2022年四川省广元市剑阁县中考数学一诊试卷（含解析）

2022年四川省广元市剑阁县中考数学一诊试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 图中几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 年月，北京冬奥会的成功举办，我国已实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标．数据显示，全国居民参与过冰雪运动的人数为亿人，冰雪运动参与率数据“亿”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在菱形中，，连接，，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

7. 我国明代数学家程大位所著算法统宗中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有人，小和尚有人．则下列方程或方程组中，正确的有
   ；
   ；
   ；
   ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，已知点、，轴于点，点为线段上一点，且则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形是的内接四边形，，，的半径为，连接交于点，则图中阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为，下列四个命题：当时，；若，则；抛物线上有两点和，若，且，则；点关于抛物线对称轴的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为，其中正确的有个．

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 若，则的平方根是______．
13. 如果关于的分式方程无解，则实数______．
14. 如图，，是双曲线上的两个点．过点作轴，交于点垂足为点若的面积为，为的中点，则的值为______．

15. 如图，已知，点到射线的距离为，点是射线上的一个动点，当为等腰三角形时，线段的长度为______．
16. 如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连接、则下列结论：
    ≌；；；；其中正确的是______ 填序号．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共88分）

18. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，中，，，是上一点，且，于，于，交于．
    求证：≌；
    若，，求线段的长．
     

20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
    根据图中信息，解答下列问题：
    此次调查共随机采访了______名学生，在扇形统计图中“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度，补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
    若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
    李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

21. 桌游“剧本杀”已经成为了年轻人的新的娱乐方式，小帅计划开设一家剧本杀门店，计划建造，两类桌游房间共个．两类桌游房的占地面积，容纳玩家数以及造价如下表：

已知门店可供使用面积最多不超过平方米，且要求该门店至少可同时容纳名玩家游戏．
若要满足门店要求，则需建造，两类房间各几个？写出所有建造方案．
具体计算判断哪种建造方案最省钱？






 

22. 春节期间，开州厚坝“月亮湾”美景刷爆开州人的朋友圈．大家争相去打卡．一盏形如弯月的射灯悬挂在如图的处．小北在处测得的仰角为，然后乘坐扶梯到达平台处，已知坡度：，且米，米，于点在同一平面内，．
    求平台上点到山体底部地面的距离；
    求到山体平台的距离的长．精确到米，参考数据：，，

23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点．
    求反比例函数解析式；
    点为第三象限内反比例函数图象上一点，过点作轴，交线段于点，是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，线段，点为上一点，以点为圆心，分别以、为半径在的上方作圆心角为的扇形、扇形．
    求证：≌；
    已知，若是扇形所在圆的切线．
    求的长；
    直接判断和扇形所在圆的位置关系．
    
    
    
    
    
    
     
25. 【问题探究】
    如图，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，求证：．
    【拓展延伸】
    如图，中，，，为上一点，连结，作，，连结若，请直接写出四边形的面积．
    如图，四边形中，，，，，，请直接写出长．

26. 如图所示，抛物线经过、两点，并与轴交于另一点．
    求该抛物线所对应的函数关系式；
    如图所示，设是所得抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
    若点在第一象限内．试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由；
    求以为底边的等腰的面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
此题考查了倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层右边是一个五边形．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
本题考查的是简单组合体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
 

3.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：数据、、、、的平均数是，
，
解得，
所以这组数据为、、、、，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
先根据算术平均数的定义列方程求出的值，再将这组数据从小到大重新排列，利用中位数的定义可得答案．
本题主要考查中位数和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的定义．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、幂的乘方、二次根式的性质以及二次根式的加法运算即可求出答案．
本题考查完全平方公式、幂的乘方、二次根式的性质以及二次根式的加法运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，设，交于，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
故选：．
如图，设，交于，根据菱形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理即可得到结论．
此题考查了菱形的性质，掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直且平分是解题的关键，
 

7.【答案】
 

【解析】解：设大和尚有人，小和尚有人，
依题意，得：；
，
或．
正确．
故选：．
设大和尚有人，小和尚有人，根据个和尚分个馒头且大和尚人分个馒头、小和尚人分一个馒头，即可得出关于，的二元一次方程组，变形后可得出或，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图所示：
，
．
轴，
．
又轴，轴，
．
∽．
．
点、，
，，，
，
解得．
．
故选：．
首先证明，进而得出∽，根据，求出的长即可得出点坐标．
本题考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】
 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，的半径为，即，，
，


，
故选：．
根据圆内接四边形的性质和已知条件可求出，，进而求出，，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系求出，再由图形中面积之间的关系得出答案．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理以及扇形面积的计算方法，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提，求出和是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：当时，，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，当，即，而点与点为对称点，则，，所以错误；
因为，所以点和在对称轴两侧，而，则点比点离对称轴的距离要大，所以，所以正确；
当时，，则，，
点关于抛物线对称轴的对称点为，
，
，
作点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，则，，
，，
，
此时四边形周长的最小，
而，
四边形周长的最小值为，所以错误．
故选：．
观察函数图象，利用抛物线在轴上所对应的自变量的取值范围可对进行判断；抛物线的对称轴为直线，则利用对称性可对进行判断；确定点比点离对称轴的距离要大，则根据二次函数的性质可对进行判断；当时，先确定，，，利用勾股定理计算出，作点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到，，根据对称的性质得，，于是，根据两点之间线段最短可判断此时四边形周长的最小，然后利用勾股定理计算出，于是可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决方法．
 

11.【答案】
 

【解析】解：


．
故答案为：．
直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意可得，
，，
即，；
，
的平方根是．
故答案为：．
根据非负数的性质可计算出，的值，代入中计算即可得出答案．
本题主要考查了平方根，非负数的性质，熟练掌握平方根，非负数的性质进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：，
，
，
方程无解，
或，
或，
故答案为：或．
先解分式方程可得，由题意可得或，求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于，
轴，
，
，
∽，
，
又是的中点，的面积为，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出三角形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
 

15.【答案】或或
 

【解析】解：过作于，则，
，
当为等腰三角形时，分三种情况：
当时，如图所示：

，
，
；
时，如图所示：

；
时，如图所示：

设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长度为或或，
故答案为：或或．
过作于，则，由勾股定理得，当为等腰三角形时，分三种情况：当时，时，时，分别由等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
将沿对折至，
，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
设，则，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
，故正确；
，
，
是的外角，
，
，
，故正确；
，
，
，故正确；
≌，≌，
，，
，
，故正确．
故答案为：．
根据可证≌，故正确；在中，设，则，，，利用勾股定理列方程即可判断正确；根据是的外角，得，则，故正确；计算出和，故正确；根据，故可得正确．
本题主要考查了正方形的性质、翻折的性质、以及三角形全等的判定与性质，平行线的判定等知识，综合性比较强，是中考常考题．
 

17.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：原式

，
当，时，
原式．
 

【解析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
，
又，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：在中，，，
，
≌，
，
，
，
在中，，，
．
 

【解析】根据即可得到两三角形全等；
利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到等于的一半，由第一问的结论可知等于都等于，由全等得到等于，利用减即可求出，所以等于的一半即可求出．
此题考查全等三角形全等的判定与性质，灵活运用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：此次调查一共随机采访学生：名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

故答案为：，；

根据题意得：
人，
答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数有人；

列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为．
根据黄色的人数和所占的百分比去，求出调查的总人数，用乘以“灰”所占的百分比，求出扇形统计图中“灰”所在扇形的圆心角的度数，再求出绿色的人数，从而补全统计图；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设建造类桌游房间间，则建造类桌游房间间，
门店可供使用面积最多不超过平方米，且要求该门店至少可同时容纳名玩家游戏，
，
解得，
为整数，
，，，
有三种方案，
方案一：建造类桌游房间间，建造类桌游房间间；
方案二：建造类桌游房间间，建造类桌游房间间；
方案三：建造类桌游房间间，建造类桌游房间间；
方案一的建造费用为：万元；
方案二的建造费用为：万元；
方案三的建造费用为：万元；
，
方案三最省钱，
答：方案三：建造类桌游房间间，建造类桌游房间间最省钱．
 

【解析】根据门店可供使用面积最多不超过平方米，且要求该门店至少可同时容纳名玩家游戏，可以列出相应的不等式组，然后即可得到类房间数量的取值范围，然后根据房间数为整数，即可写出相应的建造方案；
根据中的结果可以分别计算出三种方案的建造费用，然后比较大小即可．
本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，利用不等式的性质解答．
 

22.【答案】解：过点作于点，延长交于，

斜坡的坡度或坡比：，米，
设米，米，则，
，
解得，
米，米，
平台上点到山体底部地面的距离为米；
四边形是矩形，
米，米，
米．
在中，
，
米，
米．
答：到山体平台的距离的长约为米．
 

【解析】过点作于点，延长交于，根据坡比即可解决问题；
根据锐角三角函数列式计算即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：将点代入得，，
，
，
将代入得，，
；
存在点使得四边形为平行四边形，如图，点在点下方的双曲线上，

四边形为平行四边形，
，
设，
轴，
，
，
解得正数舍去，

 

【解析】将点代入得，点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式即可；
由四边形为平行四边形，得，设，可得点的坐标，从而得出的长度，即可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质等知识，用的代数式表示的长度是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可知，，，，
，即，
在和中，
，
≌．
由题意得，，，
是扇形所在圆的切线，
，
中，，，
，
，
且，
，
，
．
和扇形所在圆相切．
在和中，
，
≌，
，
≌，
，
和扇形所在圆相切．
 

【解析】根据圆的性质可得线段的等量关系，再根据等角减去同一个角度数相等的性质可得一组角度相等，即可求证全等；
先根据相切即可得到直角，再根据等量关系推导线段，符合角的直角三角形的性质，推出，紧接着计算出圆心角，利用公式即可求解；
利用全等先证明是直角，再借助的全等得出即可求证．
本题主要考查圆的相关性质，直线与圆的位置关系，利用线段的等量关系得到角是解题的关键．
 

25.【答案】【问题探究】证明：，，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
．
【拓展延伸】解：，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
解：如图中，作，使得，连接，．

，，，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】【问题探究】首先由等腰三角形的性质得出，根据等式的性质证明，则根据即可证明≌，根据全等三角形的性质即可证明；
【拓展延伸】证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的面积公式可得出答案；
如图中，作，使得，连接，证明≌，推出，利用勾股定理求出即可．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】解：如图，，，且点、在抛物线上，于是得
，
解得，，
所求函数关系式为；
如图中，

点在抛物线上，
且轴，
设点的坐标为，
同理可设点的坐标为，
又点在第一象限，
，
，
，
，
当时，线段的长度的最大值为．
解：如图中，

由题意知，点在线段的垂直平分线上，
又由知，，
的中垂线同时也是的平分线，
设点的坐标为，
又点在抛物线上，于是有，
，
解得，，
点的坐标为：或，
若点的坐标为，此时点在第一象限，
在和中，，，
，
--，
，
若点的坐标为，此时点在第三象限，
则．
综上所述：的面积为或．
 

【解析】将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式．
设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．