河北省定州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题

河北省定州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题

第I卷（选择题）

1．复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（       ）

A．i B．-i C．-1 D．1

2．已知向量，若，则（       ）

A．(-2，-1) B．(2，1)

C．(3，-1) D．(-3，1)

3．在△ABC中，若，，，则角B的大小为（       ）

A． B． C． D．或

4．一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是（       ）

A．B B．E C．B或F D．E或F

5．西昌市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（       ）

A．9米 B．12米 C．米 D．15米

6．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（       ）.

A． B． C． D．

7．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）

A．3 B． C．6 D．24

8．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

9．已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（       ）

A． B．与可以作为一组基底

C． D．向量在向量上的投影向量为

10．下列说法正确的是（       ）

A．若、互为共轭复数，则为实数

B．若为虚数单位，为正整数，则

C．已知是关于的方程的一个根，则

D．复数满足，则的最大值为

11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则为锐角三角形

C．若，则一定为等腰直角三角形

D．若面积为S，，则

12．如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（       ）

A．圆锥的侧面积为

B．三棱锥体积的最大值为

C．的取值范围是

D．若，为线段上的动点，则的最小值为

第II卷（非选择题）

13．如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形的周长为________.

14．已知非零向量， 且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____

15．某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为___________.

16．在中，，，，的平分线交于，为边上的高，则的面积为______．

17．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值

18．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.

（1）试用表示向量;

（2）若，求.

19．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.

(1)求挖掉的直三棱柱的体积；

(2)求剩余几何体的表面积.

20．从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知中，，，分别是内角，，所对的边，且.

（1）求角；

（2）已知，且________，求的值及的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．

(1)求B；

(2)若b=3，，求的周长．

22．由于疫情原因，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（为长度单位）．设计者准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．

(1)求点到点的距离；

(2)求点到点的距离；

(3)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

由已知等量关系，应用复数的除法、加法求复数z，即可确定虚部.

【详解】

由题设，，

所以z的虚部为1.

故选：D

2．A

【解析】

【分析】

由向量平行的坐标表示可求得x，再由向量坐标的线性运算可得答案.

【详解】

解：∵，∴，∴.

∴.

故选：A.

3．B

【解析】

【分析】

根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值、以及大边对大角进行求解即可.

【详解】

由正弦定理，得，

则，

因为BC > AC，所以A >B，而A = 60°，

所以B =45°．

故选：B.

4．A

【解析】

【分析】

根据两个图形的字母，可推断出来，A对面是E，B对面是D，C对面是F.

【详解】

根据两个不同放置的图形，明显可知C的对面不是A，B，D，E，

故C的对面是F，则与D相对的面为E或B，

若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时与第二种放置矛盾，

故与D面相对的是B面.

故选：A.

5．B

【解析】

【分析】

设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解.

【详解】

解：如图所示：

设旗杆的高度为，

所以，

在中，由余弦定理得，

即，

即，

解得或（舍去），

故选：B

6．B

【解析】

【分析】

利用平面向量线性运算得到，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.

【详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：B.

7．C

【解析】

【分析】

由三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球求解.

【详解】

解：在正方形ABCD中，，，，

折起后OD，OE，OF两两垂直，

故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.

因为OD=2，OE=1，OF=1，

所以=，

所以，

所以该三棱锥外接球的表面积为，

故选：C.

8．A

【解析】

【分析】

由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.

【详解】

由余弦定理，又，故，

由正弦定理知：，则，

所以，而，

则且，

又，当时的最大值为.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.

9．ACD

【解析】

【分析】

根据向量模长运算、基底的定义、与某一向量同向的单位向量、投影向量的求法依次判断各个选项即可.

【详解】

对于A，，A错误；

对于B，是不共线的一组非零向量，可以作为一组基底，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，向量在向量上的投影向量为，D错误.

故选：ACD.

10．ACD

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可判断A选项；利用复数的乘方可判断B选项；分析可知为方程的两根，利用韦达定理可求出、的值，可判断C选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断D选项.

【详解】

对于A选项，设，则，

所以，为实数，A对；

对于B选项，，B错；

对于C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），

所以为方程的两根，则，

所以，，解得，所以，，C对；

对于D选项，利用复数模的三角不等式可得，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：ACD.

11．AD

【解析】

【分析】

利用正弦定理、向量的数量积定义、倍角公式、余弦定理对选项进行一一判断，即可得到答案；

【详解】

对A， 由正弦定理得，因为，所以，则，故A正确；

对B，即，故，又，故，则为锐角，无法说明为锐角三角形，故B错误；

对C， 因为，所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对D， 因为面积为所以，即，因为，所以故D正确，

故选：AD

12．AB

【解析】

【分析】

先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断选项A；

当时，的面积最大，此时体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断选项B；

先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断选项C；

将以为轴旋转到与共面，得到△，则，利用已知条件求解即可判断选项D．

【详解】

在中，，

则圆锥的母线长，半径，

对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A正确；

对于选项B：当时，的面积最大，

此时，

则三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；

对于选项C：当点与点重合时，为最小角，

当点与点重合时，，达到最大值，

又因为与A，不重合，则，

又，所以，故选项C错误；

对于选项D：由，，，

得，又，

则为等边三角形，则，

将以为轴旋转到与共面，得到△，

则△为等边三角形，，

如图：

则，

因为，

，

则，故选项D错误；

故选：AB．

13．16

【解析】

【分析】

根据原图形与斜二测画法直观图之间的关系，还原原图形即可求解.

【详解】

，

还原回原图形后，

，，

,

原图形的面积周长为

故答案为：16.

14．

【解析】

【分析】

先写出，再利用且与不共线求λ的取值范围即可.

【详解】

由题意知，，且与不共线，即

且，解得且.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

由圆锥与球的关系可求出球的半径，利用球表面积公式求解.

【详解】

如图，

由题意知，,,

故在中，,

设内切球球心为，则,

在中，，

所以，解得，

所以，

故答案为：

16．##

【解析】

【分析】

由余弦定理求出,使用角平分线及正弦定理得到，求出，再利用高线求出，得到，求出直角三角形面积.

【详解】

在中，由余弦定理得：，

在三角形ABD中，由正弦定理得：，

同理在三角形ACD中，由正弦定理可得：，

因为，又的平分线交于D，所以，，

故，即，所以，

而，又为边上的高，

所以，，从而，

所以的面积为.

故答案为：

17．（1）1；（2），.

【解析】

（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．

（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

【详解】

解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．

18．（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；

（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.

【详解】

（1）因为，所以，

由题意可知， ，

所以，则，

（2）因为，所以， ，

所以

19．(1)

(2)

【解析】

(1)

记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，

由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形，

因此，球半径为，

挖掉的直三棱柱的体积；

(2)

由（1）知，，，，半球表面积＝，

所以剩余几何体表面积为

半球表面积－＝．

20．（1）；（2），.

【解析】

【分析】

（1）由已知条件结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求出角；

（2）若选①，则可求出角，再利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先利用正弦定理求出，从而可求出，再利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求出结果

【详解】

（1）因为，

由正弦定理得，

即，

得，

又，

所以；

（2）选择①时：，，

故；

根据正弦定理，故，

故.

选择②时：，根据正弦定理，

故，

解得，

，

根据正弦定理，故，

故.

【点睛】

此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由向量垂直可得，根据正弦定理化简即可得解；

（2）由正弦定理及余弦定理求出，即可得出，周长即可得解.

(1)

因为，所以，

由正弦定理得，

因为，

所以，

因为，

所以，即，

因为，

所以．

(2)

由（1）及正弦定理得，．

因为，所以．

由余弦定理得，即．

结合，可得，

所以ac=3（负值已舍去），

所以，

所以的周长．

22．(1)

(2)

(3)当时，三角形区域面积取最小值．

【解析】

【分析】

（1）连接、，计算出，利用余弦定理可求得的长；

（2）计算出，可得出，利用正弦定理可求得的长，再利用勾股定理可求得的长；

（3）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面积的最小值.

(1)

解：连接、，在中，因为，，则，

由余弦定理可得：，所以，.

(2)

解：在中，由余弦定理可得，．

在中，，

由正弦定理可得，解得．

在直角中，，所以，.

(3)

解：因为，

．

因为，所以，，

当且仅当时，等号成立，因此，．