2023鹤壁高中高二下学期第一次段考数学试题含答案

2024届高二年级下学期第一次段考数学试卷

命题人

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）

1．已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（    ）

A．-3      B．-1      C．1      D．3

2．英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，，，则的近似值为（精确到0.01）（    ）

A．1.63      B．1.64      C．1.65      D．1.66

3．已知等差数列的前n项和为满足，，则数列的前8项和为（    ）

A．     B．     C．      D．

4．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2，，数列的前n项和为，则当最大时，n的值等于（    ）

A．8     B．8或9     C．16或17     D．17

5．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）

A．     B．  C．    D．

6．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最小值时，n的值为（    ）

A．5      B．6      C．7      D．8

7．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（    ）

A．-8080     B．-8082     C．8084     D．8088

8．已知数列中，，，则数列的前n项和（    ）

A．  B．   C．   D．

9．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）

A．    B．      C．     D．

11．已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）

A．     B．      C．     D．

12．关于函数，下列说法错误的是（    ）

A．是的极小值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数k，使得恒成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若各项均为正数的数列中，，前n项和为，对于任意的正整数n满足，则数列的通项公式______．

14．在等差数列中，若，则______．

15．已知函数，（e是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则a的取值范围为______．

16．已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数根，则a的取值范围为______．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

19．（本小题满分12分）

已知函数，.

（1）求函数的值域；

（2）设，当时，函数有两个零点，求实数k的取值范围.

20．（本小题满分12分）

如图，AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，，N为垂足，点N坐标为．

（1）求抛物线的方程；

（2）求的面积（O为坐标系原点）．

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面平面ABCD，，．

（1）求证：平面CDP；

（2）若点E在线段AC上，直线PE与直线DC所成的角为，求平面PDE与平面PAC夹角的余弦值．

22.（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

2024届高二年级下学期第一次段考数学答案

13．  14．5  15．  16．

17．（1），∴，又，

∴曲线在点处的切线方程为，即

（2），令，解得或，

又∴当x变化时，，的变化情况如下表所示：

∴在区间上的最大值是1，最小值是．

18．（1）当时，，即，

当时，，

时，，与不符，

所以；

（2）由得，而，

所以当时，，当时，，

当时，，

当时，

，

所以

19．（1）由可知

令则，

所以，无最大值，所以的值域为．

（2）当时，，

令，则有两个零点等价于有两个零点，

对函数求导得：，

当时，在上恒成立，于是在上单调递增.

所以，因此在上没有零点

即在上没有零点，不符合题意

当时，令得，在上，在上

所以在上单调递减，在上单调递增

所以的最小值为由于在上有两个零点，

所以，因为，，

对于函数，，

所以在区间上，函数单调递减；在区间，，函数单调递增；

所以所以

所以由零点存在性定理得时，在上有两个零点，

综上，可得k的取值范围是 ．

20．解：（1）点，在准线l上，所以准线l方程为：，

则，解得所以抛物线的方程为：．

（2）设，，由A、B在抛物线上，

所以，则，

又，可知点M纵坐标为-3，M是AB的中点，所以，

所以，又知焦点F坐标为，则直线AB的方程为：

联立抛物线的方程，可得，

解法1：直接解得或，所以；

所以．

解法2：由韦达定理得．

所以．

21．【解析】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴，

又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

∴平面ADP，又平面ADP，∴，

∴，．∴，∴；

∵，∴，又，PD，平面CDP，∴平面CDP．

（2）作，垂足为O，作，交BC于F，

∵平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，

∴平面ABCD，由（1）知：，，，

∴，∴，，∴，

以O为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，，

设，则，∴，

∴，

解：，∴，设平面PDE的法向量，

则，令，解得：，，∴；

设平面PAC的法向量，

则，令，解得：

即平面PDE与平面PAC夹角的余弦值为．

22．（1），因为在上单调递增，

所以，恒成立，即恒成立，

因为在上单调递减，所以，则．

故实数a的取值范围为；

（2）因为恒成立，所以恒成立，

设，，

则，

设，，则，所以在上单调递减，

且，，则，使，

即，且，，

列表得

所以，则．

解法二：恒成立，即恒成立，

令，，则，所以在上单调递增，

因为时，，所以在上的值域为．

因为，

所以，恒成立，

设，，则，令得，列表得

所以，则．

解法三：恒成立，即恒成立，

令，，则在上单调递增，

的值域为R．

因为，所以，恒成立，

设，，则，令得，列表得

所以，则．

故实数a的取值范围是．