2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅲ卷（含答案）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则中元素的个数为(   )

A. 2   B. 3 C. 4  D. 5

2.若，则(   )

A.  B.  C.  D.i

3.设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为(   )

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）(   )

A.60  B.63  C.66  D.69

5.已知，则(   )

A.  B.  C.  D.

6.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为(   )

A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

7.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为(   )

A． B． C． D．

8.点到直线距离的最大值为(   )

A．1 B． C． D．2

9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(   )

A.  B.  C.  D.

10.设，，，则(   )

A． B.  C.  D.

11.在中，，，则(   )

A.  B.2 C.4 D.8

12.已知函数，则(   )

A. 的最小值为2  B. 的图像关于轴对称

C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于直线对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件，则的最大值为_____.

14.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为___.

15.设函数，若，则____.

16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

设等比数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）记为数列的前项和.若，求.

18. （12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：，

19. （12分）

如图，在长方体中，在分别在棱，上，且，，证明：

（1）当时，;

（2）点在平面内.

20. （12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围.

21. （12分）

已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点.

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在直角坐标系中，曲线的参数方程为与坐标轴交于两点.

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设.

（1）证明：；

（2）用中的最大值，证明：

参考答案

1.答案：B

解析：集合，集合，，中有3个元素，故选B.

2.答案：D

解析：，，，故选D.

3.答案：C

解析：样本数据的方差为0.01，，样本数据的方差为，故选C.

4.答案：C

解析：由题意可得，当时，，，，，，故选C.

5.答案：B

解析：，，故选B.

6.答案：A

解析：以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，，，，点的轨迹为圆，故选A.

7.答案：B

解析：通解 联立抛物线方程与直线方程，可得点，或，.，，即，，抛物线的方程为，其焦点坐标为，故选B.

秒解 根据抛物线的对称性可知或，代入抛物线方程，得，抛物线的方程为，其焦点坐标为，故选B.

8.答案：B

解析：解法一 由点到直线的距离公式知点到直线的距离.当时，；当时，，要使最大，需且最小，当时，，故选B.

解法二 记点，直线恒过点，当垂直于直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故选B.

9.答案：C

解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥，将其放入正方体中，如图，易知，，故其表面积为，故选C.

10.答案：A

解析：，，，.，，，，，故选A.

11.答案：C

解析：解法一 在中，，则，所以.由余弦定理知，所以.由正弦定理，得，易知，所以，.故选C.

解法二 在中，，，，所以由余弦定理知，所以，所以是等腰三角形.过点作于点，则，，所以.故选C.

12.答案：D

解析：由题意得.对于A，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以A错误.对于B，，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误.对于C，，，则，的图象不关于直线对称，所以C错误.对于D，，，所以，的图象关于直线对称，所以D正确.故选D.

13.答案：7

解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点时，取得最大值，.

解法二 易知的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入，即可求得最大值.联立得解得代入中可得；联立得解得代入中可得；联立得解得代入中可得.通过比较可知，的最大值为7.

14.答案：

解析：由双曲线的一条渐近线为可知，，即.在双曲线中，，所以，所以.

15.答案：1

解析： 由于，故，解得.

16.答案：

解析：解法一 如图，在圆锥的轴截面中，，，，圆内切于，为切点，连接，则.在中，.易知，则.设圆锥的内切球半径为，则，在中，，即，所以，圆锥内半径最大的球的体积为.

解法二 如图，记圆锥的轴截面为，其中，，，在中，，则.设的内切圆的半径为，则，所以圆锥内半径最大的球的体积为.

17.答案：(1)

(2)

解析：(1)设的公比为，则.由已知得

解得，.

所以的通项公式为.

(2)由（1）知.

故.

由得，即.

解得（舍去），.

18.答案：（1）该市一天的空气质量等级为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09

（2）350

（3）有，理由见解析.

解析：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

.

（3）根据所给数据，可得列联表：

根据列联表得

.

由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

19.答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析： （1）如图，连结，.因为，所以四边形为正方形，故.又因为平面，于是.所以平面.

由于平面，所以.

（2）如图，在棱上取点，使得，连结，，.

因为，，，所以，于是四边形为平行四边形，故.

因为，，，所以，，四边形为平行四边形，故.

于是.所以四点共面，即点在平面内.

20.答案：（1）详见解析

(2).

解析：(1).

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递增.

当时，令，得.当时，；当时，；当时，.故在，单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点.当时，为的极大值点，为的极小值点，此时，且，.根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得，因此的取值范围为.

21.答案：（1）；（2）

解析： （1）由题设可得，得，所以的方程为.

（2）设，，根据对称性可设，由题意知.

由已知可得，直线的方程为，所以，.

因为，所以，将代入的方程，解得或.

由直线的方程得或8.

所以点，的坐标分别为，；，.

，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.

，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.

综上，的面积为.

22.答案：（1）

（2）

解析： （1）因为，由得，所以与轴的交点为；由

得，所以与轴的交点为.

故.

（2）由（1）可知，直线的直角坐标方程为，将，代入，得直线的极坐标方程.

23.答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析： （1）由题设可知，均不为零，所以

（2）不妨设，因为，，所以，，.

由，可得，故，所以.