常州市正衡中学2020-2021学年八年级第二学期期中质量调研数学试题

这是一份常州市正衡中学2020-2021学年八年级第二学期期中质量调研数学试题，共18页。

常州市正衡中学2020-2021学年八年级第二学期期中质量调研
数学试题
2021年4月
注意事项：1.本卷满分100分，考试时间为100分钟
2. 请将答案全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效
一、选择题（共10小题，20分）
1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D

2. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C. 小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D. 某日最高气温是7∘C，最低气温是−2∘C，则该日气温的极差是5∘C
【答案】B

3. 下列说法正确的是（ ）
A． 了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查
B． 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S甲2>S乙2，则甲的成绩比乙稳定
C． 三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是13
D． “任意画一个三角形，其内角和是360∘”这一事件是不可能事件
【答案】D
【解析】分析：根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案．
详解：A、了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，此选项错误；
B、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S甲2＞S乙2，则乙的成绩比甲稳定，此选项错误；
C、三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是23，此选项错误；
D、“任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件，此选项正确.
4. 某班共有42名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（　　）
A. 0 B. 121 C. 142 D. 1
【答案】B

5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　)

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.
6. 已知点A(1，-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数的图像上，则实数k的值为( )
A．3 B． C．-3 D．
【答案】A
【解析】解：点A(1，-3)关于x轴的对称点A'的坐标为：(1，3)，将(1，3)代入反比例函数，
可得：k=1×3=3，故选A.
7. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（    ）.

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】D
【解析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
8. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x＝－1 B．x＝3 C．x≠－1 D．x≠3
【答案】D．
【解析】本题考查分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x－3≠0得x≠3，因此本题选D．
9. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为(　　)

A．5 B．325 C．25 D．45
【答案】C
【解析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
∴AE＝AF＝3，
由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB=52−32=4，
在Rt△ABC中，AC=42+82=45，
∴OA＝OC＝25，
10. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

A． 12 B． 1 C． 2 D． 2
【答案】B
【解析】分析：先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
详解：如图
，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
二、 填空题（每小题2分，共20分）
11. 某班50名学生在2018年适应性考试中，数学成绩在100〜110分这个分数段的频率为0.2，则该班在这个分数段的学生为_____人．
【答案】10

12. 在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为_____
【答案】23
【解析】分析：列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．
详解：根据题意列表得：

2
3
4
5
2
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
（5，3）
4
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
（5，4）
5
（2，5）
（3，5）
（4，5）
﹣﹣﹣

13. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_______________ .

【答案】32

14. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=__________．

【答案】75°
【解析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠EGB，
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，
又∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠AGB=∠BGH，
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB=12∠AGH=75°，
15. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数(，k为常数且)的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________(结果用含k的式子表示)

【答案】
【解析】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数(，k为常数且)的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.故答案为：k-1.
16. 已如m+n＝﹣3，则分式m+nm÷(−m2−n2m−2n)的值是　 　．
【答案】13
【解析】原式=m+nm÷−(m2+2mn+n2)m
=m+nm•m−(m+n)2
=−1m+n，
当m+n＝﹣3时，
原式=13
17. 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
【答案】．
【解析】

18. 如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____.
【答案】
【解析】
解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠FCO，
∵在△AOE和△COF中，
EAO= FCOAO=CO AOE= COF,
∴△AOE≌△COF，
∴S阴影=S△BOF+S△AOE=S△BOF+S△COF=S△BOC=14S平行四边形ABCD.
19. 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.

【答案】10；
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝4，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝3，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．
20. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　．

【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
【解析】如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8−42=2，
由勾股定理得：DE=OD2+OE2=42+22=25，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×25=85，
故答案为：85．
三、 简答题（共6小题，60分）
21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上

(1)将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在(2)的条件下，求在旋转过程中扫过的面积(结果保留)．
【答案】(1)见解析, ；(2)图形见解析，；(3)
【详解】(1)如图所示，；(2)如图所示，
(3)

22. 今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．

（1）求该校的班级总数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．
【答案】（1）12；（2）补图见解析；（3）12
【解析】分析：（1）根据统计图中植树12颗的班级数以及所占百分比25%列出算式，即可求出答案；
（2）根据条形统计图求出植树11颗的班级数是4，画出即可；
（3）根据题意列出算式，即可求出答案．
详解：（1）该校的班级总数=3÷25%=12，
答：该校的班级总数是12；
（2）植树11颗的班级数：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2，如图所示：

（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（颗），
23. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．
(1)求证：△AOF≌△COE；
(2)连接AE、CF，则四边形AECF　　(填“是”或“不是”)平行四边形．

【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCEAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)
(2)解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
由(1)得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：是．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.(1)求反比例函数的表达式；(2)设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.

【答案】(1)反比例函数的表达式为；(2)的面积为.
【解析】(1)由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为(-2,4)
将A(-2,4)代入反比例函数表达式，有，∴;故反比例函数的表达式为
(2)联立直线与反比例函数，
解得
，当时，，故B(-8,1)

如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
25. 如图①，已知正方形边长为2，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连结、、、.设AP=x.

(1)当时，求长；
(2)如图②，若的延长线交边于，并且，求证：为等腰三角形；
(3)若点是射线上的一个动点，则当为等腰三角形时，求的值.
【答案】(1)BP=；(2)证明见解析；(3)△CDQ为等腰三角形时x的值为4-2、、2+4.
【解析】(1)∵AP=x=1，AB=2，
∴BP==，
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE=90°，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°，
∴∠EQC =∠ECQ，
∴EQ=EC，即△CEQ为等腰三角形.
(3)如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．
①讨论Q1，如图，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F，
∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为2，
∴FC=1，Q1F==，Q1E=2-，
在四边形ABPQ1中，
∵∠ABQ1=30°，
∴∠APQ1=150°，
∴∠EPQ1=30°，△PEQ1为含30°的直角三角形，
∴PE=EQ1=2-3，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴AE=AD=1，
∴x=AP=AE-PE=1-(2-3)=4-2.
②讨论Q2，如图，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，交CD于G，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F，
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ2=BQ2．
∵AB=BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形．
∴AF=AE=1，FQ2==，
在四边形ABQ2P中，
∵∠BAD=∠BQ2P=90°，∠ABQ2=60°，
∴∠APQ2=120°，
∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，
∴EQ2=EF-FQ2=2-，
EG=EQ2=2-3，
∴DG=DE+GE=1+2-3=2-2，
∴DG=PD，即PD=2-，
∴x=AP=2-PD=.
③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作PQ3⊥BQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，记Q3与F重合．
∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=2，
∴Q1Q2=2，Q1E=2-，
∴EF=2+，
在四边形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP=EF=2+3，
∵AE=1，
∴x=AP=AE+PE=1+2+3=2+4.
综上所述：△CDQ为等腰三角形时x的值为4-2、、2+4.
26. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y(℃)和通电时间x(min)之间的关系如图所示，回答下列问题：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40 ℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？

【答案】要想喝到不低于40 ℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【解析】

∴当8 综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20；
当8＜x≤a时，y＝.
(2)将y＝20代入y＝，
解得x＝40，即a＝40.
(3)当y＝40时，x＝＝20.
∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．
点睛：本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

附加题
27. 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEPD'，旋转角为a.

(1)当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值;
(2)如图2，G为BC中点，且0° (3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△ DCD'与A CBD'能否全等?若能，直接写出旋转角α的值:若不能说明理由.
【答案】 见解析
【解析】(1)解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△  CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠  CD′E=30°，
∵ CD∥ EF，∴  ∠  α=30°
(2)证明：∵  G为BC中点，
∴CG=1，∴CG=CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
{CD'=CD∠GCD'=∠GCE'CG=CE' ，
∴△GCD′≌△E′CD(SAS)，∴GD′=E′D
(3)解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∵CD′=CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α= 360∘−90∘2 =135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠ BCD′=∠ DCD′= 12 ∠BCD=45°
则α=360°﹣ 90∘2 =315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△ DCD′全等．