2022年中考数学复习训练题（含解析）----方程与不等式

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----方程与不等式，共36页。
2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•太原期中）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期日标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（　　）
A．x≥1.3 B．x＞1.3 C．x≤1.3 D．x＜1.3
2．（2022•上城区一模）斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　）
A．1.1倍 B．1.4倍 C．1.5倍 D．1.6倍
3．（2022春•北仑区期中）用配方法解方程x2+4x﹣4＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x+2）2＝0 C．（x+2）2＝8 D．（x+4）2＝20
4．（2022春•北仑区期中）下列方程中，二元一次方程是（　　）
A． B．x+xy＝8 C． D．x2+y﹣3＝0
5．（2022春•雨花区校级期中）若x|k|+ky＝5+y是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
6．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022•东坡区模拟）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，则k＝（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
8．（2022春•包河区期中）七（3）班组织数学文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，不答得1分，答错扣2分．在前10道题中，孙华同学答对8题，1题放弃不答，1题答错，若后面10题都作答，孙华同学的得分不低于79分，那么他至少要再答对（　　）
A．6题 B．7题 C．8题 D．9题
9．（2022春•南岸区校级期中）如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
10．（2022•渝中区校级模拟）对于二次三项式x2+mxy﹣2x（m为常数），下列结论正确的个数有（　　）
①当m＝﹣1时，若x2+mxy﹣2x＝0，则x﹣y＝2
②无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，则（x+my）2＝25
③若x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，则x+y＝1+
④满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解（x，y）共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•杨浦区校级期中）已知方程＝3，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 　 　．
12．（2022春•雨花区校级期中）已知关于x、y的方程组的解是，则a+b＝　 　．
13．（2022春•北仑区期中）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 　 　．
14．（2022春•长沙期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒x斗，行酒y斗，可列方程组为 　 　．
15．（2022春•静安区期中）已知方程+＝2，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 　 　．
16．（2022春•朝阳区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程2mx+y＝3的一个解，那么m的值为 　 　．
17．（2022春•杨浦区校级期中）不等式3x﹣5≤3+x的正整数解是 　 　．
18．（2022春•常德期中）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是 　 　．
19．（2022春•南岸区校级期中）某大型超市从生产基地购进1000千克水果，每千克5元，运输过程中质量损失了10%．不计超市其他费用，如果超市至少要获得400元的利润，那么这种水果的售价最低应在进价的基础上提高 　 　%．
20．（2022•渝中区校级自主招生）“无体育，不巴蜀”，在即将开始的中考体育测试中，初三学生正在全力以赴做最后的冲刺训练．若年级所有班级中人数最少的有61人，最多的有77人，在一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小莹抱怨道：“我们女生就是15分的小佳拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多1分．”小峰反驳说：“我们男生要是不算得了9分的小友，平均分也会再多1分．”班长小伟听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小佳和小友的体育成绩都能提高到 　 　分，那么男生和女生的平均分就一样了．”
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•朝阳区校级期中）解下列方程组．
22．（2022•花都区一模）解不等式组：．
23．（2022•西青区一模）解不等式组；
请结合题意填空．完成本题的解答，
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．

24．（2022•长清区一模）企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．求最多购买多少瓶洗手液？
25．（2022春•南岸区校级期中）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．
例：k为何值时，多项式x3+3x2﹣23x+k有一个因式是x+1？
解：设它的另一个因式为x2+ax+b（a，b为常数），
则x3+3x2﹣23x+k＝（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b．
比较两边的系数，得，解得k＝﹣25．
（1）已知多项式2x2﹣7x+m有一个因式是x﹣5，求m的值；
（2）已知，其中A，B为常数，求A﹣B的值．
26．（2022•越秀区一模）2022年2月6日晚，中国女足在第20届亚洲杯决赛中以3：2逆转夺冠！全国各地掀起了一股学女足精神的热潮．某学校准备购买一批足球，第一次用3000元购进A类足球若干个，第二次又用3000元购进B类足球，购进数量比第一次多了20个，已知A类足球的单价是B类足球单价的1.5倍．
（1）求B类足球的单价是多少元；
（2）若学校需采购A，B两类足球共200个，总费用不超过12000元，则A类足球最多购买多少个？
27．（2022•河北区一模）某校计划从甲、乙两家体育用品店中选择一家购买一批乒乓球拍以丰富学生的校园生活．已知甲、乙两家体育用品店的每副乒乓球拍标价均为30元，现两家分别推出以下优惠方案：甲体育用品店：购买10副以上，从第11副开始按标价的七折出售：乙体育用品店：从第1副起就按标价的八五折出售．
设该校计划购买乒乓球拍的副数为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写表：
购买副数
5
10
15
30
…
在甲体育用品店购买的费用（元）
150
　 　
405
　 　
…
在乙体育用品店购买的费用（元）
127.5
　 　
382.5
　 　
…
（Ⅱ）若该校计划用1581元购买乒乓球拍，则该校选择在哪一家体育用品店购买的兵乓球拍比较多？
（Ⅲ）当x＞12时，该校在哪家体育用品店购买更合算？并说明理由．
28．（2022春•南岸区校级期中）新冠肺炎疫情发生后，口罩市场出现热销，运输公司接到任务，要把一批口罩运到A市．公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱口罩，且甲种货车装运500箱口罩所用车辆与乙种货车装运400箱口罩所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱口罩？
（2）如果这批口罩有1520箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的口罩不超过40箱，其它装满，求甲种货车最少有多少辆？
29．（2022•历下区二模）在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共21桶，且总费用不超过540元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
30．（2022•许昌一模）某日，甲乙两人同去加油站加同种汽油，甲用300元加的油量比乙用375元加的油量少10升．
（1）求当天加油站的油价和甲乙两人的加油量．若设当天加油站的油价为a元/升，则可列方程 　 　；若设甲当天的加油量为b升，则可列方程 　 　；请选择一种你喜欢的设法，完整解答本小题．
（2）当天加油站在其汽油进价的基础上提高25%进行定价，若加油站的经营成本为y元（包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价），销售量为x升，y与x之间的函数关系式为：y＝0.04x+315，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？（总成本＝进价+经营成本）
（3）汽油价格受多种因素影响浮动较大，甲乙两人再次同去加同种汽油时，油价每升比上次上涨了0.5元，甲加油的总价与上次相同，乙加油的油量与上次相同，请通过计算两人两次所加汽油的平均单价，说明甲乙两人采用的加油方式哪种更合算？

2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•太原期中）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期日标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（　　）
A．x≥1.3 B．x＞1.3 C．x≤1.3 D．x＜1.3
【考点】不等式的定义．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识；应用意识．
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：根据题意得：
x＞1.3．
故选：B．
【点评】本题考查不等式．掌握不等式的定义是解题的关键．不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
2．（2022•上城区一模）斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　）
A．1.1倍 B．1.4倍 C．1.5倍 D．1.6倍
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】根据题意表示出行驶的路程≥24×（1﹣），进而得出答案．
【解答】解：设他的速度要提高到原来的x倍，根据题意可得：
9×1.2x≥24×（1﹣），
解得：x≥，
∵≈1.48，
∴他的速度至少要提高到原来的1.5倍．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
3．（2022春•北仑区期中）用配方法解方程x2+4x﹣4＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x+2）2＝0 C．（x+2）2＝8 D．（x+4）2＝20
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平分的形式即可．
【解答】解：x2+4x＝4，
x2+4x+4＝8，
（x+2）2＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（2022春•北仑区期中）下列方程中，二元一次方程是（　　）
A． B．x+xy＝8 C． D．x2+y﹣3＝0
【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；符号意识．
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、2x+y＝5是含有2个未知数，符合二元一次方程的定义，属于二元一次方程，故此选项符合题意；
B、xy+z＝4是含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、x+＝2是分式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、x2+y﹣3＝0是含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
5．（2022春•雨花区校级期中）若x|k|+ky＝5+y是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【考点】二元一次方程的定义；绝对值．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；符号意识；运算能力．
【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【解答】解：∵x|k|+ky＝5+y是关于x、y的二元一次方程，
∴|k|＝1，k﹣1≠0，
解得：k＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
6．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】高次方程；分数指数幂．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】先移项得出x4＝16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．
【解答】解：x4﹣16＝0，
x4＝16，
x＝＝±2，
即方程x4﹣16＝0的实数根的个数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了解高次方程，能求出x＝±是解此题的关键．
7．（2022•东坡区模拟）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，则k＝（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【考点】分式方程的增根．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】把分式方程化成整式方程得k+3＝x﹣2，由分式方程有增根得出x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2，即可求出k的值．
【解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，
解得：x＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
8．（2022春•包河区期中）七（3）班组织数学文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，不答得1分，答错扣2分．在前10道题中，孙华同学答对8题，1题放弃不答，1题答错，若后面10题都作答，孙华同学的得分不低于79分，那么他至少要再答对（　　）
A．6题 B．7题 C．8题 D．9题
【考点】一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：设后面10道题目，孙华答对了x道，则答错了（10﹣x）道，
由题意可得：8×5+1×1+1×（﹣2）+5x+（10﹣x）×（﹣2）≥79，
解得x≥8，
∵x为整数，
∴x的最小值为9，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
9．（2022春•南岸区校级期中）如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】解不等式组得出﹣1＜x≤a，由不等式组至少有3个整数解，得出a≥2，解分式方程得：y＝6﹣a，由y≥0且y≠2，得出a≤6且a≠4，进而得出2≤a≤6且a≠4，即可求出符合条件的所有整数a的和．
【解答】解：解不等式组得：﹣1＜x≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥2，
解分式方程得：y＝6﹣a，
∵y≥0且y≠2，
∴6﹣a≥0且6﹣a≠2，
解得：a≤6且a≠4，
∴2≤a≤6且a≠4，
∴符合条件的所有整数a为：2，3，5，6，
∴符合条件的所有整数a的和为：2+3+5+6＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程及解一元一次不等式，掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解决问题的关键．
10．（2022•渝中区校级模拟）对于二次三项式x2+mxy﹣2x（m为常数），下列结论正确的个数有（　　）
①当m＝﹣1时，若x2+mxy﹣2x＝0，则x﹣y＝2
②无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，则（x+my）2＝25
③若x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，则x+y＝1+
④满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解（x，y）共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】根与系数的关系；整式的加减；二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】①把m＝﹣1代入代数式计算即可；
②根据题意，解方程得x+my＝5，即可得到（x+my）2＝25；
③将两式相加得到一个关于（x+y）的一元二次方程，解方程即可求解；
④将不等式整理得到（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，再根据x，y为整数，即可将满足题意的所有整数解（x，y）列举出来．
【解答】解：∵x2+mxy﹣2x（m为常数）为二次三项式，
∴m≠0，
①当m＝﹣1时，x2﹣xy﹣2x＝0，
∴x（x﹣y﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣y＝2，故①错误；
②∵无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，
∴x2+mxy﹣5x＝0，
∴x+my﹣5＝0，
∴x+my＝5，
∴（x+my）2＝25，
故②正确；
③∵x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，
∴x2+xy﹣2x+y2+xy﹣2y＝14，
∴（x+y）2﹣2（x+y）﹣14＝0，
∴（x+y）＝1±，
故③错误；
④∵（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0，
∴x2+y2﹣2x﹣2y≤0，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，
∴0≤（x﹣1）2≤2，0≤（y﹣2）2≤2，
∵x，y为整数，
∴满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）共9个，
故④错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查根与系数关系、整式加减、二元一次方程组的解等知识，熟练掌握根与系数的关系及二元一次方程的解法时解答此题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•杨浦区校级期中）已知方程＝3，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 　y2﹣3y﹣2＝0　．
【考点】换元法解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】设＝y，则＝，原方程可变为y﹣＝3，再去分母化成整式方程即可．
【解答】解：设＝y，则＝，原方程可变为，
y﹣＝3，
即y2﹣3y﹣2＝0，
故答案为：y2﹣3y﹣2＝0．
【点评】本题考查换元法解分式方程，设＝y，得到＝将原方程可变为y﹣＝3再去分母是得出正确答案的前提．
12．（2022春•雨花区校级期中）已知关于x、y的方程组的解是，则a+b＝　5　．
【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有
【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】将方程组的解代入方程组得：，两式相加即可得出答案．
【解答】解：将方程组的解代入方程组得：，
两式相加得：5a+5b＝15，
∴a+b＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，考查整体思想，两式相加直接求出a+b的值是解题的关键．
13．（2022春•北仑区期中）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 　10%　．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，利用八月份的产量＝六月份的产量×（1﹣月平均减少率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，
依题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2022春•长沙期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒x斗，行酒y斗，可列方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据“现有30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设可以买醇酒x斗，行酒y斗，
依题意，得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2022春•静安区期中）已知方程+＝2，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 　3y2﹣2y+1＝0　．
【考点】换元法解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】设＝y，可得到＝，原方程可变为+3y＝2，再去分母即可．
【解答】解：设＝y，则＝，原方程可变为，
+3y＝2，
去分母得，
3y2﹣2y+1＝0，
故答案为：3y2﹣2y+1＝0．
【点评】本题考查换元法解分式方程，设＝y，可得到＝，原方程可变为+3y＝2，再去分母是解决问题的关键．
16．（2022春•朝阳区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程2mx+y＝3的一个解，那么m的值为 　3　．
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把方程的解代入方程，则得到关于m的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：∵是二元一次方程2mx+y＝3的一个解，
∴2m×1﹣3＝3，
解得：m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解答的关键是把方程的解代入得到关于m的方程．
17．（2022春•杨浦区校级期中）不等式3x﹣5≤3+x的正整数解是 　1、2、3、4　．
【考点】一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】移项、合并同类项、系数化成1求得不等式的解集，然后确定正整数解即可．
【解答】解：3x﹣5≤3+x，
移项，得3x﹣x≤3+5，
合并同类项，得2x≤8，
系数化为1得x≤4．
则不等式3x﹣5≤3+x的正整数解是1、2、3、4．
故答案为：1、2、3、4．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，移项过程中需要注意移项要变号，系数化成1的过程中注意不等号方向的变化．
18．（2022春•常德期中）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是 　k＜8且k≠2　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】根据题意及分式方程有意义得出不等式组，解不等式组即可得出答案．
【解答】解：去分母得：k﹣2＝3（x+2），
解得：x＝，
∵x＜0且x≠﹣2，
∴＜0且≠﹣2，
解得：k＜8且k≠2，
故答案为：k＜8且k≠2．
【点评】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，由题意及分式方程有意义得出不等式组是解决问题的关键．
19．（2022春•南岸区校级期中）某大型超市从生产基地购进1000千克水果，每千克5元，运输过程中质量损失了10%．不计超市其他费用，如果超市至少要获得400元的利润，那么这种水果的售价最低应在进价的基础上提高 　20　%．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：这种水果的售价在进价的基础上提高x%，
由题意可得：1000×（1﹣10%）×5（1+x%）﹣1000×5≥400，
解得x≥20，
∴这种水果的售价最低应在进价的基础上提高20%，
故答案为：20．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
20．（2022•渝中区校级自主招生）“无体育，不巴蜀”，在即将开始的中考体育测试中，初三学生正在全力以赴做最后的冲刺训练．若年级所有班级中人数最少的有61人，最多的有77人，在一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小莹抱怨道：“我们女生就是15分的小佳拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多1分．”小峰反驳说：“我们男生要是不算得了9分的小友，平均分也会再多1分．”班长小伟听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小佳和小友的体育成绩都能提高到 　50　分，那么男生和女生的平均分就一样了．”
【考点】一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】设该班女生有x人，男生有y人，女生的平均分为a分，则男生的平均分为（a+0.25）分，根据小莹、小峰及小伟的言论，即可得出关于a，x，y的方程组，由①②变形后代入③可得a＝m﹣1.25⑥，分别将⑥代入①②可得出x＝m﹣12，y＝m﹣9，结合x为正整数且61≤x+y≤77，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再由m为正整数且m为5的倍数，即可求出m的值．
【解答】解：设小佳和小友的体育成绩都能提高到m分，那么男生和女生的平均分就一样了，该班女生有x人，男生有y人，女生的平均分为a分，则男生的平均分为（a+0.25）分，
依题意，得：，
由①，得：ax﹣15＝（a+1.25）（x﹣1）④；
由②，得：（a+0.25）y＝（a+1.25）（y﹣1）+9⑤．
将④⑤代入③，得：＝，
∴（a+1.25）[（x﹣1）y﹣（y﹣1）x]＝m（x﹣y），
∴m＝a+1.25，
∴a＝m﹣1.25⑥．
将⑥代入①，得：＝m，
∴x＝m﹣12；
将⑥代入②，得：＝m，
∴y＝m﹣9．
∵x为正整数，
∴m＞15，m为5的倍数，
∵，
∴，
解得45≤m≤54，
∵m为正整数，且m为5的倍数，
∴m＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据班级人数的要求，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•朝阳区校级期中）解下列方程组．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：，
由①得：x＝2y+1③，
把③代入②得：4y+2+y＝﹣3，
∴y＝﹣1，
代入③得：x＝﹣1，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
22．（2022•花都区一模）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞x+2得：x＞3，
解不等式3（x﹣1）≤9得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（2022•西青区一模）解不等式组；
请结合题意填空．完成本题的解答，
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣1≤x≤1　．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上，继而确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤1．
故答案为：x≥﹣1，x≤1，﹣1≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（2022•长清区一模）企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．求最多购买多少瓶洗手液？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，进而得出答案．
【解答】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得：，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；

（2）设购买m瓶洗手液，则购买（1000﹣m）包口罩，由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍，
∴m≤3（1000﹣m），
解得：m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：最多购买750瓶洗手液．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
25．（2022春•南岸区校级期中）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．
例：k为何值时，多项式x3+3x2﹣23x+k有一个因式是x+1？
解：设它的另一个因式为x2+ax+b（a，b为常数），
则x3+3x2﹣23x+k＝（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b．
比较两边的系数，得，解得k＝﹣25．
（1）已知多项式2x2﹣7x+m有一个因式是x﹣5，求m的值；
（2）已知，其中A，B为常数，求A﹣B的值．
【考点】解分式方程；单项式乘多项式；多项式乘多项式；解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）设它的另一因式是2（x+a），仿照阅读材料中的方法列出等式，比较两边系数列出方程组，求出m的值即可；
（2）已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，比较分子列出方程组，求出方程组的解得到A与B的值，即可求出所求．
【解答】解：（1）设它的另一因式是2（x+a），
则2x2﹣7x+m＝2（x﹣5）（x+a）＝2x2+2（a﹣5）x﹣10a，
比较两边系数，得，
解得：a＝，m＝﹣15；
（2）已知等式整理得：＝＝，
比较分子得：，
解得：，
则A﹣B＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8．
【点评】此题考查了解分式方程，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
26．（2022•越秀区一模）2022年2月6日晚，中国女足在第20届亚洲杯决赛中以3：2逆转夺冠！全国各地掀起了一股学女足精神的热潮．某学校准备购买一批足球，第一次用3000元购进A类足球若干个，第二次又用3000元购进B类足球，购进数量比第一次多了20个，已知A类足球的单价是B类足球单价的1.5倍．
（1）求B类足球的单价是多少元；
（2）若学校需采购A，B两类足球共200个，总费用不超过12000元，则A类足球最多购买多少个？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设B类足球的单价是x元，则A类足球的单价是1.5x元，根据第一次用3000元购进A类足球若干个，第二次又用3000元购进B类足球，购进数量比第一次多了20个列方程即可得到结论；
（2）设购A类足球m个，则购B类足球（200﹣m）个，根据总费用不超过12000元列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设B类足球的单价是x元，则A类足球的单价是1.5x元，
根据题意得，﹣＝20，
解得，x＝50，
经检验，x＝50是分式方程的解，且符合题意，
答：B类足球的单价是50元；
（2）设购A类足球m个，则购B类足球（200﹣m）个，
根据题意得，50（200﹣m）+1.5×50m≤12000，
解得，m≤80，
答：A类足球最多购买80个．
【点评】此题主要考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
27．（2022•河北区一模）某校计划从甲、乙两家体育用品店中选择一家购买一批乒乓球拍以丰富学生的校园生活．已知甲、乙两家体育用品店的每副乒乓球拍标价均为30元，现两家分别推出以下优惠方案：甲体育用品店：购买10副以上，从第11副开始按标价的七折出售：乙体育用品店：从第1副起就按标价的八五折出售．
设该校计划购买乒乓球拍的副数为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写表：
购买副数
5
10
15
30
…
在甲体育用品店购买的费用（元）
150
　300　
405
　720　
…
在乙体育用品店购买的费用（元）
127.5
　255　
382.5
　765　
…
（Ⅱ）若该校计划用1581元购买乒乓球拍，则该校选择在哪一家体育用品店购买的兵乓球拍比较多？
（Ⅲ）当x＞12时，该校在哪家体育用品店购买更合算？并说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（Ⅰ）根据优惠方案，分别算出购买副数为10和30时，两店的费用即可；
（Ⅱ）分别列方程，算出在甲、乙体育用品店所买兵乓球拍数量，再比较即可；
（Ⅲ）分三种情况列出方程，不等式，即可解得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在甲体育用品店购买10副乒乓球拍费用为10×30＝300（元），购买30副乒乓球拍费用为10×30+（30﹣10）×30×0.7＝720（元），
在乙体育用品店购买10副乒乓球拍费用为10×30×0.85＝255（元），购买30副乒乓球拍费用为30×30×0.85＝765（元）．
故答案为：300，720，255，765；
（Ⅱ）在甲店购买时，10×30+30×0.7×（x甲﹣10）＝1581，
解得x甲＝71，
在乙店购买时，30×0.85×x乙＝1581，
解得x乙＝62，
∵71＞62，
∴该校选择在甲体育用品店购买的兵乓球拍比较多；
（Ⅲ）若30×10+30×0.7×（x﹣10）＝30×0.85x，
解得x＝20，
即购买20副乒乓球拍时，两个体育用品店费用相同，
若30×10+30×0.7×（x﹣10）＜30×0.85x，
解得x＞20，
即x＞20时，到甲体育用品店购买更合算，
若30×10+30×0.7×（x﹣10）＞30×0.85x，
解得x＜20，
即12＜x＜20时，到乙体育用品店购买更合算，
综上所述，12＜x＜20时，到乙体育用品店购买更合算，x＝20时，两个体育用品店费用相同，12＜x＜20时，到乙体育用品店购买更合算．
【点评】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，属于中考常考题型．
28．（2022春•南岸区校级期中）新冠肺炎疫情发生后，口罩市场出现热销，运输公司接到任务，要把一批口罩运到A市．公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱口罩，且甲种货车装运500箱口罩所用车辆与乙种货车装运400箱口罩所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱口罩？
（2）如果这批口罩有1520箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的口罩不超过40箱，其它装满，求甲种货车最少有多少辆？
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设乙种货车每辆车可装x箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱口罩，根据甲种货车装运500箱口罩所用车辆与乙种货车装运400箱口罩所用车辆相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，根据货物的总箱数＝每辆车可装的箱数×车的辆数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种货车每辆车可装x箱口罩，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱口罩，
依题意，得：＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝100．
答：甲种货车每辆车可装100箱口罩，乙种货车每辆车可装80箱口罩．
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，
依题意，得：100m+80（16﹣m﹣1）+40≤1520，
解得：m≤14，
答：甲种货车最少有14辆．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
29．（2022•历下区二模）在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共21桶，且总费用不超过540元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）设购买甲种消毒液每桶需要a元，购买乙种消毒液每桶需要b元，
由题意可得：，
解得，
答：购买甲种消毒液每桶需要30元，购买乙种消毒液每桶需要20元；
（2）设购进甲种消毒液x桶，则购进乙种消毒液（21﹣x）桶，
由题意可得：30x+20（21﹣x）≤540，
解得x≤12，
∴x的最大值为12，
答：至多可购进甲种消毒液12桶．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式，找出等量关系，列出相应的方程组．
30．（2022•许昌一模）某日，甲乙两人同去加油站加同种汽油，甲用300元加的油量比乙用375元加的油量少10升．
（1）求当天加油站的油价和甲乙两人的加油量．若设当天加油站的油价为a元/升，则可列方程 　　；若设甲当天的加油量为b升，则可列方程 　　；请选择一种你喜欢的设法，完整解答本小题．
（2）当天加油站在其汽油进价的基础上提高25%进行定价，若加油站的经营成本为y元（包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价），销售量为x升，y与x之间的函数关系式为：y＝0.04x+315，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？（总成本＝进价+经营成本）
（3）汽油价格受多种因素影响浮动较大，甲乙两人再次同去加同种汽油时，油价每升比上次上涨了0.5元，甲加油的总价与上次相同，乙加油的油量与上次相同，请通过计算两人两次所加汽油的平均单价，说明甲乙两人采用的加油方式哪种更合算？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用．
【分析】（1）根据题意，列分式方程，求解即可；
（2）根据“加油站当天的利润不低于1875元”列一元一次不等式，求解即可；
（3）分别计算甲所加汽油的平均单价和乙所加汽油的平均单价，然后比较即可．
【解答】解：（1）若当天加油站的油价为a元/升，根据题意，得；
若甲当天的加油量为b升，根据题意，得．
设甲当天的加油量为b升，根据题意，得，
解得：b＝40，
经检验：b＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴当天加油站的油价为（元/升），乙的加油量为40+10＝50（升），
答：当天加油站的油价为7.5元/升，甲的加油量为40升，乙的加油量为50升．
故答案为：；．
（2）解：根据题意得：，
解得：x≥1500．
答：加油站当天至少售出1500升汽油．
（3）甲所加汽油的平均单价：（元），
乙所加汽油的平均单价：（元），
∵7.74＜7.75．
∴甲采用的加油方式更划算．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．

考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．分数指数幂
分数指数幂．
4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
5．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
6．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
8．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
9．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
10．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
11．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
12．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
13．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
14．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
15．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
16．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
17．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
18．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
19．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
20．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
21．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
22．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
23．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
24．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
25．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
26．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
27．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
28．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
29．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．