2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列根式中与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元其中数据亿元精确到哪位？(    )

A. 万位 B. 十万位 C. 百万位 D. 亿位

4.  如图是由个大小相同的正方体组成的几何体，下列说法正确的是(    )

A. 主视图与左视图一样
B. 主视图与俯视图一样
C. 左视图与俯视图一样
D. 三视图都不一样

5.  如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  正六边形的半径为，则它的边心距是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知一组数据为，，，，，，，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  年月日，“泰国开摘节”采摘的榴莲抢“鲜”人湘，标志着长沙一曼谷定期国际货运航线正式通航，长沙一曼谷的航线距离是，往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多小时，设飞机在静风中的速度为，风速为，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

9.  二次函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，利用尺规分别以，为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点，连接交点，交于点，下列说法不一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  一元一次方程的解为，则 ______ ．

13.  如图，的半径为，弦，点是的中点，连接，则的长为______ ．

14.  长沙市马栏山视频文创园滨河路与枫林塘路交会处，有一棵多岁的古樟树，类似于圆柱体的树木主干高需要刷保护料，树干的半径为，则需粉刷的面积是______ 结果保留．

15.  反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是______ ．

16.  如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，、分别平分和，分别交、于点、．
若，求的度数；
求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
“你点我检”活动从年月日开始，市场监管部门通过抽检品种和抽样场所了解情况以下是名检测员对某学校的甲、乙两个食堂进行打分调查的统计结果：

根据以上数据，将下面表格补充完整：

分别求出甲、乙食堂打分的平均数；
从稳定性角度分析，学生应该选哪个食堂用餐比较合适．
参考公式．

21.  本小题分
长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算如图，小明站在楼前的平地处，观测到国金大厦的最高点仰角为，他朝正前方笔直行走米来到处，此时观测到国金大厦的最高点仰角为，若小明的眼睛离地面米．
求长沙第一高楼国金大厦的高度；
小明还要走多远的距离才能到达国金大厦？

 

22.  本小题分
小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈已知买支百合和支康乃馨共需花费元，支康乃馨的价格比支百合的价格多元．
求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
小美准备买康乃馨和百合共支，且百合不少于支设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

23.  本小题分
如图，四边形是矩形，，，对角线、相交于点．
求的长；
点是上一点，过点分别作两条对角线的垂线段，垂足分别是、，求的值．

24.  本小题分
我们不妨约定：函数、、为常数与轴、轴交点和原点构成图形是等腰直角三角形时的函数称“函数”，等腰直角三角形中除掉原点外的两个顶点称“点”，例如：函数与轴交于点、，与轴交于，是等腰直角三角形，则是“函数”，其中、是“点”．
若一次函数是“函数”，求的值，并求出“点”；
若二次函数、、为常数，，是过的“函数”、与轴交于点，与轴交于点，、为“点”，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
当点落在“函数”上不与点重合，且时，求点的坐标；
取的中点，当为何值时，的最小值是？

25.  本小题分
如图，已知圆是四边形的外接圆，是直径连接交于点．
如图，是弧的中点，当，求的度数；
如图，，将绕点顺时针旋转至，其中与重合，求证：；
如图，，是的中点，连接，过点作交于点，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是有理数，
选项A不符合题意；
是分数，是有理数，
选项B不符合题意；
是无理数，
选项符合题意；
，它是有理数，
选项D不符合题意，
故选：．
运用无理数的定义进行逐一辨别、求解．
此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用无理数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、，与是同类二次根式，符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据亿精确到的位数是十万位．
故选：．
根据近似数的精确度求解．
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图和左视图完全相同，均为底层两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，
则阴影的面积为，圆的面积为，
掷中阴影部分的概率是．
故选：．
用阴影部分的面积除以圆的面积即可求得概率．
此题主要考查了几何概率，会计算扇形的面积是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接、；过点作于点．

在中，，，
，
故选：．
根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数是，
故选：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

8.【答案】 

【解析】解：飞机在静风中的速度为，风速为，
飞机在顺风中的速度为，在逆风中的速度为．
根据题意得：．
故选：．
由飞机在静风中的速度及风速，可得出飞机在顺风中的速度为，在逆风中的速度为，结合实际路程速度，结合往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多小时，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是，即．
故选：．
直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作图得：为的中点，
，
，
，
故A、、D正确，
故选B．
由作图得：为的中点，由直角三角形的性质及等边对等角求解．
本题考查了基本作图，掌握直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为  

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一个关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的中点，
，，
在中，．
故答案为：．
根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理即可求出答案．
本题考查了垂径定理，关键是由是的中点得到．
 

14.【答案】 

【解析】解：


故需粉刷的面积是．
故答案为：．
根据圆柱的侧面积公式计算即可求解．
本题考查了圆柱的侧面积计算，关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，
，
解得．
故答案为：．
由反比例函数图象位于第一、三象限得到，即可求出的范围．
此题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，．
，
，
设，则．
，
∽，
，
，

矩形的面积


．
，
当时，内接矩形的最大面积为．
故答案为：．
利用矩形的性质和平行线之间的距离相等的性质得到，设，则；利用相似三角形的判定与性质，对应高的比对应相似比求得线段的长度，再利用矩形的面积公式求得用含的代数式表示的矩形的面积，最后利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，配方法，利用配方法求得函数的最大值是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用负整数指数幂、零指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查的是实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
；
证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可得出答案；
根据平行四边形的性质得出，，，由角平分线定义证出，即可证明四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】               

【解析】解：由题意得，
甲食堂分的频数为，频率为；分的频数为，频率为；
乙食堂分的频数为，频率为；分的频数为，频率为；
故答案为：、、、、、、、；
甲食堂打分的平均数为：；
乙食堂打分的平均数为：；
答：甲、乙食堂打分的平均数均为；
甲食堂打分的方差为，
乙食堂打分的方差为，
甲食堂打分的方差比乙食堂打分的方差大，
乙食堂更稳定，学生应该选乙食堂用餐比较合适．
根据统计表数据以及频数与频率的定义可得答案；
根据加权平均数的计算公式解答即可；
根据方差公式求出甲、乙食堂打分的方差，再根据方差的意义解答即可．
本题考查了加权平均数，方差以及频数与频率，掌握相关定义与公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：米，米，，，
是的一个外角，，，
，
，
米，
在中，米，
米，
长沙第一高楼国金大厦的高度为米；
由题意得：，
在中，，米，
米，
米，
小明还要走米才能到达国金大厦． 

【解析】根据题意可得：米，米，，，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：设买一支康乃馨需元，买一支百合需元，
则根据题意得：
解得：
答：买一支康乃馨需元，买一支百合需元；
根据题意得：，
百合不少于支，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
即买支康乃馨，买支百合费用最少，元，
答：与之间的函数关系式：，买支康乃馨，买支百合费用最少，最少费用为元． 

【解析】设买一支康乃馨需元，买一支百合需元，根据题意列方程组求解即可；
根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于支求函数的最小值即可．
本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，，，
，，
，
的长为；
如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据矩形的性质可得，，然后利用勾股定理即可解决问题；
连接，利用，列出方程即可求出结果．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

24.【答案】解：在中，令得，令得，
直线与轴交点为，与轴交点为，
根据“函数”的定义可得：，
解得，
当时，，
“点”为，；
当时，，
“点”为，；
设，则的两个实数根为和，
，
，，
，
、为“点”，
；
将，，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为，
在中，令得：，
解得或，
，
过点作直线于点，如图：

，
在中，，，
，
，
，
解得：，
；
连接、，如图：

由是的中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，，
，，，
在中，，
当时，即时，满足条件的点在线段上，
的最小值为，
，
解得；
；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，
的最小值为，
解得；
；
综上所述，的值为或． 

【解析】根据“函数”的定义可得：，解得，当时，“点”为，；当时，“点”为，；
设，可得；求出抛物线的解析式为，可得，过点作直线于点，由，，知，故，得：，从而；
连接、，由是的中点，知点在以点为圆心，为半径的圆上，由，得，当时，，得；；当，，得；．
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，待定系数法，最短路径等，等腰直角三角形等知识，解题的关键是读懂题意，理解“函数和“点”概念．
 

25.【答案】解：是弧的中点，
，
，
，
；
证明：是直径，
，
，．
，
．
将绕点顺时针旋转至，
，，．
，
．
，
．．



．
；
解：是的中点，
，
设，则，
是直径，
，

，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．

，，
，
∽，
，
，，
． 

【解析】利用等弧对等弦，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
利用圆周角定理和勾股定理求得，，利用等腰直角三角形的性质得到，利用旋转的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得；利用等式的性质和等量代换，通过计算即可得出结论；
设，则，利用全等三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，计算即可得出结论．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．