河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考文科数学试题含答案

河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考

文科数学试卷

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．直线的倾斜角为（　　）

A．       B．       C． D．

2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（    ）

A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n       B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α       D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

3．直线与直线平行，则的值为（    ）

A．        B．2          C． D．0

4．无论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（     ）

A.  B. C. D.

5．如果ac＜0且bc＜0，那么直线ax＋by＋c＝0不通过（     ）

A．第一象限      B．第三象限     C．第二象限       D．第四象限

6．已知实数x，y满足，则z =2x -y的最小值是（    ）

A．5           B．            C．0            D．-1

7.与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)

A．3x＋4y－5＝0                B．3x＋4y＋5＝0

C．－3x＋4y－5＝0              D．－3x＋4y＋5＝0

8.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　）

A．             B．            

C．          D．

9．已知直线ax＋y+1＝0, x＋ay+1＝0 和 x＋y+a＝0 能构成三角形，则a的取值范围是 （     ） 

 A．a ≠ - 2             B．a ≠     

 C．a ≠ - 2且a ≠                D．a ≠ - 2且a ≠ 1

10．已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ）

A．  B．    C．    D．

11. 过定点的直线与过定点的直线交于点，则2的最大值为（    ）

A．1  B．3    C．4    D. 2

12．如图，正方体的棱长为1，P，Q分别是线段和上的动点，且满足，则下列命题错误的是（    ）

A．的面积为定值           

B．当时，直线与是异面直线 

C．存在P，Q的某一位置，使

D．无论P，Q运动到任何位置，均有

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线过椭圆的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为____________.

14.在直三棱柱中，，，，则点C到平面的距离为____________.

15.若圆上，有且仅有一个点到的距离为1，则实数的值为____________.

16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，A是C的左顶点，点P在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为____________.

三．解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分）

17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2sin2A+3cos（B+C）＝0．

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积，求b+c的值．

18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．

19．（12分）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．

判断上述三者的大小关系，并证明。

20．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1．

（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足bn＝（3n﹣1）•，求数列{bn}的前n项和为Tn．

21．（12分）已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．

（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；

（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．

22．（12分）如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，求△ABO周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．

数学答案

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．D   2．A   3．B   4．A   5．B   6. C   7．B    8．B    9．C  10．D

11. C      12. A

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.    14.    15.4或6    16.3

三．解答题（共6小题）

17．解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA﹣2＝0，

即（2cosA﹣1）（cosA+2）＝0，解得cosA或cosA＝﹣2（舍去），

由0＜A＜π，可得A；

（2）由，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝21，

即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81，

所以b+c＝9．

18．解：（1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

则：，即：（3+3d）2＝3（3+12d），

解得：d＝0或2（0舍去），

所以：an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．

（2）由于：an＝2n+1，则：n2+2n，

所以：．

则：Tn，

，．

19．证明：，证明如下：

因为（）2，

又a，b是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0，

所以（）2，当且仅当a＝b时，取等号，故；

因为（）20，当且仅当a＝b时，取等号，

所以；

故．

20．证明：（1）由0，得1，

∴3（），，

∴数列以为首项，3为公比的等比数列，

3n﹣1，

∴（n∈N*），

（2），

所以

两式相减得 ，

所以 。

21．解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，

∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，；

∴a﹣1＝0，∴a＝﹣2；

（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，

∴a＜0时，不等式可化为（x）（x+1）＜0；

若a＜﹣1，则1，解得﹣1＜x；

若a＝﹣1，则1，解得不等式为∅；

若﹣1＜a＜0，则1，解得x＜﹣1；

a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；

当a＞0时，不等式为（x）（x+1）＞0，

∵1，∴解不等式得x＜﹣1或x；

综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x}；

a＝﹣1时，不等式的解集为∅；

﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x}．

22．解：（1）∵AB∥ON，，∴，

又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0，），

在△AOB中，由正弦定理可知，，

∴AB，OA，

∴△AOB的周长f（θ），θ∈（0，）．

化简得f（θ）．

∴时，△AOB的周长有最大值为米．

答：△ABO周长的最大值为米；

（2）∵图2中△ABC与图1中△ABO面积相等，

而在△ABO中，∵OB＝r＝10，AB∥ON，，

∴．

由余弦定理知，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos∠OAB，

∴100＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB，

∴OA，当且仅当OA＝AB时取“＝”．

∴平方米．

答：花圃△ABC面积的最大值为平方米，此时OA＝AB米．