则圆心，半径，设，，
则，
是的中点，，代入渐近线得，
即，
，
，
设，则，则，
因为，所以²，
则解得
故答案为：
设双曲线的一条渐近线方程为，利用参数法设出A的坐标，求出B的坐标，建立方程进行转化求解即可．
本题主要考查双曲线离心率的取值范围求解，求出点的坐标，利用代入法，转化为一元二次函数进行求解是解决本题的关键，是个难题．
 

17.【答案】解：函数，………………分
，；，，
所以单调增区间：，
单调减区间：，………………分
由可知最大值：…………………分
；，……………………分
最小值：，……………………分
 

【解析】求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间．
利用函数的单调性，求解函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调区间以及函数的最值的求法，是中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，，所以在抽取的100人中，“围棋迷”“有25人，
从而列联表如下：

的观测值
因为，
所以没有的把握认为“围棋迷”与性别有关；
由中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，
所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，
有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，
则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；
其中2人恰好一男一女的有：，，，，，共6种，
故2人恰好一男一女的概率为
 

【解析】由频率分布直方图求得“围棋迷”有25人后即可开始补充完整列联表；计算出的观测值与进行比较，即可判断是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关；
依据古典概型去求2人恰好一男一女的概率．
本题考查了独立性检验，古典概型，属于中档题．
 

19.【答案】解：抛物线C：的准线方程为，
由抛物线的定义可知分
解得分
的方程为分
由得抛物线C的方程为，焦点
设A，B两点的坐标分别为，，
则分
两式相减．整理得
线段AB中点的纵坐标为
直线l的斜率分
直线l的方程为即分
 

【解析】利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；
利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．
本题考查抛物线的定义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
因为函数，在处有极值2，
所以，即，
解得，
由知，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
，
若有3个不同实根，
则，
所以m的取值范围为
 

【解析】求导得，由函数，在处有极值2，得，进而可得，解得a，b，即可得出答案．
由知，求导，分析的正负，进而可得的单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
因为函数在上是减函数，
所以在上恒成立，
令，
则，
解得
故a的取值范围为
 

【解析】求出函数的导数，计算，的值，切线切线方程即可；
求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数定义域是，，
当时，，函数在单调递增，无减区间；
当时，函数在单调递增，在单调递减，
由已知在恒成立，
令，，
则，易得在递增，
，
①当时，，在递增，
所以成立，符合题意．
②当时，，且当时，，
，使，
即时，在递减，，不符合题意．
综上得
 

【解析】先对函数求导，，然后对a进行分类讨论，再结合导数与单调性关系即可求解；
由已知不等式可令，，然后求导，结合导数研究单调性，即可求解．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．