【通用版】专题十四 坐标系与参数方程和不等式选讲——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练

【通用版】专题十四 坐标系与参数方程和不等式选讲

——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练

1.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，可知直线.

（1）求出曲线C的普通方程、直线l的直角坐标方程；

（2）在直线l上两动点A，B，且，点M为曲线C的动点，试求的面积的最大值.

2.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离.

3.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.

4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，).

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，)，点，并且直线l与曲线C交于A，B两点，求.

5.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数).以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.

(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)在极坐标系中，已知射线与相交于点A，与曲线C相交于点B

(异于原点O)，当时，求的最大值.

6.已知函数.

(1)解关于x的不等式；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

7.已知函数最大值为m.

（1）求m；

（2）若正数a，b，c满足，证明：.

8.已知函数，.

（1）画出和的图象；
（2）若，求a的取值范围.

9.已知函数.

(1)若，求的解集；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围.

10.已知函数的最小值为m.

（1）求m；

（2）若正实数a，b满足，求的最小值.

答案以及解析

1.解析：（1）将曲线（为参数），消去参数得.

因为直线，

即.

（2）因为曲线C的圆心到直线l的距离，

所以，

故的面积的最大值为.

2.解析：(1)由题意可知，曲线C的普通方程为，

由可知直线l的直角坐标方程为.

(2)由(1)知曲线C的圆心坐标为，半径，

令圆心到直线l的距离为d，

则，

，即，

.

3.解析：(1)直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为，

由曲线C的极坐标方程，得，

所以曲线C的直角坐标方程为.

(2)直线l的参数方程可写为(t为参数)，代入，

得，设A，B两点的参数为，则.

所以.

4.解析：(1)曲线C的参数方程为(t为参数，).

根据整理得，代入，得到，

转换为标准式为.

(2)把直线l的参数方程为（t为参数，），代入，得到，

所以，，

则.

5.解析：(1)将直线l的参数方程(t是参数)消去参数得.

将代入得.

因为曲线C的极坐标方程为，

所以曲线C的直角坐标方程为.

(2)因为的极坐标方程为，

，，

所以

.

因为，所以，

所以当，即时，有最大值，最大值为.

6.解析：(1)由，可得，

等价于或或

解得或或，

所以不等式的解集为.

(2)当时，不等式显然成立；

当时，不等式，

则，

由，

当且仅当，即时，等号成立，

所以.

7.解析：（1）函数

则函数在上单调递增，在上单调递减，

，则.

（2）证明：，，，，

则，，，当且仅当，，时，等号成立，

累加可得.

8.解析：（1）由已知得
所以与的图象为

（2）的图象是由函数的图象向左平移个单位长度或向右平移个单位长度得到的，

根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到的图象的右支过的图象上的点时为临界状态，如图所示，

此时的图象的右支对应的函数解析式为，

则，解得.

因为，所以，

故a的取值范围为.

9.解析：(1)由题知，即.

当时，.

当时，，解得，

；

当时，，恒成立，

；

当时，，解得，

，

的解集为.

(2)由，即.

令，

，当且仅当时等号成立，

，，即，

由，得或，

由，得，

实数a的取值范围为.

10.解析：（1）因为

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，的最小值为4，

即.

（2）由（1）知，可得.

又由a，b，c为正实数，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.