2023年天津市河东区高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2023年天津市河东区高考数学一模试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了023， 已知a=lge，b=ln0等内容，欢迎下载使用。

A. {2}B. {−1,2}C. {1,2}D. {0,2}
2. 命题“有一个偶数是素数”的否定是( )
A. 任意一个奇数是素数B. 存在一个偶数不是素数
C. 存在一个奇数不是素数D. 任意一个偶数都不是素数
3. 如图中，①②③④中不属于函数y=3x，y=2x，y=(12)x中一个的是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
4. 《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著.记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米、同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平.小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数(AQI)趋势图绘制频率分布直方图，下列说法错误的是( )
A. 该组数据的极差为64−23=41
B. 小明根据极差确定组距为7，共分为6组
C. 当分为6组时，小组[23,30),[37,44)的频数分别为5，9
D. 当分为6组时，小组[23,30)对应纵轴值(频率组距)约为0.023
5. 已知函数f(x)=cs(4x+π2)，下列说法错误的为( )
A. 最小正周期为π2B. f(x)为偶函数C. 在(0,π8)单调递减D. f(π6)=− 32
6. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴为4，抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为P(4,m)，则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±2 63xB. y=±2 33xC. y=±23xD. y=± 64x
7. 已知a=lge，b=ln0.8，c=e0.8，则( )
A. a8. 在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 1
9. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)，当x∈[−2,0]时，f(x)=x+2，设函数h(x)=e−|x−2|(−2A. 5B. 6C. 7D. 8
10. i是复数单位，化简25(2−i)2的结果为______ .
11. (x3+3)5的展开式中，x9项的系数为______ .(用数字作答)
12. 已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x−2y+a=0相切，则满足条件的实数a的值为______ .
13. 甲、乙两名射手射中10环的概率分别为12、13(两人射中10环与否相互独立)，已知两人各射击1次.两人都射中10环的概率为______ ；两人命中10环的总次数为X，则随机变量X的期望为______ .
14. 如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通(玻璃壁厚度忽略不计)，容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为h，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面保持水平，高度为h，如图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为______ .
15. 已知等边三角形ABC的边长为1，射线AB、AC上分别有一动点M和N(点C在点A与N之间)，当AM=CN=12时，CM⋅BN的值为______ ；当AM=2CN时，CM⋅BN的最小值为______ .
16. 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA=sin2B，a=4，b=6.
(1)求csB的值；
(2)求c的值；
(3)求sin(2B+C)的值.
17. 在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体ABCDE−A1B1C1D1E1，AB⊥AE，AE//BC，AB//ED，AA1⊥底面ABCDE，四边形A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面，AB//A1B1，D1E，B1B的中点分别为F，G，AB=AE=2DE=2BC=4，AA1=1.
(1)证明：FG//平面C1CD；
(2)求平面C1CD与平面AA1B1B夹角的余弦值；
(3)一束光从玻璃窗面C1CD上点C1射入恰经过点A(假设此时光经过玻璃为直射)，求这束光在玻璃窗C1CD上的入射角的正切值.
18. 设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，b1=−a1=a3−b2=a4−b3=1.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2){an}的前n项和为Sn，求证：2Snn=bn−1；
(3)求i=1naibn−i+1.
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，右焦点为F(2,0).
(1)求椭圆方程；
(2)过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线x=3交于点C，△ABC为等边三角形，求直线l的方程.
20. 已知函数f(x)=ax−4ax，g(x)=lnx2.
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)F(x)=g(x)−f(x)，00.
(i)证明F(x)+F(4x)=0；
(ii)求函数F(x)在区间(0,1a2)上零点的个数证明.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由A∪B=A知：B⊆A，
当a+2=3，即a=1，则a2=1，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当a+2=a2，即a=−1或a=2，
若a=−1，则a2=1，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若a=2，则A={1,3,4}，B={1,4}，满足要求．
综上，a=2.
故选：A.
由题设知B⊆A，讨论a+2=3、a+2=a2求a值，结合集合的性质确定a值即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由于存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，否定为¬p：∀x∈M，¬p(x)，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：D.
根据存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，否定为¬p：∀x∈M，¬p(x)，即可解得正确结果．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由指数函数的性质可知：
①是y=(12)x的部分图象；③是y=2x的部分图象；④是y=3x的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象．
故选：B.
根据指数函数的图象的特征即可得答案．
本题主要幂函数的图象，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：选项A：根据极差=最大值-最小值，极差为64−23=41，故A对；
选项B：根据极差41确认组距，分组一般为5∼12组，组距为7，刚好分为6组，故B对；
选项C：根据对应区间确认频数，小组[23,30),[37,44)的频数分别为5，10，C错；
选项D：根据纵轴值=频率组距=531×7≈0.023，故D对；
故选：C.
选项A：根据极差的概念求解；
选项B：根据极差确认组距，分组；
选项C：根据对应区间确认频数；
选项D：根据 频率组距确定对应纵轴值．
本题主要考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=cs(4x+π2)=−sin4x为奇函数，故B错误；
最小正周期为T=2π4=π2，故A正确；
令−π2+2kπ≤4x≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π8+k2π≤x≤π8+k2π，k∈Z，
即函数f(x)的单调减区间为[−π8+k2π,π8+k2π]，k∈Z，
当k=0时，即为[−π8,π8]，k∈Z，故C正确；
且f(π6)=−sin46π=− 32，故D正确．
故选：B.
根据诱导公式可得f(x)=cs(4x+π2)=−sin4x，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得2a=4，a=2，故双曲线左顶点坐标为(−a,0)，
抛物线的准线为x=−p2，故a=p2，解得p=4，
点P(4,m)为抛物线与双曲线的一个交点，故m2=8p=32，164−m2b2=1，
即4−32b2=1，解得b2=323，解得b=4 63，
故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±4 632x=±2 63x.
故选：A.
求出a=2，p=4，将P(4,m)代入双曲线和抛物线，求出m2=8p=32，b=4 63，进而求出渐近线方程．
本题主要考查双曲线与抛物线的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：0b=ln0.8c=e0.8>e0=1，
∴b故选：B.
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α，
则12αR2=4，所以α=8R2，
则扇形的周长为2R+αR=2R+8R≥2 2R⋅8R=8，
当且仅当2R=8R，即R=2时取等号，此时α=2，
所以周长最小时半径的值为2.
故选：C.
设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α，根据扇形的面积公式将α用R表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解．
本题主要考查扇形的面积公式，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象，函数图象的对称性，数形结合思想．
利用题中的条件分别作出函数f(x)和h(x)的图象，利用对称性即可解出．
【解答】
解：由f(2+x)=f(2−x)且f(x)是偶函数，可知函数f(x)的周期为4，
由题意可知f(x)和h(x)的图象都是关于x=2对称，因此四个交点的横坐标也都关于直线x=2对称，
所以四个交点的横坐标之和为8，
故选：D.

10.【答案】3+4i
【解析】解：25(2−i)2=254+i2−4i=25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25(3+4i)9+16=3+4i.
故答案为：3+4i.
复数的乘除运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】90
【解析】解：(x3+3)5展开式的通项公式为Tr+1=C5r(x3)5−r(3)r=3rC5rx15−3r，15−3r=9得r=2，
所以x9项的系数为3rC5r=32C52=90.
故答案为：90.
求出(x3+3)5展开式的通项公式，可得展开式为x9时r的值，代入可得展开式中x9项的系数．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】0
【解析】解：因为方程x2+y2+2x−2y+a=0表示圆，
所以4+4−4a>0，解得a<2，
因为圆x2+y2+2x−2y+a=0的圆心为(−1,1)，半径R= 8−4a2= 2−a，
又因为直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x−2y+a=0相切，
所以圆心(−1,1)到直线的距离d=2 2= 2，
所以R= 2−a= 2，解得a=0，满足a<2.
故答案为：0.
先根据方程x2+y2+2x−2y+a=0表示圆求出a的范围，再由圆心到直线的距离等于半径求解即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】16 56
【解析】解：互斥事件同时发生：P=P1⋅P2=12×13=16，
由题意可得X=0，1，2，
P(X=0)=12×23=13，
P(X=1)=12×23+12×13=12，
P(X=2)=12×13=16，
E(x)=0×13+1×12+2×16=56；
故答案为：16；56.
两人都射中10环可以看作2个互斥事件乘积计算概率即可；根据独立事件发生结果和对应X的概率，求期望即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的期望，相互独立事件的概率乘法公式，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】3 3
【解析】解：V水=π⋅32⋅h=13⋅π⋅R2⋅h，
解得R2=27，R=3 3.
故答案为：3 3.
根据前后体积一致，列出计算式即可求解．
本题主要考查圆柱与圆锥的体积，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】−98 −32
【解析】解：当AM=CN=12时，CM=AM−AC=12AB−AC，BN=AN−AB=−AB+32AC，
则CM⋅BN=(12AB−AC)⋅(−AB+32AC)=−12AB2+74AB⋅AC−32AC2=−12+74×12−32=−98；
当AM=2CN时，设|CN|=m，则|AM|=2m，AM=2mAB，
则CM=CA+AM=2mAB−AC，BN=BA+AN=−AB+(1+m)AC，
CM⋅BN=(2mAB−AC)⋅(−AB+(1+m)AC)
=−2mAB2+(1+2m+2m2)AB⋅AC−(1+m)AC2=−2m+12(1+2m+2m2)−(1+m)
=m2−2m−12，
由二次函数的图象与性质可得当m=1时，CM⋅BN有最小值为−32.
故答案为：−98；−32.
确定CM=12AB−AC，BN=−AB+32AC，再计算即可，设|CN|=m，则CM=2mAB−AC，BN=−AB+(1+m)AC，CM⋅BN=(m−1)2−32，得到最值．
本题主要考查平面向量数量积的运算及性质，考查函数思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)在△ABC中，由已知得sinA=2sinBcsB，
由正弦定理得a=2bcsB，而a=4，b=6，
所以csB=13.
(2)在△ABC中，由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=13，
即3c2−8c−60=0，而c>0，解得c=6，
所以c=6.
(3)在△ABC中，∵B∈(0,π)，csB=13>0，
∴B∈(0,π2)，有sinB=2 23，
则sin2B=2sinBcsB=4 29，cs2B=cs2B−sin2B=−79，
由(2)知，b=c=6，即∠B=∠C，
所以sin(2B+C)=sin2BcsB+sinBcs2B=4 29×13+2 23×(−79)=−10 227.
【解析】(1)利用二倍角公式，结合正弦定理边化角求解作答．
(2)利用(1)的结论及余弦定理计算作答．
(3)利用(1)(2)的结论，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：过点E作AA1的平行线，由题意可知以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，A(0,4,0)，B(4,4,0)，C(4,2,0)，D(2,0,0)，A1(0,4,1)，B1(2,4,1)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，F(0,1,12)，G(3,4,12).
设平面C1CD的法向量为n1=(x,y,z)，C1C=(2,0,−1)，C1D=(0,−2,−1)，
则n1⋅C1C=2x−z=0n1⋅C1D=−2y−z=0，
令x=1，则n1=(1,−1,2)，FG=(3,3,0)，
∵n1⋅FG=3−3+0=0，
∴n1⊥FG，则FG//平面C1CD.
(2)根据图形易知平面AA1B1B的法向量为n2=(0,1,0)，设平面C1CD与平面AA1B1B的夹角为φ，
则csφ=|cs⟨n1,n2⟩|=|n1⋅n2||n1||n2|= 66.
所以平面C1CD与平面AA1B1B夹角的余弦值 66.
(3)AC1=(2,−2,1)，入射角为θ，csθ=|cs⟨n1,AC1⟩|=|n1⋅AC1||n2||AC1|= 63，
因为θ∈(0,π2)，
所以sinθ= 33，tanθ= 22.
故这束光在玻璃窗C1CD上的入射角的正切值为 22.
【解析】(1)过点E作AA1的平行线，结合题意建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，并求出平面C1CD的法向量和FG的方向向量，利用向量法证明线面平行即可；
(2)求出平面AA1B1B的法向量，再结合(1)中平面C1CD的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解；
(3)根据平面镜原理，设入射角为θ，利用空间向量的夹角公式解求出入射角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解线面角以及二面角，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设an=a1+(n−1)d，bn=b1qn−1，q>0，n∈N*
由已知a1=−1，b1=1，2d−q=23d−q2=2，解为q=d=2，an=2n−3，bn=2n−1.
(2)证明：由已知Sn=a1+an2⋅n=n(n−2)，
左式2Snn=2n−2，右式bn−1=2n−1−1=2n−2，
∴2Snn=bn−1.
(3)由已知Tn=i=1naibn−i+1=a1bn+a2bn−1+a3bn−2+⋅⋅⋅+anb1，
Tn=(−1)×2n−1+1×2n−2+⋅⋅⋅+(2n−5)×21+(2n−3)×20①，
2Tn=(−1)×2n+1×2n−1+⋅⋅⋅+(2n−5)×22+(2n−3)×21②，
②-①为Tn=(−1)×2n+2n+2n−1+⋅⋅⋅+22−(2n−3)×20，
∴Tn=4×2n−2−12−1−(2n−3)×20=2n−2n−1.
【解析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；
(2)结合已知条件可得Sn=n(n−2)，则2Snn=2n−2，由(1)可知bn−1=2n−1−1=2n−2，进而得证；
(3)利用错位相减法即可求解．
本题主要考查等比数列与等差数列的综合，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得e=ca= 63，c=2，解得a= 6，
由b2=a2−c2，∴b2=2，则椭圆C的方程为x26+y22=1.
(2)当直线AB为x轴时，易得线段AB的垂直平分线与直线x=3没有交点，故不满足题意；
当AB所在直线的斜率存在且不为x轴时，设该直线方程为y=k(x−2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−2)x26+y22=1，消去y可得(3k2+1)x2−12k2x+12k2−6=0，
Δ=144k4−4(3k2+1)(12k2−6)=24(k2+1)>0，
所以x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2−63k2+1，
y1+y2=k(x1−2)+k(x2−2)=k(x1+x2−4)=−4k3k2+1，
设AB的中点为D，则D(6k23k2+1,−2k3k2+1)，设C(3,yC)，
由△ABC为等边三角形，|AB||CD|=2 3，kCD=−1k，
|CD|= kCD2+1(3−6k23k2+1)= k2+1k23k2+33k2+1，
|AB|= k2+1 (x1+x2)2−4x1x2= k2+1 (12k23k2+1)2−4×12k2−63k2+1=2 6(k2+1)3k2+1，
所以|AB||CD|=2 6(k2+1)3k2+3× k2k2+1=2 3，解得k2=1，所以k=±1，
当AB所在直线的斜率不存在时，将x=2代入x26+y22=1可得y=± 63，
所以|AB|=2 63，|CD|=1，不满足题意，
综上所述，直线l的方程为y=x−2或y=−x+2.
【解析】(1)根据离心率和焦点坐标可求出a= 6，再根据b2=a2−c2，可求得b2=2，即可求解；
(2)讨论直线AB的斜率存在还是不存在，当斜率存在且k≠0时，直线代入椭圆可得x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2−63k2+1，可求出AB的中点为D(6k23k2+1,−2k3k2+1)，通过弦长公式和两点距离求出|AB|，|CD|，利用|AB||CD|=2 3即可求解．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=a+4ax2，切线斜率为f′(1)=5a，f(1)=−3a，
切线方程为y+3a=5a(x−1)，∴5ax−y−8a=0.
(2)证明：(i)F(4x)=ln2x−4ax+4a×x4=−lnx2−4ax+ax=−F(x)，F(x)+F(4x)=0；
(ii)F′(x)=1x−a−4ax2=0，即为−ax2+x−4a=0，Δ=1−16a2>0，
解得x1=1+ 1−16a22a，x2=1− 1−16a22a，x1>x2>0，
当x∈(0,x2)∪(x1,+∞)时，F′(x)<0；当x∈(x2,x1)时，F′(x)>0，
且F(x)在区间(0,x2)，(x1,+∞)上单调递减，在区间(x2,x1)上单调递增，F(2)=ln1−2a+2a=0，
∵x1x2=4，∴x2<2F(2)=0，F(x2)F(1a2)=−ln2a2−1a+4a3，令G(a)=−ln2a2−1a+4a3，G′(a)=−4a2a2+1a2+12a2=12a4−2a+1a2，
令h(a)=12a4−2a+1，h′(a)=48a3−2，∵a<14，∴a3<164，h′(a)<0h(a)在0h(a)>h(14)=364−12+1>0，∴G′(a)>0，G(a)在0G(a)0，F(1a2)<0，F(x)在区间(x1,+∞)单调递减，
因此F(x)在区间(x1,1a2)上存在唯一零点x3，
由已知0<4x3<4x1=x2<2由(2)(i)F(x3)+F(4x3)=0，F(x3)=0，∴F(4x3)=0，
F(x)在区间(0,x2)单调递减，F(x)在区间(0,x2)上存在唯一零点4x3，
综上所述，F(x)在区间(0,1a2)上存在3个零点．
【解析】(1)根据导数的几何意义，结合直线方程，即可得到结果；
(2)(i)直接代入计算，即可证明；
(ii)求导可得F′(x)，得到其极值点，通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论，即可得到其零点个数．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查函数零点个数的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．