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2022年四川省广元市利州区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2022年四川省广元市利州区中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年四川省广元市利州区中考数学一模试卷
副标题
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 接种疫苗是防控新冠疫情最有效的手段，据国家卫健委统计，光明网公布：截至2022年3月1日，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约313559.8万剂次．其中数313559.8万用科学记数法可表示为( )
A. 3.135598×105 B. 0.3135598×106
C. 3.135598×109 D. 31.35598×109
3. 下列计算正确的是( )
A. 4a+a=4a2 B. (ab)2=ab2
C. (a−1)2=a2−1 D. (−a)3=−a3
4. 如图，AB//EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=( )
A. 140°
B. 130°
C. 120°
D. 110°
5. 某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
6. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，P是AMB上一点，则∠APB的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
7. 若x为实数，在“(3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A. 3+1 B. 3−1 C. 23 D. 1−3
8. 下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组x+2>a(2a−1)x−6<0的解集的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=−4；
②若点C(−4,y1)，D(π−1,y2)在该抛物线上，则y1
④3b>−2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是( )
A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知a为整数，且满足11
13. 若关于x的分式方程mx−2=1−x2−x−3有增根，则实数m的值是______．
14. 定义新运算“*”，规则：a*b=a(a≥b)b(a
16. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：4cos30°−|3−2|+(5−12)0−27+(−13)−2．
四、解答题（本大题共9小题，共90.0分）
18. 先化简(1−3x+2)÷x2−2x+1x2−4，然后从不等式2x−6<0的非负整数解中选取一个合适的解代入求值．
19. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
(1)求证：AB=AF；
(2)若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
20. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动.学生根据自己的喜好选择一门艺术项目(A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸)，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图(如图所示)．
(1)张老师调查的学生人数是______ ．
(2)若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
(3)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
21. 为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME=7.5米，学生身高BD=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于M，N两点(点M在点N左侧)，已知M点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出−13x≤kx的解集；
(3)将直线l1：y=−13沿y轴向上平移后得到直线l1，l2与反比例函数y=kx的图象在第二象限内交于点A，如果△AMN的面积为18，求直线l2的函数表达式．
23. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润．
24. 如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若tan∠A=12，⊙O的半径为3，求EF的长．
25. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ.求证：BP=CQ；
(2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为6，CQ=22，求正方形ADBC的边长．
26. 如图，已知抛物线经过点A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)已知点F(0,12)，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的定义即可作出判断．
本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后可以和原图形重合．
2.【答案】C
【解析】解：313559.8万=3135598000=3.135598×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.4a+a=5a，故本选项错误，不合题意；
B.(ab)2=a2b2，故本选项错误，不合题意；
C.(a−1)2=a2−2a+1，故本选项错误，不合题意；
D.(−a)3=−a3，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
依据幂的乘方法则、合并同类项法则、积的乘方法则以及完全平方公式进行计算，即可得出结论．
本题主要考查了幂的乘方法则、合并同类项法则、积的乘方法则以及完全平方公式，解题时注意合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行线的性质，平行公理，作出正确辅助线是解题关键．直接利用平行线的性质得出∠B=∠BCG，∠GCD=90°，进而得出答案．
【解答】
解：过点C作CG//AB，
由题意可得：AB//EF//CG，
∴∠B=∠BCG，∠GCD=90°，
则∠BCD=40°+90°=130°．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30°的直角三角形三边的关系和折叠的性质．
作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=12OA，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
【解答】
解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD=12OC=12OA，
∴∠OAD=30°，
又OA=OB，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=12∠AOB=60°．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：A、(3+1)÷(3+1)=1，此选项结果是有理数；
B、(3+1)×(3−1)=2，此选项结果是有理数；
C、无论加减还是乘除，都不可能是有理数，此选项不能是有理数；
D、(3+1)×(1−3)=−2，此选项结果是有理数．
故选：C．
□为+，−，×，÷的一种，可逐一排除法来求解．
本题考查的是有理化的问题，解题的关键是进行正确运算．
8.【答案】B
【解析】解：由x+2>a得x>a−2，
A.由数轴知x>−3，则a=−1，∴−3x−6<0，解得x>−2，与数轴不符；
B.由数轴知x>0，则a=2，∴3x−6<0，解得x<2，与数轴相符合；
C.由数轴知x>2，则a=4，∴7x−6<0，解得x<67，与数轴不符；
D.由数轴知x>−2，则a=0，∴−x−6<0，解得x>−6，与数轴不符；
故选：B．
由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．
9.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，
∴AB=4，∠A=45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=BD=2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE=PF，PE=CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP=x，
则AE=PE=x⋅sin45°=22x，
∴CE=AC−AE=22−22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0
=22x(22−22x)
=−12x2+2x
=−12(x−2)2+2，
∴当0
即2≤x<4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE=PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD=2，PD=x−2，
∴CP=4−x，
y=12(4−x)2=12(x−4)2．
∴当2≤x<4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D.可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=−4．
∴①的结论正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2−42=−1．
根据抛物线的对称性可知：当x=−4时与当x=2时的函数值相同，
∴当x=2时，y=y1..
∵a<0，
∴抛物线的开口方向向下，当x>−1时，y随x的增大而减小．
∵2<π−1，
∴y1>y2．
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，a<0，
∴当x=−1时，函数由最大值为a−b+c．
∴对于任意实数t，总有y=at2+bt+c≤a−b+c．
∴at2+bt≤a−b．
∴③的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1．
∴b=2a．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)，B(−4,0)两点，a<0，
∴由抛物线可知：当x=1时，y=a+b+c>0．
∴12b+b+c>0．
∴3b+2c>0．
∴3b>−2c．
∴④的结论正确；
将抛物线y=ax2+bx+c向下平移p个单位，则得到抛物线y=ax2+bx+c−p的图象，
此时对于的一元二次方程为ax2+bx+c−p=0，即方程ax2+bx+c=p．
若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则方程的根只能是：
x1=1，x2=−3或x1=0，x2=−2或x1=x2=−1，因此对于的p值应该为3个，
∴⑤的结论不正确；
综上，正确的结论是：①③④，
故选：D．
利用待定系数法，二次函数的性质，数形结合法，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线的对称性，二次函数的极值以及抛物线平移的规律对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，数形结合法，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线的对称性，二次函数的极值以及抛物线平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵11<16<17，
∴11<4<17．
故答案为：4．
应用估算无理数的大小的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵a−b=3，ab=−1，
∴原式=(a2+b2)−ab
=(a−b)2+ab
=32−1
=9−1
=8．
故答案为：8．
原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：去分母，得：m=x−1−3(x−2)，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】−1+52
【解析】解：x2+x−1=0，
∵a=1，b=1，c=−1，
∴Δ=1−4×(−1)=5>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=−1±52，
∴x1=−1+52，x2=−1−52，
∵−1+52>−1−52，
根据题意，得x1*x2=−1+52，
故答案为：−1+52．
先用公式法解一元二次方程x2+x−1=0，再根据新运算“*”求解即可．
本题考查了一元二次方程与新定义的综合，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15.【答案】922
【解析】解：如图，在AD上取点G，使得AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG=12∠DGE，
再由尺规作图的作法可知，AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF，
∴∠DAF=∠DGE，
∵AD=AF，∠DAE=∠EAF，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴∠AFE=∠ADE=90°，DE=EF，
∴∠DAF=∠FEC，
∴∠DGE=∠FEC，
∵tan∠EFC=43，
∴tan∠GED=43，
设DE=3x，GD=4x，则GE=GD2+DE2=5x，
∴AD=AG+DG=9x，
∴AE=AD2+ED2=310x=55，
解得：x=526，
∴DE=FE=522，
∴EC=45EF=22，
∴AB=CD=CE+DE=22+522=922．
故答案为：922．
在AD上取点G，使得AG=GE，可证得∠DAF=∠DGE，再证明△ADE≌△AFE(SAS)，得∠DGE=∠FEC，即tan∠GED=43，再设DE=3x，GD=4x，算出AE=AD2+ED2=310x=55，解得x即可求得AB．
本题主要考查了矩形的性质、尺规作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，解决此题的关键是熟悉角平分线尺规作图的作法以及在AD上取点G构造∠DGE=∠FEC．
16.【答案】45
【解析】解：如图，过点D作DH//MN，交AB于H，过点E作EG//MN，过点M作MG//NE，两直线交于点G，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠B=∠BAD=90°，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，
∴AE=AB2+BE2=4+36=210，
∵DH//MN，AB//CD，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴DH=MN，
∵MN⊥AE，DH//MN，EG//MN，
∴DH⊥AE，AE⊥EG，
∴∠BAE+∠AHD=90°=∠AHD+∠ADH，∠AEG=90°，
∴∠BAE=∠ADH，
在△ABE和△DAH中，
∠BAE=∠ADHAB=AD∠B=∠BAD，
∴△ABE≌△DAH(ASA)，
∴DH=AE=210，
∴MN=DH=AE=210，
∵EG//MN，MG//NE，
∴四边形NEGM是平行四边形，
∴NE=MG，MN=EG=AE=210，
∴AM+NE=AM+MG，
则当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，
∴AG=EG2+AE2=40+40=45，
故答案为45．
由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证△ABE≌△DAH，可得DH=AE=210，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得NE=MG，MN=EG=AE=210，由AM+NE=AM+MG，则当点A，点M，点G三点共线时，即AM+NE的最小值为AG，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
17.【答案】解：4cos30°−|3−2|+(5−12)0−27+(−13)−2
=4×32−(2−3)+1−33+1(−13)2
=23−2+3+1−33+9
=8．
【解析】按照实数的运算法则依次计算：cos30°=32，|3−2|=2−3，(5−12)0=1，27=33，(−13)−2=9．
本题重点考查了实数的基本运算能力．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．
18.【答案】解：原式=x+2−3x+2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2=x−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2=x−2x−1，
由不等式2x−6<0，得到x<3，
∴不等式2x−6<0的非负整数解为x=0，1，2，
则x=0时，原式=2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
(2)解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【解析】(1)只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
(2)结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)50名
(2)条形统计图中D的人数为：50−10−6−14−8=12(名)，
∴1000×1250=240(名)，
即估计有240名学生选修泥塑；
(3)把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为212=16．
【解析】解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，
故答案为：50名；
(1)由A的人数除以所占百分比即可；
(2)求出条形统计图中D的人数，再由该校共有学生人数乘以选修泥塑的学生所占比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：由题意得：
BD=AC=EF=1.5米，CD=AB，
∵ME=7.5米，
∴MF=ME−EF=6(米)，
在Rt△MCF中，∠MCF=60°，
∴MC=MFsin60∘=632=43(米)，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠CMD=∠MCF−∠MDC=60°−30°=30°，
∴∠DMC=∠MDC=30°，
∴MC=CD=43米，
∴AB=CD=43米，
∴体温监测有效识别区域AB的长为43米．
【解析】根据题意可得BD=AC=EF=1.5米，CD=AB，从而可得MF=6米，然后在Rt△MCF中，利用锐角三角函数的定义求出MC的长，再证明△MCD是等腰三角形，从而可得MC=CD，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−13x经过点M，M点的纵坐标是2，
∴当y=2时，x=−6，
∴M(−6,2)，
∴k=−6×2=−12，
∴反比例函数的表达式为y=−12x；
(2)∵直线l1：y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于M，N两点，M(−6,2)，
∴N(6,−2)，
∴不等式−13x≤kx的解集为−6≤x<0或x≥6；
(3)如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接MD，ND，
∵AD//MN，
∴△AMN的面积与△DMN的面积相等，
∵△AMN的面积为18，
∴S△MOD+S△NOD=18，即12OD(|yM|+|yN|)=18，
∴12×OD×4=18，
∴OD=9，
∴D(9,0)，
设平移后的直线l2的函数表达式为y=−13x+b，
把D(9,0)代入，可得0=−13×9+b，
解得b=3，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y=−13x+3．
【解析】(1)直线l1经过点M，且M点的纵坐标是2，可得M(−6,2)，代入反比例函数解析式可得k的值；
(2)依据直线l1：y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于M，N两点，即可得到不等式−13x≤kx的解集为−6≤x<0或x≥6；
(3)设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接MD，ND，依据AD//MN，即可得出△AMN的面积与△DMN的面积相等，求得D(9,0)，即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△AMN的面积与△DMN的面积相等，得到D点的坐标为(9,0)．
23.【答案】解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得900m−9001.5m=100，
解得m=3，
∴1.5m=4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30(元)，
答：每盒产品的成本为30元；
(2)根据题意，得w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000，
∴w关于x的函数解析式为：w=−10x2+1400x−33000；
(3)由(2)知w=−10x2+1400x−33000=−10(x−70)2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60
【解析】(1)根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本=原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
(2)根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
(3)根据(2)中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，连接OD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD=∠BCD，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OD//CE，
∴∠CEF=∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠A=BDAD=12，则AD=2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2r=6，
∴BD2+AD2=AB2，即BD2+(2BD)2=62，
解得BD=655，
由(1)知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF=∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF=90°，
∴tan∠BDF=BEDE=12，则DE=2BE，
在Rt△BDE中，BD=655，
由勾股定理可得，BE2+DE2=BD2，即BE2+(2BE)2=(655)2，
解得BE=65，则DE=125，
由(1)知BE//OD，
∴EFDF=BEOD，即EF125+EF=653，解得EF=85．
【解析】(1)连接OD，则∠ODC=∠OCD，CD平分∠OCB，则∠OCD=∠BCD=∠ODC，所以OD//CE，又CE⊥DF，则OD⊥DF，所以DF是⊙O的切线；
(2)在Rt△ABD中，tan∠A=BDAD=12，则AD=2BD，由勾股定理可得，BD2+AD2=AB2，即BD2+(2BD)2=62，解得BD=655，在Rt△BDE中，BD=655，由勾股定理可得，BE2+DE2=BD2，即BE2+(2BE)2=(655)2，解得BE=65，则DE=125，由(1)知BE//OD，EFDF=BEOD，即EF125+EF=653，解得EF=85．
本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键．
25.【答案】(1)问题发现：
证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△BAP≌△CAQ(SAS)，
∴BP=CQ；
(2)变式探究：
解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ；理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)，
∵在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ═12(180°−∠APQ)，
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴BAAC=PAAQ，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC=∠ACQ；
(3)解决问题：
解：连接AB、AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴ABAC=2，∠BAC=45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴APAQ=2，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵ABAC=APAQ=2，
∴△ABP∽△ACQ，
∴ACAB=CQBP=12，
∵CQ=22，
∴BP=2CQ=4，
设PC=x，则BC=AC=4+x，
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，
即62=(4+x)2+x2，
解得：x=−2±14，
∵x>0，
∴x=−2+14，
∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+14=2+14．
【解析】(1)问题发现易证AB=AC，AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论；
(2)变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC=12(180°−∠ABC)，∠PAQ═12(180°−∠APQ)，由∠APQ=∠ABC，得出∠BAC=∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出BAAC=PAAQ，易证∠BAP=∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC=∠ACQ；
(3)解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出ABAC=2，∠BAC=45°，APAQ=2，∠PAQ=45°，易证∠BAP=∠CAQ，由ABAC=APAQ=2，得出△ABP∽△ACQ，则ACAB=CQBP=12，求出BP=2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，代入求出x=−2+14，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由抛物线过点A(−1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x−4)，
将点C(0,2)代入，得：−4a=2，
解得：a=−12，
则抛物线解析式为y=−12(x+1)(x−4)=−12x2+32x+2；
(2)由题意知点D坐标为(0,−2)，
设直线BD解析式为y=kx+b，
将B(4,0)、D(0,−2)代入，得：4k+b=0b=−2，
解得：k=12b=−2，
∴直线BD解析式为y=12x−2，
当点P在线段AB上时，
∵QM⊥x轴，P(m,0)，
∴Q(m,−12m2+32m+2)、M(m,12m−2)，
则QM=−12m2+32m+2−(12m−2)=−12m2+m+4，
∵F(0,12)、D(0,−2)，
∴DF=52，
∵QM//DF，
∴当−12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=−1或m=3，
即m=−1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
当点P在射线BA上或射线AB上时，
QM=|−12m2+32m+2−(12m−2)|=|−12m2+m+4|，
由题意知QM=DF=52，即|−12m2+m+4|=52，
解得m=−1(舍)或m=3(舍)或m=1±14；
综上，当m=−1或m=3或m=1±14时，四边形DMQF是平行四边形．
(3)如图所示：
∵QM//DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则DOOB=MBBQ=24=12，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴BMBQ=BPPQ，即12=4−m−12m2+32m+2，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为(3,2)；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=−1，点Q的坐标为(−1,0)；
综上，点Q的坐标为(3,2)或(−1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
【解析】(1)待定系数法求解可得；
(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=12x−2，则Q(m,−12m2+32m+2)、M(m,12m−2)，由QM//DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；
(3)易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得DOOB=MBBQ=12，再证△MBQ∽△BPQ得BMBQ=BPPQ，即12=4−m−12m2+32m+2，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
2022年四川省广元市利州区中考数学一模试卷
副标题
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 接种疫苗是防控新冠疫情最有效的手段，据国家卫健委统计，光明网公布：截至2022年3月1日，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约313559.8万剂次．其中数313559.8万用科学记数法可表示为( )
A. 3.135598×105 B. 0.3135598×106
C. 3.135598×109 D. 31.35598×109
3. 下列计算正确的是( )
A. 4a+a=4a2 B. (ab)2=ab2
C. (a−1)2=a2−1 D. (−a)3=−a3
4. 如图，AB//EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=( )
A. 140°
B. 130°
C. 120°
D. 110°
5. 某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
6. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，P是AMB上一点，则∠APB的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
7. 若x为实数，在“(3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A. 3+1 B. 3−1 C. 23 D. 1−3
8. 下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组x+2>a(2a−1)x−6<0的解集的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=−4；
②若点C(−4,y1)，D(π−1,y2)在该抛物线上，则y1
④3b>−2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是( )
A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知a为整数，且满足11
13. 若关于x的分式方程mx−2=1−x2−x−3有增根，则实数m的值是______．
14. 定义新运算“*”，规则：a*b=a(a≥b)b(a
16. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：4cos30°−|3−2|+(5−12)0−27+(−13)−2．
四、解答题（本大题共9小题，共90.0分）
18. 先化简(1−3x+2)÷x2−2x+1x2−4，然后从不等式2x−6<0的非负整数解中选取一个合适的解代入求值．
19. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
(1)求证：AB=AF；
(2)若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
20. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动.学生根据自己的喜好选择一门艺术项目(A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸)，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图(如图所示)．
(1)张老师调查的学生人数是______ ．
(2)若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
(3)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
21. 为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME=7.5米，学生身高BD=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于M，N两点(点M在点N左侧)，已知M点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出−13x≤kx的解集；
(3)将直线l1：y=−13沿y轴向上平移后得到直线l1，l2与反比例函数y=kx的图象在第二象限内交于点A，如果△AMN的面积为18，求直线l2的函数表达式．
23. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润．
24. 如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若tan∠A=12，⊙O的半径为3，求EF的长．
25. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ.求证：BP=CQ；
(2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为6，CQ=22，求正方形ADBC的边长．
26. 如图，已知抛物线经过点A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)已知点F(0,12)，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的定义即可作出判断．
本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后可以和原图形重合．
2.【答案】C
【解析】解：313559.8万=3135598000=3.135598×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.4a+a=5a，故本选项错误，不合题意；
B.(ab)2=a2b2，故本选项错误，不合题意；
C.(a−1)2=a2−2a+1，故本选项错误，不合题意；
D.(−a)3=−a3，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
依据幂的乘方法则、合并同类项法则、积的乘方法则以及完全平方公式进行计算，即可得出结论．
本题主要考查了幂的乘方法则、合并同类项法则、积的乘方法则以及完全平方公式，解题时注意合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行线的性质，平行公理，作出正确辅助线是解题关键．直接利用平行线的性质得出∠B=∠BCG，∠GCD=90°，进而得出答案．
【解答】
解：过点C作CG//AB，
由题意可得：AB//EF//CG，
∴∠B=∠BCG，∠GCD=90°，
则∠BCD=40°+90°=130°．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30°的直角三角形三边的关系和折叠的性质．
作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=12OA，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
【解答】
解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD=12OC=12OA，
∴∠OAD=30°，
又OA=OB，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=12∠AOB=60°．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：A、(3+1)÷(3+1)=1，此选项结果是有理数；
B、(3+1)×(3−1)=2，此选项结果是有理数；
C、无论加减还是乘除，都不可能是有理数，此选项不能是有理数；
D、(3+1)×(1−3)=−2，此选项结果是有理数．
故选：C．
□为+，−，×，÷的一种，可逐一排除法来求解．
本题考查的是有理化的问题，解题的关键是进行正确运算．
8.【答案】B
【解析】解：由x+2>a得x>a−2，
A.由数轴知x>−3，则a=−1，∴−3x−6<0，解得x>−2，与数轴不符；
B.由数轴知x>0，则a=2，∴3x−6<0，解得x<2，与数轴相符合；
C.由数轴知x>2，则a=4，∴7x−6<0，解得x<67，与数轴不符；
D.由数轴知x>−2，则a=0，∴−x−6<0，解得x>−6，与数轴不符；
故选：B．
由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．
9.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，
∴AB=4，∠A=45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=BD=2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE=PF，PE=CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP=x，
则AE=PE=x⋅sin45°=22x，
∴CE=AC−AE=22−22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0
=22x(22−22x)
=−12x2+2x
=−12(x−2)2+2，
∴当0
即2≤x<4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE=PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD=2，PD=x−2，
∴CP=4−x，
y=12(4−x)2=12(x−4)2．
∴当2≤x<4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D.可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=−4．
∴①的结论正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)，B(−4,0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2−42=−1．
根据抛物线的对称性可知：当x=−4时与当x=2时的函数值相同，
∴当x=2时，y=y1..
∵a<0，
∴抛物线的开口方向向下，当x>−1时，y随x的增大而减小．
∵2<π−1，
∴y1>y2．
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，a<0，
∴当x=−1时，函数由最大值为a−b+c．
∴对于任意实数t，总有y=at2+bt+c≤a−b+c．
∴at2+bt≤a−b．
∴③的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1．
∴b=2a．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)，B(−4,0)两点，a<0，
∴由抛物线可知：当x=1时，y=a+b+c>0．
∴12b+b+c>0．
∴3b+2c>0．
∴3b>−2c．
∴④的结论正确；
将抛物线y=ax2+bx+c向下平移p个单位，则得到抛物线y=ax2+bx+c−p的图象，
此时对于的一元二次方程为ax2+bx+c−p=0，即方程ax2+bx+c=p．
若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则方程的根只能是：
x1=1，x2=−3或x1=0，x2=−2或x1=x2=−1，因此对于的p值应该为3个，
∴⑤的结论不正确；
综上，正确的结论是：①③④，
故选：D．
利用待定系数法，二次函数的性质，数形结合法，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线的对称性，二次函数的极值以及抛物线平移的规律对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，数形结合法，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线的对称性，二次函数的极值以及抛物线平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵11<16<17，
∴11<4<17．
故答案为：4．
应用估算无理数的大小的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵a−b=3，ab=−1，
∴原式=(a2+b2)−ab
=(a−b)2+ab
=32−1
=9−1
=8．
故答案为：8．
原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：去分母，得：m=x−1−3(x−2)，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】−1+52
【解析】解：x2+x−1=0，
∵a=1，b=1，c=−1，
∴Δ=1−4×(−1)=5>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=−1±52，
∴x1=−1+52，x2=−1−52，
∵−1+52>−1−52，
根据题意，得x1*x2=−1+52，
故答案为：−1+52．
先用公式法解一元二次方程x2+x−1=0，再根据新运算“*”求解即可．
本题考查了一元二次方程与新定义的综合，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15.【答案】922
【解析】解：如图，在AD上取点G，使得AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG=12∠DGE，
再由尺规作图的作法可知，AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF，
∴∠DAF=∠DGE，
∵AD=AF，∠DAE=∠EAF，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴∠AFE=∠ADE=90°，DE=EF，
∴∠DAF=∠FEC，
∴∠DGE=∠FEC，
∵tan∠EFC=43，
∴tan∠GED=43，
设DE=3x，GD=4x，则GE=GD2+DE2=5x，
∴AD=AG+DG=9x，
∴AE=AD2+ED2=310x=55，
解得：x=526，
∴DE=FE=522，
∴EC=45EF=22，
∴AB=CD=CE+DE=22+522=922．
故答案为：922．
在AD上取点G，使得AG=GE，可证得∠DAF=∠DGE，再证明△ADE≌△AFE(SAS)，得∠DGE=∠FEC，即tan∠GED=43，再设DE=3x，GD=4x，算出AE=AD2+ED2=310x=55，解得x即可求得AB．
本题主要考查了矩形的性质、尺规作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，解决此题的关键是熟悉角平分线尺规作图的作法以及在AD上取点G构造∠DGE=∠FEC．
16.【答案】45
【解析】解：如图，过点D作DH//MN，交AB于H，过点E作EG//MN，过点M作MG//NE，两直线交于点G，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠B=∠BAD=90°，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，
∴AE=AB2+BE2=4+36=210，
∵DH//MN，AB//CD，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴DH=MN，
∵MN⊥AE，DH//MN，EG//MN，
∴DH⊥AE，AE⊥EG，
∴∠BAE+∠AHD=90°=∠AHD+∠ADH，∠AEG=90°，
∴∠BAE=∠ADH，
在△ABE和△DAH中，
∠BAE=∠ADHAB=AD∠B=∠BAD，
∴△ABE≌△DAH(ASA)，
∴DH=AE=210，
∴MN=DH=AE=210，
∵EG//MN，MG//NE，
∴四边形NEGM是平行四边形，
∴NE=MG，MN=EG=AE=210，
∴AM+NE=AM+MG，
则当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，
∴AG=EG2+AE2=40+40=45，
故答案为45．
由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证△ABE≌△DAH，可得DH=AE=210，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得NE=MG，MN=EG=AE=210，由AM+NE=AM+MG，则当点A，点M，点G三点共线时，即AM+NE的最小值为AG，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
17.【答案】解：4cos30°−|3−2|+(5−12)0−27+(−13)−2
=4×32−(2−3)+1−33+1(−13)2
=23−2+3+1−33+9
=8．
【解析】按照实数的运算法则依次计算：cos30°=32，|3−2|=2−3，(5−12)0=1，27=33，(−13)−2=9．
本题重点考查了实数的基本运算能力．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．
18.【答案】解：原式=x+2−3x+2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2=x−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2=x−2x−1，
由不等式2x−6<0，得到x<3，
∴不等式2x−6<0的非负整数解为x=0，1，2，
则x=0时，原式=2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
(2)解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【解析】(1)只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
(2)结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)50名
(2)条形统计图中D的人数为：50−10−6−14−8=12(名)，
∴1000×1250=240(名)，
即估计有240名学生选修泥塑；
(3)把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为212=16．
【解析】解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，
故答案为：50名；
(1)由A的人数除以所占百分比即可；
(2)求出条形统计图中D的人数，再由该校共有学生人数乘以选修泥塑的学生所占比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：由题意得：
BD=AC=EF=1.5米，CD=AB，
∵ME=7.5米，
∴MF=ME−EF=6(米)，
在Rt△MCF中，∠MCF=60°，
∴MC=MFsin60∘=632=43(米)，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠CMD=∠MCF−∠MDC=60°−30°=30°，
∴∠DMC=∠MDC=30°，
∴MC=CD=43米，
∴AB=CD=43米，
∴体温监测有效识别区域AB的长为43米．
【解析】根据题意可得BD=AC=EF=1.5米，CD=AB，从而可得MF=6米，然后在Rt△MCF中，利用锐角三角函数的定义求出MC的长，再证明△MCD是等腰三角形，从而可得MC=CD，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−13x经过点M，M点的纵坐标是2，
∴当y=2时，x=−6，
∴M(−6,2)，
∴k=−6×2=−12，
∴反比例函数的表达式为y=−12x；
(2)∵直线l1：y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于M，N两点，M(−6,2)，
∴N(6,−2)，
∴不等式−13x≤kx的解集为−6≤x<0或x≥6；
(3)如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接MD，ND，
∵AD//MN，
∴△AMN的面积与△DMN的面积相等，
∵△AMN的面积为18，
∴S△MOD+S△NOD=18，即12OD(|yM|+|yN|)=18，
∴12×OD×4=18，
∴OD=9，
∴D(9,0)，
设平移后的直线l2的函数表达式为y=−13x+b，
把D(9,0)代入，可得0=−13×9+b，
解得b=3，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y=−13x+3．
【解析】(1)直线l1经过点M，且M点的纵坐标是2，可得M(−6,2)，代入反比例函数解析式可得k的值；
(2)依据直线l1：y=−13x与反比例函数y=kx的图象交于M，N两点，即可得到不等式−13x≤kx的解集为−6≤x<0或x≥6；
(3)设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接MD，ND，依据AD//MN，即可得出△AMN的面积与△DMN的面积相等，求得D(9,0)，即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△AMN的面积与△DMN的面积相等，得到D点的坐标为(9,0)．
23.【答案】解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得900m−9001.5m=100，
解得m=3，
∴1.5m=4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30(元)，
答：每盒产品的成本为30元；
(2)根据题意，得w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000，
∴w关于x的函数解析式为：w=−10x2+1400x−33000；
(3)由(2)知w=−10x2+1400x−33000=−10(x−70)2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60
【解析】(1)根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本=原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
(2)根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
(3)根据(2)中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，连接OD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD=∠BCD，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OD//CE，
∴∠CEF=∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠A=BDAD=12，则AD=2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2r=6，
∴BD2+AD2=AB2，即BD2+(2BD)2=62，
解得BD=655，
由(1)知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF=∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF=90°，
∴tan∠BDF=BEDE=12，则DE=2BE，
在Rt△BDE中，BD=655，
由勾股定理可得，BE2+DE2=BD2，即BE2+(2BE)2=(655)2，
解得BE=65，则DE=125，
由(1)知BE//OD，
∴EFDF=BEOD，即EF125+EF=653，解得EF=85．
【解析】(1)连接OD，则∠ODC=∠OCD，CD平分∠OCB，则∠OCD=∠BCD=∠ODC，所以OD//CE，又CE⊥DF，则OD⊥DF，所以DF是⊙O的切线；
(2)在Rt△ABD中，tan∠A=BDAD=12，则AD=2BD，由勾股定理可得，BD2+AD2=AB2，即BD2+(2BD)2=62，解得BD=655，在Rt△BDE中，BD=655，由勾股定理可得，BE2+DE2=BD2，即BE2+(2BE)2=(655)2，解得BE=65，则DE=125，由(1)知BE//OD，EFDF=BEOD，即EF125+EF=653，解得EF=85．
本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键．
25.【答案】(1)问题发现：
证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△BAP≌△CAQ(SAS)，
∴BP=CQ；
(2)变式探究：
解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ；理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)，
∵在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ═12(180°−∠APQ)，
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴BAAC=PAAQ，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC=∠ACQ；
(3)解决问题：
解：连接AB、AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴ABAC=2，∠BAC=45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴APAQ=2，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵ABAC=APAQ=2，
∴△ABP∽△ACQ，
∴ACAB=CQBP=12，
∵CQ=22，
∴BP=2CQ=4，
设PC=x，则BC=AC=4+x，
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，
即62=(4+x)2+x2，
解得：x=−2±14，
∵x>0，
∴x=−2+14，
∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+14=2+14．
【解析】(1)问题发现易证AB=AC，AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论；
(2)变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC=12(180°−∠ABC)，∠PAQ═12(180°−∠APQ)，由∠APQ=∠ABC，得出∠BAC=∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出BAAC=PAAQ，易证∠BAP=∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC=∠ACQ；
(3)解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出ABAC=2，∠BAC=45°，APAQ=2，∠PAQ=45°，易证∠BAP=∠CAQ，由ABAC=APAQ=2，得出△ABP∽△ACQ，则ACAB=CQBP=12，求出BP=2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，代入求出x=−2+14，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由抛物线过点A(−1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x−4)，
将点C(0,2)代入，得：−4a=2，
解得：a=−12，
则抛物线解析式为y=−12(x+1)(x−4)=−12x2+32x+2；
(2)由题意知点D坐标为(0,−2)，
设直线BD解析式为y=kx+b，
将B(4,0)、D(0,−2)代入，得：4k+b=0b=−2，
解得：k=12b=−2，
∴直线BD解析式为y=12x−2，
当点P在线段AB上时，
∵QM⊥x轴，P(m,0)，
∴Q(m,−12m2+32m+2)、M(m,12m−2)，
则QM=−12m2+32m+2−(12m−2)=−12m2+m+4，
∵F(0,12)、D(0,−2)，
∴DF=52，
∵QM//DF，
∴当−12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=−1或m=3，
即m=−1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
当点P在射线BA上或射线AB上时，
QM=|−12m2+32m+2−(12m−2)|=|−12m2+m+4|，
由题意知QM=DF=52，即|−12m2+m+4|=52，
解得m=−1(舍)或m=3(舍)或m=1±14；
综上，当m=−1或m=3或m=1±14时，四边形DMQF是平行四边形．
(3)如图所示：
∵QM//DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则DOOB=MBBQ=24=12，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴BMBQ=BPPQ，即12=4−m−12m2+32m+2，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为(3,2)；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=−1，点Q的坐标为(−1,0)；
综上，点Q的坐标为(3,2)或(−1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
【解析】(1)待定系数法求解可得；
(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=12x−2，则Q(m,−12m2+32m+2)、M(m,12m−2)，由QM//DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；
(3)易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得DOOB=MBBQ=12，再证△MBQ∽△BPQ得BMBQ=BPPQ，即12=4−m−12m2+32m+2，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
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