2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：图像的平移、折叠、旋转（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：图像的平移、折叠、旋转（含答案），共27页。


2．（2021秋•历城区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝2，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，分别在线段EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．

3．（2021•綦江区校级三模）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上的一点，将△ADE沿DE翻折，得到△DEF，且F在BC边上，G为AD边上的一点，过点G作AD的垂线交DF于点H，连接AH交DE于点P，连接AF，若AB＝7，BF＝3，HA平分∠GHF，则AG的长度为 ．

4．（2021•马鞍山模拟）如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是 ．

5．（2020•海安市模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为 ．

6．（2021春•东阳市期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图1所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：
（1）四边形A′BCD′的形状始终是 ；
（2）A′B+D′B的最小值为 ．

7．（2021•路北区一模）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是 ．

8．（2021•河北区模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 ．

9．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是C′，连接C′E、C′P、C′A．若四边形AC′ED是平行四边形，PC＝2，则平行四边形AC′ED的面积是 ．

10．（2020•衢州二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是CD的中点，过点E作EF∥BC，交对角线BD于点F．将△DEF绕点D逆时针方向旋转得到△DE1F1，连接CE1，BF1，设旋转角度为α（0°＜α＜180°），则＝ ；连接CF1，当△DF1B为直角三角形时，CF1＝ ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：图像的平移、折叠、旋转（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；旋转的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．
【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作三等腰△BQC，连接BP．

由题意可得△BQC和△BPQ均为顶角为120° 的等腰三角形，
可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，
∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，
∴∠PBQ＝∠DBC，
∴△PBQ∽△DBC，
∴，
∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，

如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，
可得AK⊥BC，
∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，
∴BK＝3，∠QBK＝30°，
∴QK＝＝，
∵tan∠ACB＝＝，KC＝3，
∴AK＝＝，
∴AQ＝AK﹣QK＝，AC＝＝，
∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，
∴△AQP'∽△ACK，
∴，
∴，
∴QP'＝，
∴CD＝＝．
【点评】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．
2．（2021秋•历城区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝2，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，分别在线段EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】几何综合题；压轴题；推理能力．
【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．证明△FTE∽△ADC，求出ET＝1，EF＝，设A′N＝x，根据NF＝NE，可得12+（3﹣x）2＝22+x2，解方程求出x，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．

∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝3，BF＝AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝9，∠B＝∠D＝90°
∴AC＝＝＝3，
∵∠TFE+∠AEJ＝90°，∠DAC+∠AEJ＝90°，
∴∠TFE＝∠DAC，
∵∠FTE＝∠D＝90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴TE＝1，EF＝，
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝2﹣1＝1，
设A′N＝x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF＝NE，
∴12+（3﹣x）2＝22+x2，
∴x＝1，
∴FN＝＝＝，
∴MN＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2021•綦江区校级三模）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上的一点，将△ADE沿DE翻折，得到△DEF，且F在BC边上，G为AD边上的一点，过点G作AD的垂线交DF于点H，连接AH交DE于点P，连接AF，若AB＝7，BF＝3，HA平分∠GHF，则AG的长度为 7 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】过点A作AN⊥DF于点N，延长AB，DF交于点M，设AE＝x，AD＝y，由翻折可知：EF＝AE＝x，DF＝AD＝BC＝y，则BE＝AB﹣AE＝7﹣x，CF＝BC﹣BF＝y﹣3，在Rt△BEF和Rt△DFC中，根据勾股定理得x＝，y＝，证明△BFM∽△ADM，可得BM＝，证明△EFM∽△ANM，可得AN＝7，然后根据角平分线的性质可以解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥DF于点N，延长AB，DF交于点M，

设AE＝x，AD＝y，
由翻折可知：EF＝AE＝x，DF＝AD＝BC＝y，
则BE＝AB﹣AE＝7﹣x，CF＝BC﹣BF＝y﹣3，
在Rt△BEF和Rt△DFC中，根据勾股定理，得：
BE2+BF2＝EF2，DC2+CF2＝DF2，
∴（7﹣x）2+32＝x2，72+（y﹣3）2＝y2，
解得x＝，y＝，
∴EF＝，AD＝，
∴BE＝7﹣x＝，CF＝y﹣3＝，
∵BF∥AD，
∴△BFM∽△ADM，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴EM＝BM+BE＝+＝，
∴AM＝AB+BM＝7+＝，
由翻折可知：∠EFD＝∠EAD＝90°，
∵AN⊥DF，
∴∠EFM＝∠ANM＝90°，
∴EF∥AN，
∴△EFM∽△ANM，
∴＝，
∴＝，
∴AN＝7，
∵HA平分∠GHF，AN⊥DF，HG⊥AD，
∴AG＝AN＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4．（2021•马鞍山模拟）如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是 2+2 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ＝PN，PB＝PG，推出PQ+PG＝PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题．
【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．

由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，HG＝CD＝4，
∵QH＝QG，
∴QG＝2，
在Rt△BCN中，BN＝＝2，
∵∠CBG＝90°，PC＝PG，
∴PB＝PG＝PC，
∴PQ+PG＝PN+PB≥BN＝2，
∴PQ+PG的最小值为2，
∴△GPQ的周长的最小值为2+2，
故答案为2+2．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2020•海安市模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质．
【专题】推理填空题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】根据矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，可得AC＝5，由AE＝可得点F是边BC上的任意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角形ACG的面积即可得结论．
【解答】解：如图，

在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∠B＝∠D＝90°，
连接AC，
∴AC＝5，
∵AB＝3，AE＝，
∴点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG
＝3×4+×5h，
＝6+h．
要使四边形AGCD的面积最小，
即h最小．
∵点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．
过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，
在Rt△AEH中，AE＝，
sin∠BAC＝＝，
解得EH＝AE＝，
EG＝BE＝AB﹣AE＝3﹣，
∴h＝EH﹣EG＝﹣（3﹣）＝﹣3．
∴S四边形AGCD＝6+×（﹣3）
＝﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点G的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题．
6．（2021春•东阳市期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图1所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：
（1）四边形A′BCD′的形状始终是 平行四边形 ；
（2）A′B+D′B的最小值为 2 ．

【考点】作图﹣平移变换；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′＝BD′+CD′＝BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【解答】解：（1）如图2中，∵A′D′＝BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．

（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ＝JC，
∴BJ＝AC＝，
∵∠BJC＝∠JCH＝∠H＝90°，
∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ＝CJ，
∴四边形BHCJ是正方形，
∴BH＝CH＝，
在Rt△BHC″中，BH＝，HC″＝3，
∴BC″＝＝＝2，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B＝CD′，
∴A′B+BD′＝BD′+CD′＝BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值为2，
故答案为：2
【点评】本题考查作图﹣平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
7．（2021•路北区一模）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了 150 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是 + ．

【考点】旋转的性质；正多边形和圆；轨迹．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．
【分析】如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．
【解答】解：第一次滚动正方形旋转了240°﹣90°＝150°．
如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．

易知EH＝EA2＝＝，
在△AEF中，∵AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，
∴AE＝，
∴AH＝AE+EH＝+．
∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离为+．
故答案为：150，+
【点评】本题考查旋转变换，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点A的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2021•河北区模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 ．

【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】如图，作直线BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在直线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【解答】解：如图，作直线BG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
∵CG＝CF，
∴△CBG≌△CDF，
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝2m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，
∴1＝m2+4m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴EG的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、解直角三角形等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是C′，连接C′E、C′P、C′A．若四边形AC′ED是平行四边形，PC＝2，则平行四边形AC′ED的面积是 2+4 ．

【考点】旋转的性质；平行四边形的性质；正方形的性质；轴对称的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】如图，连接DC′，作PH⊥CD于H，设CD交EC′于K．只要证明△ADC′≌△CDP，△DKC′，△PCH是等腰直角三角形即可解决问题；
【解答】解：如图，连接DC′，作PH⊥CD于H，设CD交EC′于K．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵四边形ADEC′是平行四边形，
∴DE＝AC′＝DP，∠DAC′＝∠DEK，
∵AD⊥CD，AD∥EC′，
∴CD⊥EC′，
∵∠PDE＝90°，
∴∠PDC+∠CDE＝90°，∠CDE+∠DEK＝90°，
∴∠CDP＝∠DAC′，
∴△ADC′≌△CDP，
∴DC′＝PC＝2，∠ADC′＝∠DCP＝45°，
∵∠ADC＝∠PHC＝90°，
∴∠KDC′＝45°，
∴△DKC′，△PCH是等腰直角三角形，
∴DK＝KC′＝CH＝PH＝，
∴C′K＝PH，CK′∥PH，
∴四边形PHKC′是平行四边形，
∵∠PHK＝90°，
∴四边形PHKC′是矩形，
∴PH＝PC′＝PC＝2，
∴AD＝CD＝2+2，
∴四边形AC′ED的面积＝（2+2）＝2+4．
故答案为2+4．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．（2020•衢州二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是CD的中点，过点E作EF∥BC，交对角线BD于点F．将△DEF绕点D逆时针方向旋转得到△DE1F1，连接CE1，BF1，设旋转角度为α（0°＜α＜180°），则＝ ；连接CF1，当△DF1B为直角三角形时，CF1＝ 或 ．

【考点】旋转的性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】由△BDF1∽△CDE1可得＝；
分为∠BDF1＝90°，∠DF1B＝90°两种情形，分别解斜△CDF1即可得．
【解答】解：如图1，

∵△DEF绕点D逆时针方向旋转得到△DE1F1，
∴∠EDF＝∠E1DF1，
∴∠EDF﹣∠EDF1＝∠E1DF1﹣∠EDF1，
∴∠F1DB＝∠E1DC，
∵＝＝，
＝＝，
∴＝，
∴△BDF1∽△CDE1，
∴＝＝＝，
故答案是；
如图2，

当∠BDF1＝90°时，
在△CDF1中，
CD＝6，DF1＝5，∠CDF1＝90°﹣∠BDC，
作F1G⊥CD于G，
在Rt△AGF1中，DF1＝5，∠AF1G＝∠BDC，
∴F1G＝DF1•cs∠AF1G
＝5•cs∠BDC
＝5•
＝5×
＝3，
DG＝5•sin∠BDC＝4，
∴CG＝CD﹣DG＝2，
∴CF＝
＝，
如图3，

当∠DF1B＝90°时（图中F1′），
∵，
∴∠DCF1′＝∠DBF1′＝30°，
作F1′H⊥CD于H，
∴设F1′H＝a，
则CH＝a，
∴DH＝6﹣，
在Rt△DHF1′中，由勾股定理得，
（6﹣）2+a2＝52，
∴，（舍去），\
∴CF1′＝2a＝3﹣4，
故答案是或3﹣4．
【点评】本题以旋转为背景，考查了三角形相似和解直角三角形，解决问题的关键是正确分类和数量熟练掌握基本图形．
考点卡片
1．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
6．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
8．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
9．轨迹
10．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
13．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
14．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
15．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
16．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）