2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国乙卷（含解析）

这是一份2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国乙卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，，则(   )A. B. C. D.2.设，则(   )A. B. C. D.3.已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是(   )A. B. C. D.4.函数的最小正周期和最大值分别是(   )A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和25.若x，y满足约束条件则的最小值为(   )A.18 B.10 C.6 D.46.(   )A. B. C. D.7.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为(   )A. B. C. D.8.下列函数中最小值为4的是(   )A. B. C. D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是(   )A. B. C. D.10.在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为(   )A. B. C. D.11.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为(   )A. B. C. D.212.设，若为函数的极大值点，则(   )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，若，则__________.14.双曲线的右焦点到直线的距离为___________.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则______________.16.以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，M为BC的中点，且.（1）证明：平面平面PBD；（2）若，求四棱锥的体积.19.（12分）设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和.证明：.20.（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为1.（1）写出的一个参数方程；（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.9
2021年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷文科数学参考答案1.答案：A解析：本题考查集合的并集和补集的计算.由集合，，得，而，所以.2.答案：C解析：本题考查复数的计算.由，得.3.答案：A解析：本题考查常用逻辑用语的应用.由当时，，知p是真命题；由当时，，得，知q也是真命题，所以，是假命题，所以是假命题，是假命题，是真命题，是真命题，是假命题.4.答案：C解析：本题考查三角函数的化简与性质.由三角函数，得其最小正周期为，最大值为.5.答案：C解析：本题考查线性规划的应用.作出不等式组所表示的可行域（图略），可以看出该可行域是由三点，，围成的三角形（包含边界），显然，当经过点时，z取最小值，故.6.答案：D解析：本题考查三角恒等变换的应用. .7.答案：B解析：本题考查几何概型的计算.利用几何概型的计算公式，可得.8.答案：C解析：本题考查复合函数的最小值.A项，；B项，由，令函数，，则函数在内为减函数，所以；C项，由，令函数，，则函数在内单调递减，在内单调递增，故当，即时取得最小值，所以，当且仅当时等号成立；D项，由，得且，当时，，此时，故函数的最小值不可能为4.综上可知C项正确.9.答案：B解析：本题考查函数的性质.由，得，，所以，显然不是奇函数；是奇函数；显然不是奇函数；，显然不是奇函数.10.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a，则，所以，.在中，由余弦定理得，所以.又因为，所以即为直线PB与所成的角，所以直线PB与所成的角为.11.答案：A解析：本题考查椭圆的性质、两点间距离公式、复合函数的最值、极坐标系.由椭圆C的方程：得其上顶点，.由，所以当时，.12.答案：D解析：本题考查函数的性质、导数的计算与应用.（穿针引线法）当时，若a为极大值点，则如图1，必然有，，可知B项和C项错误；当时，若a为极大值点，则如图2，则有，，可知A项错误，综上所述，可知D项正确.13.答案：解析：本题考查平面向量的计算.由得，解得.14.答案：解析：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离.由双曲线的方程，得其右焦点为，所以点到直线的距离为.15.答案：解析：本题考查解三角形的应用.由三角形的面积公式得，解得.又，由余弦定理得，所以.16.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面平面ABC，，，，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，平面ABC，，，，此时俯视图为④.17.答案：（1）由题中的数据，可得，，，.（2），，所以，则新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.答案：（1）因为底面ABCD，底面ABCD，所以.又因为，，PB，平面PBD，所以平面PBD.因为平面PAM，所以平面平面PBD.（2）由底面ABCD，所以PD即为四棱锥的高，是直角三角形.由题可知底面ABCD是矩形，，M为BC的中点，且.设，取CD的中点为E，CP的中点为F，连接MF，AF，EF，AE，可得，，那么，为直角三角形，且，，，.因为是直角三角形，所以根据勾股定理得，则.由是直角三角形，可得，解得，所以底面ABCD的面积，则四棱锥的体积.19.答案：（1）因为，，成等差数列，所以.因为是首项为1的等比数列，设其公比为q，则，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.，①所以，②①-②，得，所以，所以，20.答案：（1）由题意知，所以.（2）由（1）知，抛物线，.设点Q的坐标为，则，，所以点P的坐标为，将点P代入C得，整理得，所以，当且仅当时取最大值，所以直线OQ斜率的最大值为.21.答案：（1）由题知，.①当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在R上单调递增；②当，即时，令，解得，.令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2）设曲线过坐标原点的切线为l，切点为，，则切线方程为，将原点代入切线方程，得，所以，解得，所以切线方程为，令，即，所以，解得或，所以曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.22.答案：（1）的圆心为，半径为1，则的标准方程为，的一个参数方程为（为参数）.（2）由题意可知两条切线方程斜率存在.设切线方程为，即.圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为.因为，，所以这两条切线的极坐标方程为.23.答案：（1）当时，因为，所以或或所以或，所以不等式的解集为.（2），当且仅当时等号成立.若，则，两边平方可得，解得，即a的取值范围是.