2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的旋转解答题（含答案，共36题）

这是一份2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的旋转解答题（含答案，共36题），共85页。

2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的旋转解答题（含答案，共36题）

一．旋转的性质（共8小题）
1．（2021•黔西南州）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

2．（2021•绵阳）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．

3．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

4．（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．

5．（2021•湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．

6．（2021•张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．

7．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．

8．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．

二．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
9．（2021•阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　 　点顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度（用α表示），可以得到图形G2．

三．作图-旋转变换（共8小题）
10．（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　 　；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．

11．（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．

12．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

13．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

14．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

15．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．

16．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
17．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

四．几何变换综合题（共19小题）
18．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

19．（2021•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　 　，∠ABP＝　 　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．

20．（2021•朝阳）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含
k的式子表示）．

21．（2021•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　 　．
②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．

22．（2021•潍坊）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 　 　；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
23．（2021•黑龙江）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：AB+BF＝2BD；
（2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
24．（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　 　，β＝　 　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　 　，β＝　 　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：＝　 　（用含m、n的式子表示）；β＝　 　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


25．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　 　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　 　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

26．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

27．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 　 　．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

28．（2021•襄阳）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：的值为 　 　；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．

29．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 　 　；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

30．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

31．（2021•通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．

32．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．

33．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

34．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

35．（2021•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

36．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．


参考答案与试题解析
一．旋转的性质（共8小题）
1．（2021•黔西南州）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

【解析】（1）证明：如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
（2）解：结论正确，理由如下：
如图2，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠BFE＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴×AM×BD＝×CE×AN，
∴AM＝AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴∠AFM＝∠AFN，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．
2．（2021•绵阳）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．

【解析】解：（1）结论：点N在直线AB上，理由如下：

∵∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BMC＝90°，即CM⊥AB，
∴线段CM逆时针旋转90°落在直线BA上，
即点N在直线AB上，
（2）作CD⊥AB于点D，

∵MC＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∵NC∥AB，
∴∠BMC＝45°，
∵BC＝6，∠B＝30°，
∴CD＝3，MC＝，
∴S＝MC2＝18，即以MC．MN为邻边的正方形面积为S＝18．
3．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE＝AE1，∠AB1E1＝∠AB1E＝∠B＝90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1＝EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN＝EE1，
∴EB1＝MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CB1E，
证明：连接FC，

∵EB1＝B1E1＝E1F，
∴＝，
同理，S＝S△FEC，
∵＝，
∴S△EAF＝S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC，
在△AE1F和△CB1E中，
，
∴△AE1F≌△CB1E（SAS）．
4．（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．

【解析】证明（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE；

（2）AF∥CD，理由如下：
如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，
∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．
5．（2021•湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．

【解析】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB，
∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD，
即∠ECD＝∠BCA，
由旋转可得CA＝CE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（SAS）．
∴AB＝ED．
（2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，
又CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．
6．（2021•张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）当α＝90°时，四边形AFCE为菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵∠AOE＝90°，
∴四边形AFCE为菱形．
7．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．

【解析】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴BE+MD＝BM；
（2）如图，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，
由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABD，
在△BEF和△BHF中，
，
∴△BEF≌△BHF（ASA），
∴BE＝BH，
由（1）知：BE+MD＝BM，
∴MH＝MD，
∵MN∥HF，
∴，
∴EN＝DN．

8．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．

【解析】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x，BH＝7，BC＝AB＝13，
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+（x+7）2，
解得：x＝5（负值舍去），
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12，
∴DF＝BE＝12，
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．

二．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
9．（2021•阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　O　点顺时针旋转 　180　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　（0，1）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　90　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　（，）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　2α　度（用α表示），可以得到图形G2．

【解析】解：（1）由图象即可知，将图形G1绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形G2，
故答案为：O，180；
（2）G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2，如图2所示，
∵图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交于点（0，1），
∴图形G1绕（0，1）点顺时针旋转90度，可以得到图形G2，
即答案为：G1，G2如图2；（0，1），90；
（3）图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，
则直线l1与直线l2的交点即为图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交点，
即旋转中心，
∴，
解得，
∴图形G1绕点（，）旋转可以得到图形G2，
如图3，设A点，点A'，点A''分别是在图形G，G1，G2上的对应点，
设旋转中心为P，则∠A'PA''即为旋转角，
连接AP，A'P，A''P，
∵两直线所夹的锐角为α，
由图象的对称性可知，∠APA'+∠APA''＝180°﹣α，
∴∠A'PA''＝360°﹣2（∠APA'+∠APA''）＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α，
故答案为：（，），2α．


三．作图-旋转变换（共8小题）
10．（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　　；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．

【解析】解：（1）如图：
图中△AB1C1即为要求所作三角形；

（2）∵AC＝＝，由旋转性质知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，
∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，
故答案为：；

（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．

11．（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．

【解析】解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段A2B2即为所求．

12．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

【解析】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长＝＝π

13．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

【解析】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，B1（﹣4，﹣3）．

（2）如图，△A2B2O即为所求，B2（3，4）．
（3）点B旋转到点B2所经过的路径长＝＝．
14．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝4×8﹣×3×2﹣×2×8﹣×4×5＝11．

15．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．

【解析】解：（1）如图1，直线l即为所求；


（2）如图2中，直线a即为所求．
16．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【解析】解：如图：（1）线段AC即为所作，
（2）线段EF即为所作，
（3）四边形ABHG即为所作．

17．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C1即为所求作．

四．几何变换综合题（共19小题）
18．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

【解析】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；

（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴AG＝CD；

（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝CD，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．



19．（2021•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　180°﹣2α　，∠ABP＝　α　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．

【解析】（1）解：如图1中，

∵CE＝CD，
∴∠D＝∠E＝α，
∴∠ECD＝180°﹣2α，
∴∠ECB＝∠E+∠D＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠D＝α，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBD＝α，
故答案为：180°﹣2α，α．

（2）证明：如图2中，连接BD．

∵CB＝CD，PB＝PD，
∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，
∴∠PBC＝∠PDC＝α，
∵∠ACB+∠ECD＝180°，2∠D+∠ECD＝180°，
∴∠ACB＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝2α，
∴∠ABP＝∠PBC＝α，
∴PB平分∠ABC．

（3）解：如图3﹣1中，设BP交AC于J．

∵BP⊥PD，BP＝PD，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB＝CD，PB＝PD，
∴PG垂直平分线段BD，
∴BG＝DG，
∵PM＝MD，
∴GM＝PB，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，△ACB是等边三角形，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝30°，
∴∠PBC＝∠PDC＝30°，
∴∠BJC＝90°，
∴CJ＝BC＝，BJ＝CJ＝，
∵∠CPD＝∠CPJ＝45°，
∴PJ＝JC＝，
∴PB＝BJ+PJ＝+2，
∴GM＝．

如图3﹣2中，设PC交BC于K，当BP⊥DE时，同法可证GM＝PB．

∵∠PBC＝30°，∠GPB＝∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠PCB＝∠PCD＝15°，
∴∠KCE＝120°﹣15°﹣15°＝90°，
∵∠E＝30°，CE＝CB＝+1，
∴CK＝＝1+，
∴KB＝BC﹣CK＝，
∴PB＝BK•cos30°＝×＝1，
∴GM＝PB＝，
综上所述，GM的长为或．
20．（2021•朝阳）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含
k的式子表示）．

【解析】解：（1）OM＝ON，
如图1，

作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°＝OA，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM+∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON+∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，

作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴＝＝，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴＝＝，
∴ON＝k•OM．
（3）如图3，

设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k•OA，
∴OB＝•a，OA＝•a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝•a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE+EN＝a+•a，
由（2）知：＝＝，△DOM∽△EON，
∴∠M＝∠N
∵＝，
∴＝，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE+EN＝a+•a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD+DM＝AC+CM得，
（）x＝AC+CM，
∴x＝（AC+CM）＜（AC+）＝AC，
∴k＞1
∴＝＝，
∴＝．
21．（2021•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　AE＝CF+CE　．
②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．

【解析】解：（1）①结论：AE＝CF+CE．
理由：如图1中，作CT∥AF交AM于T．

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵AF∥CT，CF∥AT，
∴四边形AFCT是平行四边形，
∴CF＝AT，
∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠ABD＝∠CED＝60°，
∵CT∥AF，
∴∠CTE＝∠FAE＝60°，
∴△CTE是等边三角形，
∴EC＝ET，
∴AE＝AT+ET＝CF+CE．
故答案为：AE＝CF+CE．

②如图2中，结论：EC＝（AE﹣CF）．
理由：过点C作CQ⊥AE于Q．

∵CF∥AM，
∴∠CFA+∠MAN＝180°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠CFA＝∠FAQ＝90°，
∵∠CQA＝90°，
∴四边形AFCQ是矩形，
∴CF＝AQ，
∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠ABD＝∠CED＝45°，
∵∠CQE＝90°，
∴CE＝EQ，
∴AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ，
∴EC＝（AE﹣CF）．

（2）如图3﹣1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．

在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝＝，AB＝5，
∴AJ＝3，BJ＝4，
∵AC＝AB＝5，
∴CJ＝AC﹣AJ＝5﹣3＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵•AC•BJ＝•BC•AD，
∴AD＝＝2，
∴CD＝＝＝，
∵FK⊥AD，
∴∠CDE＝∠FKD＝90°，
∴CD∥FK，
∵CF∥DK，
∴四边形CDKF是平行四边形，
∵∠FKD＝90°，
∴四边形CDKF是矩形，
∴FK＝CD＝，
∵tan∠FAK＝tan∠CAB＝，
∴＝，
∴AK＝，
∴AF＝＝＝．

如图3﹣2中，当∠ECD＝90°时，∠DAB＝90°，

∵CF∥AM，
∴∠AKF＝∠DAB＝90°，
在Rt△ACK中，tan∠CAK＝＝，AC＝5，
∴CK＝4，AK＝3，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠CAN＝∠DAB＝90°，
∴∠CAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠AFK＝90°，
∴∠AFK＝∠CAB，
∴tan∠AFK＝＝，
∴FK＝，
∴AF＝＝＝．
综上所述，满足条件的AF的值为或．
22．（2021•潍坊）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 　　；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）证明：∵∠DBF＝∠ABE＝60°，
∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABE﹣∠ABF，
∴∠ABD＝∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
∵tan∠ABC＝30°＝，
∴BC＝，
∵∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴CE＝，
故答案为：；
②证明：∵BD＝BF，∠DBF＝60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD＝60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE＝120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA＝120°，
∴∠ADF＝∠ADB﹣∠BDF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ADF＝∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，
理由：如图，连接MN，

∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD，MN＝，
PN∥EF，PN＝，
∵△BDA≌△BFE
∴AD＝EF，
∴NP＝MN，
∵AB＝BE且∠ABE＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF＝∠BAD＝α，∠PAN＝β，
则∠AEF＝∠APN＝60°﹣α，
∠EAD＝60°+α，
∴∠PNF＝60°﹣α+β，
∠FNM＝∠FAD＝60°+α﹣β，
∴∠PNM＝∠PNF+∠FNM＝60°﹣α+β+60°+α﹣β＝120°，
∴∠MPN＝（180°﹣∠PNM）＝30°．
23．（2021•黑龙江）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：AB+BF＝2BD；
（2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
【解析】（1）证明：如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵BA＝BT，∠ABT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴AB+BF＝2BD．

（2）①如图②，结论：AB﹣BF＝2BD．
理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°，
∴∠EBD＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴AB＝2BD，
∴AB﹣BF＝2BD．
②如图③，结论：BF﹣AB＝2BD．
理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．


∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°，
∴∠EBD＝60°
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴BF﹣AB＝2BD
24．（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　　，β＝　60°　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　　，β＝　45°　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：＝　　（用含m、n的式子表示）；β＝　　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


【解析】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，
当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，
由此，可归纳出，β＝∠ACB＝；
（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．
25．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　B　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　（﹣2，0）　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

【解析】解：（1）如图1中，

①如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，
∵M（﹣2，0），B（2，0），
∴OT＝OM＝OB＝2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B，
故答案为：B．
②取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTB是等腰直角三角形，
∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．

（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，
∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，
∴∠MTO＝∠TQH，
∵TM＝TQ，
∴△MOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，
∴﹣2m+1＝2﹣m，
∴m＝﹣1．

如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，

观察图象可知，当﹣1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q（m，﹣2m+1），

过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝m，TH＝ON＝1，
∴1﹣2m+1＝m，
∴m＝．

如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

观察图象可知，当≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，
解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q'的坐标是分别是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根据﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范围．
综上所述，满足条件的m的值为﹣1≤m≤0或≤m≤1．
（3）如图3﹣1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EK⊥OH于K．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EKT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETK＝90°，∠ETK+∠KET＝90°，
∴∠HTQ＝∠KET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EKT（AAS），
∴QH＝TK＝﹣t，TH＝EK＝4，
∵OH＝﹣2t+1，OK＝2，
∴﹣2t+1﹣4＝2+t，
∴t＝﹣，
∴Q（﹣，）．

如图3﹣2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EK⊥OH于K．
设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EKGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETK＝90°，∠ETK+∠EKT＝90°，
∴∠HTQ＝∠KET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EKT（AAS），
∴QH＝TK＝t，TH＝EK＝4，
∵OH＝2t﹣1，OK＝2，
∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，
∴t＝3，
∴Q（3，﹣5）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣，）或（3，﹣5）．

26．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　AE＝CF　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【解析】解：（1）结论：AE＝CF．
理由：如图1中，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（2）结论成立．
理由：如图2中，

∵∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（3）如图3中，

由旋转的性质可知OE＝OA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OA＝OD＝5，
∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴＝，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵CF＝OA＝5，
∴＝，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝．
27．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 　OC＝OD　．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

【解析】解：（1）猜想：OC＝OD．
理由：如图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD，
故答案为：OC＝OD；

（2）数量关系依然成立．
理由：过点O作直线EF∥CD，交AC的延长线于点E，

∵EF∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠OFD＝90°，CE＝DF，
由（1）知，OE＝OF，
在△COE与△DOF中，
，
∴△COE≌DOF（SAS），
∴OC＝OD；

（3）①结论成立．
理由：如图3中，延长CO交BD的延长线于点E，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴∠ACO＝∠E，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（AAS），
∴CO＝OE，
∵∠CDE＝90°，
∴OD＝OC＝OE，
∴OC＝OD．

②结论：AC+BD＝OC．
理由：如图3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC，∠OCD＝60°，
∵∠CDE＝90°，
∴tan60°＝，
∴DE＝CD，
∵△AOC≌△BOE，
∴AC＝BE，
∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD，
∴AC+BD＝OC．
28．（2021•襄阳）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：的值为 　1　；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．

【解析】解（1）①如图1，延长AD交BE于F，
由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，
∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠EBC；

②由①知，∠DAC＝∠EBC，
∵m＝1，
∴AC＝BC，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴CD＝CE，
∴＝1，
故答案为1．

（2）如图2，延长AD交BE于F，
由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝m；

（3）由折叠知，∠AFB＝90°，BF＝FE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥CE，
∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，
由（2）知，△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝90°，＝＝2m＝，
∴＝tan∠GAC＝＝，
设CG＝x，则AG＝x，BE＝2x，
∴AG＝CE，
∴△AGH≌△ECH（AAS），
∴AH＝EH，GH＝CH，
∴GH＝x，
在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，
∵EB•EH＝6，
∴2x•x＝6，
∴x＝或x＝﹣（舍），
即CG＝．


29．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 　2　；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝4，
∴AD＝AC＝2．
故答案为：2．
（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，
当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．
综上所述，PB＝．
（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，

∵AP＝t，AD＝2，cosA＝，
∴在Rt△APD中，cosA＝＝＝，
∴t＝．
如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，

∵AP＝t，AD＝2，cosA＝，
∴在Rt△APD中，cosA＝＝＝，
∴t＝．
如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，

∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．
（4）如图，过点P作PE⊥AD于点E，
当0＜t＜5时，

∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，
∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠ADP＝∠BAC，
∴AE＝AD＝1，
∵cosA＝＝＝，
∴t＝．
如图，当5＜t＜8时，

∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，
∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠A'AD＝90°，
∴PE∥BA，
∴∠DPC＝∠B，
∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，
∴tan∠DPC＝＝＝，
∴t＝．
综上所述，t＝或．
30．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【解析】（1）证明：如图①中，

∵EA＝ED，∠EAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵BF＝FD，
∴EF＝DB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝45°，
∵∠ABC＝∠AED＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴EF＝CD．
解

（2）解：如图②中，结论：EF＝CD．

理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．
∵∠CAD＝90°，CT＝DT，
∴AT＝CT＝DT，
∵EA＝ED，
∴ET垂直平分线段AD，
∴AO＝OD，
∵∠AED＝90°，
∴OE＝OA＝OD，
∵CT＝TD，BF＝DF，
∴BC∥FT，
∴∠ABC＝∠OFT＝45°，
∵∠TOF＝90°，
∴∠OTF＝∠OFT＝45°，
∴OT＝OF，
∴AF＝ET，
∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，
∴△AFT≌△ETF（SAS），
∴EF＝AT，
∴EF＝CD．
法二：如图，延长CA交DE的延长线于点G，连接BG．

证明EF＝BG，△CAD≌△BAG，推出CD＝BG，可得结论．

如图③中，结论：EF＝CD．

理由：取AD的中点O，连接OF，OE．
∵EA＝ED，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵AO＝OD，
∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，
∴tan∠AEO＝＝，
∴＝，
∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，
∵AO＝OD，BF＝FD，
∴OF＝AB，
∴＝，
∴＝，
∵OF∥AB，
∴∠DOF＝∠DAB，
∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠EOF＝∠DAC，
∴△EOF∽△DAC，
∴＝＝，
∴EF＝CD．
解法二：过点A作AG⊥AD交DE的延长线于点G．

证明EF＝BG，△CAD∽△BAG，相似比为1：可得结论．
31．（2021•通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．

【解析】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；

（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MB2+BN2＝MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；

②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
如图4，当点M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
综上所述，线段AM的长为或．
32．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．

【解析】解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ．
（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC，
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．
（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝t，则BQ＝t，
∴EQ＝﹣t，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（﹣t），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（﹣t）＝，
解得t＝或t＝．即AP的长为或．
②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m﹣，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（m﹣），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•m•（m﹣）＝，
解得m＝（m＝负值舍去）．
综上可得，AP的长为：或或．
33．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

【解析】论证：
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
发现：①设AB的中点为O，如图：

当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B逆时针旋转60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等边三角形，
∴BC旋转到BO的位置，即C与O重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等边三角形，
∴此时∠ADC＝60°；
②如图：

当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，
∴此时∠ADC＝120°，
综上所述，∠ADC为60°或120°；
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：

由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴AQ＝，
∴DQ＝＝，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴＝，即＝，
∴MN＝，
∴点M到AB的距离为；
拓展：
①设直线CP交DB于H，过D作DG⊥AB于G，连接DP，连接BD，如图：

∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，
设BG＝m，则AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m＝，
∴BG＝，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴＝，
∴BP＝＝；
②方法一：
过B作BG⊥CD于G，如图：

设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴＝＝，
即＝＝，
∴NG＝，BG＝，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG＝＝，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++＝10，
∴t+（20﹣t）+20＝10t，
20+20＝10t，即2＝t﹣2，
两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t＝（大于20，舍去）或t＝，
∴AN＝，
∴cosα＝＝＝．
方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：

∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK＝，
∴CK＝＝，
Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，
Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，
设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴5n+n＝10，
解得n＝，
∴AF＝＝n＝•＝，
Rt△ADF中，
cosα＝＝＝．
34．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，如答图1所示，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP∽△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．理由如下：
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．



35．（2021•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE∥A'B，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
36．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．

【解析】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：

∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
Rt△FDC中，CF＝＝＝2，
∴GF＝2，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
∴GH＝GF+FH＝，
Rt△GHD中，DG＝＝；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝BM，
Rt△MHB中，MH＝BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，
∴BF＝BE+BH，
∴BE+BH＝BF；
补充方法：
构造等腰△BFM，使∠BFM＝∠EFH＝120°，且BF＝MF，如图：

∴∠FBM＝∠FBH＝30°，
∴BM与BH共线，
可证△BEF≌△MHF（SAS），
∴BE＝HM，
∴BE+BH＝HM+BH＝BM，
而∠BFM＝120°，且BF＝MF，可得BM＝BF，
∴BE+BH＝BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：

Rt△PMH中，HP＝MP，
∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BMK＝90°，
∵∠PML＝30°，
∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，
∴ML∥AC，
∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
而BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，
∴四边形GHND是矩形，
∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，
∴CD＝3，
又DN＝2NC，
∴DN＝GH＝2，
∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，
∴BM＝，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，
Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，
∴MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，
Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，
∴S△DPN＝PN•DN＝．