2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：圆（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：圆（含答案），共32页。试卷主要包含了 等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•宜春期末）如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

2．（2021秋•顺城区月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①∠F＝30°；
②CE＝CF；
③线段EF的最小值为2；
④当AD＝1时，EF与半圆相切；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．
其中正确的结论的序号为 ．

3．（2021•凉山州模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的是（只填序号） ．

4．（2021秋•邗江区期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ．

5．（2020•浙江自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE．若，∠BAC的平分线AF＝2，则⊙C的半径为 ．

6．（2015•邛崃市模拟）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBn∁n的顶点Bn、∁n在圆上．如图1，当n＝1时，正三角形的边长a1＝ ；如图2，当n＝2时，正三角形的边长a2＝ ；如图3，正三角形的边长an＝ （用含n的代数式表示）．

7．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 ．

8．（2020•龙泉驿区模拟）如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是 ．

9．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．

10．（2022•长兴县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一个动点，连结CE，DE．若AB＝2，BC＝2，则CE+DE的最小值是 ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：圆（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2021秋•宜春期末）如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 1s，4s，7s 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【专题】推理填空题；动点型；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】分4种情况讨论：①当圆心O运动到点E与点C重合是时；②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时；③过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝4．
【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
故答案为：1s，4s，7s．

【点评】此题主要考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，直线与圆的位置关系，解决本题的关键是利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．
2．（2021秋•顺城区月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①∠F＝30°；
②CE＝CF；
③线段EF的最小值为2；
④当AD＝1时，EF与半圆相切；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．
其中正确的结论的序号为 ②③④ ．

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；轴对称的性质；三角形三边关系；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．
【专题】压轴题；推理能力．
【分析】（1）由对称证明出∠F＝∠CDF，得到只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°；
（2）由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF；
（3）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值；
（4）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切；
（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【解答】解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；
②又∵∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF．故②正确；
③当CD⊥AB时，如图2所示．

∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为2．故③正确；
④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，

∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝2，AD＝1，
∴DO＝1．
∴AD＝DO，
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA，
∴∠ECA＝30°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．故④正确；
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S△ABC＝2וAC•BC＝4．故⑤错误．

故答案为②③④．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度，第五个问题解题的关键是通过特殊点探究EF的运动轨迹，属于中考压轴题．
3．（2021•凉山州模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的是（只填序号） ①②③④⑤ ．

【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理填空题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OA，BE，①根据PA、PB是⊙O的切线，即可判断；②根据PA＝PB，OA＝OB，可得OP是AB的垂直平分线，进而可以判断；③根据OP是AB的垂直平分线，可得＝，进而可以判断；④根据OB＝OC，AF＝BF，即可判断；⑤证明∠PBE＝∠EBA，∠APE＝∠BPE，即可判断；根据AC∥OE，可得△CDA∽△EDF，进而可以判断．
【解答】解：如图，连接OA，BE，

①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB；故①正确；
②∵PA＝PB，OA＝OB，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴OP⊥AB；故②正确；
③∵OP是AB的垂直平分线，
∴＝，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CE平分∠ACB；故③正确；
④∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BFO＝90°，
∴OF∥AC，
∵OB＝OC，AF＝BF，
∴OF＝AC；故④正确；
⑤∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBE+∠EBC＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠PBE＝∠ECB，
∵∠ECB＝∠EBA，
∴∠PBE＝∠EBA，
∵∠APE＝∠BPE，
∴E是△PAB的内心；故⑤正确；
⑥∵AC∥OE，
∴△CDA∽△EDF．故⑥错误；
∴其中一定成立的是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理、切线的性质、三角形中位线定理、及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握切线的几个性质及圆周角定理，难度较大，注意各个知识点之间的融会贯通．
4．（2021秋•邗江区期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ﹣2 ．

【考点】圆周角定理；三角形三边关系；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题．
5．（2020•浙江自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE．若，∠BAC的平分线AF＝2，则⊙C的半径为 ．

【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】先证明△ABD∽△AEB，再根据AB：BC＝4：3，可设AB＝4，BC＝3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB2＝AD•AE，进而求出AE的值，所以tanE＝＝，设AB＝4x，BC＝3x，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半径3x的值．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DBC，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BDE，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEB；
∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵BC＝CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣3＝2，
∵△ABD∽△AEB，
∴＝＝，
∴AB2＝AD•AE，
∴42＝2AE，
∴AE＝8，
在Rt△DBE中
tanE＝＝＝＝，
如图，过点F作FM⊥AE于点M，

∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴由上可知；AE＝8x，AD＝2x，
∴DE＝AE﹣AD＝6x，
∵AF平分∠BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∵tanE＝，
∴csE＝，sinE＝，
∴＝，
∴BE＝x，
∴EF＝BE＝x，
∴sinE＝＝，
∴MF＝x，
∵tanE＝，
∴ME＝2MF＝x，
∴AM＝AE﹣ME＝x，
∵AF2＝AM2+MF2，
∴4＝（x）2+（x）2，
∴x＝，
∴⊙C的半径为：3x＝．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
6．（2015•邛崃市模拟）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBn∁n的顶点Bn、∁n在圆上．如图1，当n＝1时，正三角形的边长a1＝ ；如图2，当n＝2时，正三角形的边长a2＝ ；如图3，正三角形的边长an＝ （用含n的代数式表示）．

【考点】正多边形和圆；特殊角的三角函数值；规律型：图形的变化类；勾股定理．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD＝A1D﹣OA1＝a1﹣1，再由勾股定理即可求出a1的值；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE＝2A1A2﹣OA1＝a2﹣1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；
（3）设PQ与Bn∁n交于点F，连接OBn，则OF＝nan﹣1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an＝．
【解答】解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD＝A1D﹣OA1＝a1﹣1，
在Rt△OB1D中，OB12＝B1D2+OD2，
即12＝（a1）2+（a1﹣1）2，
解得，a1＝；

（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE＝2A1A2﹣OA1＝a2﹣1，
在Rt△OB2E中，OB22＝B2E2+OE2，
即12＝（a2）2+（a2﹣1）2，
解得，a2＝；

（3）设PQ与Bn∁n交于点F，连接OBn，则OF＝nan﹣1，
在Rt△OBnF中，OBn2＝BnF2+OF2，
即12＝（an）2+（nan﹣1）2，
解得，an＝．

故答案为：，，．

【点评】本题考查的是正多边形与圆及特殊角的三角函数值，根据题意作出辅助线，找出规律是解答此题的关键．
7．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 +1 ．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；点与圆的位置关系；旋转的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】通过证明△DBO∽△CBE，可得OD＝CE，当CE有最大值时，OD有最大值，即可求解．
【解答】解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，

∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∴∠DBC＝45°，BD＝BC，
∵△OBE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1，
∴BE＝OE＝，
∵∠DBC＝∠OBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
又∵＝，
∴△DBO∽△CBE，
∴，
∴OD＝CE，
∴当CE有最大值时，OD有最大值，
当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+，
∴OD的最大值为+1，
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
8．（2020•龙泉驿区模拟）如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是 3 ．

【考点】垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算．
【分析】如图，设CD的中点为O′，延长BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．首先确定A，B，C的坐标，可得A（8，0）．B（0，8），C（4，4），设D（m，﹣2），则O′N＝（m+4），O′F＝CD＝•，在Rt△O′FN中利用勾股定理构建方程求出m即可解决问题．
【解答】解：如图，设CD的中点为O′，延长BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．

∵CD是⊙O′的直径，
∴∠CED＝90°，
∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（m，0），B（0，m），
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∵OA∥DM，
∴∠EMD＝∠OAB＝45°，
∵∠DEM＝90°，
∴ED＝EM，
∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝6，
∵JA⊥DM，
∴∠AJM＝90°，
∴AJ＝JM＝2，AM＝2，
∴BC＝CA＝4，
∴A（8，0）．B（0，8），C（4，4），设D（n，﹣2），则O′N＝（n+4），O′F＝CD＝•，
∵O′N⊥FG，
∴FN＝，
在Rt△O′FN中，（）2+（n+4）2＝[（n﹣4）2+62]，
解得n＝1，
∴CD＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．

【考点】圆的综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴＝，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．

【点评】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将PA转化为PQ是解题的关键．
10．（2022•长兴县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一个动点，连结CE，DE．若AB＝2，BC＝2，则CE+DE的最小值是 ．

【考点】切线的性质；轴对称﹣最短路线问题；垂径定理；圆周角定理．
【专题】计算题；与圆有关的位置关系；运算能力．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，延长DF交⊙O于点G，连接CG交AB于点E，利用将军饮马模型可得此时EC+ED＝GC最小，连接OD，AD，DB，利用相似三角形的性质可得，设AD＝k，则BD＝2k，利用勾股定理求得k2＝，再利用△ADF∽△ABD，求出AF的长，进而求出BF的长；过点C作CH⊥AB于点H，则四边形CHFB为矩形，CH＝BF＝，FH＝BC＝2，则GH＝FH+FG＝+2＝，再利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，延长DF交⊙O于点G，连接CG交AB于点E，如图，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥DG，
∴DF＝FG．
∴点D与点G关于AB对称．
∴DE＝EG，此时ED+EC最小．
∴ED+EC＝EG+EC＝GC．
连接OD，AD，DB，
∵AB为⊙O的直径，AB＝2，
∴OA＝DO＝OB＝AB＝．
∵BC，CD是⊙O的切线，
∴BC＝CD＝2，OD⊥CD，OB⊥BC，∠CDB＝∠A．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∵DC＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD．
∴∠CDB＝∠A＝∠ADO＝∠CBD．
∴△OAD∽△CDB．
∴．
设AD＝k，则BD＝2k，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴AD2+BD2＝AB2．
∴．
∴k2＝．
∵∠ADB＝90°，DF⊥AB，
∴△ADF∽△ABD，
∴．
∴AD2＝AB•AF．
∴AF＝．
∴OF＝AF﹣OA＝．
∴BF＝OB﹣OF＝．
∵∵∠ADB＝90°，DF⊥AB，
∴△ADF∽△DBF．
∴．
∴DF2＝AF•BF＝．
∴DF＝．
∴GF＝DF＝．
过点C作CH⊥AB于点H，
则四边形CHFB为矩形，
∴CH＝BF＝，FH＝BC＝2．
∴GH＝FH+FG＝+2＝．
在Rt△CHG中，
∵CG2＝CH2+HG2，
∴CG＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，切线长定理，垂径定理，勾股定理，弦切角定理，相似三角形的判定与性质，利用将军饮马模型确定出点E的位置是解题的关键．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
4．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
5．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
8．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
9．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
10．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
11．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
12．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
13．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
14．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
15．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
16．圆的综合题
圆的综合题．
17．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
18．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
20．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
21．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．