河北省定州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题

河北省定州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题

1. 已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点，若直线AB与直线AC相互垂直，则实数

A. 3 B.  C. 7 D.

3. 在中，角所对的边分别为，已知，则

A.  B. 或 C.  D. 或

4. 河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为
    

A. 648 B. 324 C. 162 D. 108

5. 如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角点的仰角，从点C测得已知山高，则山高单位为

A. 750 B.  C. 850 D.

6. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为

A. 2 B. 4 C.  D. 8

7. 的外接圆的圆心为，则等于

A.  B.  C.  D.

8. 在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是

A. 的外接圆面积是
B. ；
C. 可能等于14；
D. 作A关于BC的对称点，则的最大值是

9. 在中，角所对的边分别是，且，若满足条件的唯一确定，则a的可能值为

A. 3 B. 1 C.  D. 2

10. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面､下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是
    
     

A.  B.
C.  D.

11. 下列命题中正确的是

A. 若，则
B. 若复数满足，则
C. 若复数z为纯虚数，则
D. 若复数z满足，则的最大值为

12. 在中，D，E，F分别是边中点，下列说法正确的是

A.
B.
C. 若，则是在的投影向量
D. 若点P是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为

13. 已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数为，则D点对应的复数为__________.
14. 已知，则与的夹角的余弦值为__________.
15. 正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围__________.
16. 已知三棱锥内接于半径为5的球，，则三棱锥体积的最大值为__________.
17. 已知关于x的方程在复数范围内的两根为

若，求

若，求p的值.






 

18. 定州市某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图的多面体石凳是由图的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是

求正方体石块的棱长；

为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳图打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？精确到按算






 

19. 如图所示，以向量为边作平行四边形AOBD，又

用表示

，求






 

20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且

求角B的值；

若D为AC边上一点，且__________，求的正弦值.

从①；②条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分






 

21. 据气象台预报，在B岛正东方向300km的A处有一台风中心形成，并以的速度向北偏西的方向移动，在台风中心270km以内的地区都将受到台风的影响.若台风中心的这种移动趋势不变，B岛所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？精确到参考数据
    
    
    
    
    
    
     
22. 的内角对边分别为，已知

求角B；

若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题.
直接利用复数的四则运算化简得答案． 

【解答】

解：，

所以z的虚部为，

故选

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.
直线AB与直线AC相互垂直，即，结合坐标运算即可求解.

【解答】

解：，，
直线AB与直线AC相互垂直，即，
，
，
故答案选：

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

 本题考查正余弦定理的运用，属于基础题.
利用正弦定理以及余弦定理求解即可.

【解答】

解：由题意可得，
即，
则，，
故
故选

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查几何体的体积求解，属于基础题.
根据题意求解棱柱的高，即可求解.

【解答】

解：此包装盒的高

故选B

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在解三角形中的实际应用，考查计算能力，属于基础题.
根据，山高，求解出AC，利用正弦定理求解出AM，在中即可求解山高

【解答】

解：由题意得，山高，
可得
在中，，，
即，
又
由正弦定理，得，
可得
在中，，
可得
故选

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查斜二测画法，属于基础题.
根据斜二测画法的法则进行还原即可.

【解答】

解：在轴上取一点，使，因为，所以，
按照斜二测画法，还原后，的长度变为8，
即为的边AB上的高，
故选
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积的运算，属于中档题.
取BC的中点D，连接OD、AD，则有，据此可将转化为；接下来将和进行转化，即可得到答案.

【解答】

解：取BC的中点D，连接OD、AD，

，






故答案为

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等，属于中档题.
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误.

【解答】

解：对于A，设的外接圆半径为R，
根据正弦定理，可得，
所以的外接圆面积是，故A正确;
对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，
结合，
可将原式化为
，故B正确；
对于C，
，
，故C正确；
对于D，设A到直线BC的距离为d，
根据面积公式可得，
即，
，
，
当且仅当取等号，则，
故的最大值是，故D错误.
故选：

9.【答案】ABD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形中解的个数的确定，属于基础题.
根据题意得到或，求解即可得到a的可能值.

【解答】

解：若满足唯一确定，
则或，
故选

10.【答案】AD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间几何体的截面问题以及旋转体的结构特征，属于中档题.
结合几何体特征，根据截面是否经过圆柱上下底面的圆心即可判断.

【解答】

解：一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的截面是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，A正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为曲线的一部分，D正确．
故选

11.【答案】AD
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，复数的运算，复数的几何意义，属于基础题.
根据复数的四则运算可判断A；举反例可判断B；根据复数的模的计算可判断C；由复数的几何意义可判断

【解答】

解：选项，，，，
故，故A正确.
选项B，令满足，故B错误.
选项C，令，则，两者不相等，故C错误.
选项D，复数z满足，即表示复数z对应的点位于以为圆心，为半径的圆上，而表示复数z对应点到点的距离，点B位于圆A内部.
故的最大值即为故D正确.
故选

12.【答案】BCD
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的运算、向量的投影、平面向量基本定理，涉及基本不等式求最值，属于中档题.
对各个选项逐一验证即可得到答案.

【解答】

解：对于A，因为，故A不正确；
对于B，
，
故B正确；
对于C，因为，
所以AD是角A的平分线，
所以，
所以是在的投影向量，故C正确；
对于D，因为A，P，D三点共线，
又因为，
所以，
所以，
当取等号，
所以，故D正确，
故选

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的几何意义、向量的坐标运算、考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
利用复数的几何意义、向量的坐标运算以及平行四边形的性质即可得出．

【解答】

解：依题点A对应的复数为，对应的复数为，
得，，
可得
又对应的复数为，得，可得
设D点对应的复数为，x，
得，又，四边形ABCD 为平行四边形，
，
所以，，
解得，，
故D点对应的复数为
故答案为

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积的运算，属于基础题.
根据向量数量积运算展开等式，求得

【解答】

解：，，
，，，
，

整理得：，
故答案为

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的坐标运算，借助正方形的两邻边建立直角坐标系，将向量的运算转化为坐标形式的运算，属于中档题.
以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，设，从而得，利用二次函数求值域即可得答案．

【解答】

解：以AB，AD 为x，y轴建立直角坐标系则
，，，，
设，
，，

  ，
所以当时，函数有最大值；当时函数有最小值
故答案为

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.
要使三棱锥的体积最大，则平面平面ABC，且P在底面ABC上的射影为AB中点O，利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解即可．

【解答】

解：如图，在三角形ABC中，由，，，
得，

要使三棱锥的体积最大，则平面平面ABC，且P在底面ABC上的射影为AB中点O，
连接PO并延长，交三棱锥的外接球于D，则PD为球的直径，
设，则，解得舍或
三棱锥的体积的最大值为
故答案为：

17.【答案】解：由题意得，，

，
，或，

已知关于x的方程的一根为，

所以，

所以，，解得

【解析】本题考查复数范围内求解一元二次方程的根，属于中档题.
将p的值代入，解方程即可；
将代入方程，利用复数相等可求得实数p的值.
 

18.【答案】解：设正方体石块的棱长为a， 
则每个截去的四面体的体积为
由题意可得，解得
故正方体石块的棱长为
当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石鬓的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径， 
球形石凳的表面积
，所以一瓶环保底漆大约可以粉刷3个球形石凳.
 

【解析】本题考查四面体体积公式及几何体的表面积计算，属于中档题.
根据四面体体积公式即可得，即可求出结果；
当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石鬓的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径， 求得球形石凳的表面积，计算即可求出结果.
 

19.【答案】解，
，
，则，
，



 

【解析】本题考查了向量的加减法及数乘的几何意义及其运算，属于基础题.
根据向量的线性运算求解即可；
求出，结合向量的模以及数量积即可求解.
 

20.【答案】解：
由正弦定理边角互化得， 
由于，，，
即，得，
或
又，
选①
在中，由余弦定理得
或舍
在中，由正弦定理得，所以
因为，所以，所以
选②在中，由余弦定理得，
或舍
在中，由余弦定理得
，，，
 

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理的综合运用与三角恒等变换，属于中档题.
用正弦定理进行化简，利用两角和的正弦公式求出B；
若选①，由余弦定理求出 a，利用正弦定理求得答案；
若选②  ，由余弦定理求出a，再利用余弦定理求得答案．
 

21.【答案】解：如图，

设B为台风中心移动方向上的一点，台风中心经过th到达B点，
由题意可得，

在中，，，，

由余弦定理得

，

若S岛受到台风影响，则应满足条件，

化简整理得，

解得，

所以从现在起，经过后S岛开始受到影响，后影响结束，持续时间：

即S岛会受到台风影响，从现在起经过后开始受到台风的影响，且持续时间为

【解析】本题考查了余弦定理的实际运用，属于中档题.
设台风中心经过t小时到达B点，根据题意求得，在中利用余弦定理得关于t的关系式，若S岛受到台风影响，则应满足条件，化简整理可解得t的范围，进而得到答案.
 

22.【答案】解：，即为，
可得，
，，
，，
由，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形ABC为锐角三角形，
可得，且，
解得，
可得面积
即面积的取值范围是
 

【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理、三角形面积公式，属于中档题．
运用诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a且，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．