2021-2022学年江苏省泰州中学高一上学期第二次月测数学试题含解析

2021-2022学年江苏省泰州中学高一上学期第二次月测

数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的并运算求即可.

【详解】由题设，.

故选：C

2．命题：“所有的全等三角形的周长都相等”的否定为（       ）

A．所有的全等三角形的周长都不相等 B．不全等三角形的周长不都相等

C．有些全等三角形的周长相等 D．有些全等三角形的周长不相等

【答案】D

【分析】根据给定命题，利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出即可.

【详解】命题：“所有的全等三角形的周长都相等”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所求的否定是：有些全等三角形的周长不相等.

故选：D

3．已知为第四象限角，则为（       ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【分析】根据任意角的定义，进行逆时针旋转即可得解.

【详解】表示将角α的终边逆时针旋转弧度后所得的角，

因为α为第四象限角，

所以为第一象限角．

故选：A

4．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用同角三角函数的性质及同角三角函数间符号的关系，求、，进而求.

【详解】∵，

∴或，

∴.

故选：C

5．已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）

A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且

【答案】D

【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征

【详解】因为函数的图象关于y轴对称，

所以函数为偶函数，即p为偶数，

又函数的定义域为，

且在上单调递减，

则有，

所以．

故选：D．

6．函数的图像大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据时的函数值确定出正确选项.

【详解】因为，且定义域为关于原点对称，

所以函数为偶函数，所以排除C，D；

又因为当时，，所以排除A.

故选：B.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.

【详解】，

，

．

故选：B．

8．已知函数定义在上，当时，，若，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将已知条件变形，可得到新函数的大小关系，从而判断新函数的单调性，将要求的不等式变形为新函数的大小关系，根据单调性即可求解不等式的解集

【详解】当时，由变形得：，令，则，所以在单调递减，因为，所以，当时，不等式可以变形为：，即，所以，；当时，不等式可以变形为：，即，所以，（舍），综上：

故选：B

【点睛】题目考察构造新函数，并判断新函数的单调性，难点在于要将所求的不等式变形为新函数的不等式问题，从而可以根据新函数的单调性求解不等式

二、多选题

9．已知，下列不等式中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A：因为，，所以，故选项A正确；

对于B：因为，，所以，所以，故选项B不正确；

对于C：因为，所以，若，则，故选项C不正确；

对于D：因为，所以，所以，故选项D正确；

故选：AD.

10．若函数在区间上的图像为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是（       ）

A．若，则存在实数，使得

B．若，则不存在实数，使得

C．若对任意的实数，则

D．若存在实数，则

【答案】AC

【分析】由零点存在性定理判断A选项，BD选项可以举出反例，C选项，得到在上的图象与轴没有交点，进而作出判断.

【详解】由零点存在性定理可知：A正确；

如图1，满足，且存在实数，使得，故B错误；

因为对任意的实数，故在上的图象与轴没有交点，故在上的图象在x轴上方或在x轴下方，故，C正确；

如图1，存在实数，而，故D错误.

故选：AC

11．定义“正对数函数”：，若，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】按照的取值范围分类，结合新定义，结合合理反例，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，当时，，此时；

当时，；所以，故A正确；

对于B，因为，所以对于任意的，均有，

所以至少一个为0或符号相同，所以，

故B正确；

对于C，令，则，，

此时，故C错误；

对于D，若，则，满足；

若，则，满足；

故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是对于新定义的理解把握，结合新定义，对自变量取值范围进行讨论，要注意全面考虑.

12．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（       ）

A． B．函数的图象关于点对称

C．函数为上的奇函数 D．函数为上的偶函数

【答案】ABD

【解析】由，可得推得，得到A是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B是正确的；由，可得推得函数是偶函数，得到D正确，C不正确.

【详解】对于A中，函数满足，可得，所以A是正确的；

对于B中，是奇函数，则的图象关于原点对称，

又由函数的图象是由向左平移1个单位长度得到，

故函数的图象关于点对称，所以B是正确的；

对于C、D，由B可得：对于任意的，都有，

即，可变形得，

则由对于任意的都成立，

令，则，即函数是偶函数，所以D正确，C不正确.

故选：ABD

【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：

1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；

2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.

三、填空题

13．已知一个扇形的面积为，半径为，则它的圆心角为______弧度．

【答案】

【分析】利用扇形的面积公式列方程即可求解.

【详解】设扇形的圆心角为，

扇形的面积即，解得，

所以扇形的圆心角为弧度，

故答案为：.

14．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【分析】由是的充分条件得，，列不等式求出实数的取值范围.

【详解】解：由是的充分条件得，，

，

解得：，

故答案为

【点睛】本题考查充分条件的判断，转化为集合之间的包含关系问题，是基础题.

15．已知函数，则关于的不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性通过，转化求解即可.

【详解】解：由题意可知，定义域为，设，

，

由函数在上的增函数，

在为增函数，

且，

所以关于对称，故在为增函数，

且在处连续，在上的增函数，

故函数在上递增，

 ，

且在上递增，

原不等式等价于

则，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.

16．若，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.

【详解】因为且，则两边同除以，得，

又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.

故答案为:

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)1

【分析】(1)利用根式运算法则和指数幂的运算法则直接计算即可.

(2)利用对数运算法则直接计算即可得解.

(1)

原式

(2)

原式=.

18．已知函数.

（1）化简；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案.

（2）根据（1）化简可得，所求整理为，即可求得的值，根据的范围，可得，即可求得答案.

【详解】（1）由诱导公式化简可得

（2）由，可得，

所以，即，

又，

所以

因为，，

所以，

所以的值为

19．已知函数=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.

（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值.

（2）当a>1时，不等式<2在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设可得，讨论、，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合题设.

（2）由对数函数的性质可得，再由对数函数的单调性可得，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.

【详解】（1），，则，.

当时，，所以；

当时，，所以，不合题意.

综上，.

（2）要使在上有意义，则，解得.

由，即，又，

∴，即，得.

令，，记，对称轴，

∴，故.

综上，.

20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些风眼莲（其覆盖面积为），这些风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与）可供选择．

（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．（参考数据：，）．

【答案】（1）函数模型较为合适，且该函数模型的解析式为；（2）月份.

【分析】（1）根据两个函数模型增长的快慢可知函数模型较为合适，将点、代入函数解析式，求出、的值，即可得出函数模型的解析式；

（2）分析得出，解此不等式即可得出结论.

【详解】（1）由题设可知，两个函数、）在上均为增函数，

随着的增大，函数的值增加得越来越快，

而函数的值增加得越来越慢，

由于风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型满足要求.

由题意可得，解得，，

故该函数模型的解析式为；

（2）当时，，故元旦放入凤眼莲的面积为，

由，即，故，

由于，故.

因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份.

【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

21．已知函数，

(1)关于x的不等式的解集为一切实数，求实数k的取值范围；

(2)关于x的不等式的解集中的正整数解恰有3个，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题得的解集为，设，则，求出函数的最小值即得解；

（2）由题得当时，有，再对分和两种情况讨论得解.

(1)

解：由，可得，

即的解集为，

设，则，即.

设，则，

因为，所以，

所以，所以函数在为单调递增函数，

所以当时，函数的最小值为6，则，

即实数k的取值范围是.

(2)

解：由（1）和，可得，

因为不等式的解集中正整数解恰好有3个，

所以当时，有，

若，则该不等式在上恒成立，与题设矛盾.

故，所以，

设不等式的解集为，

设，，

所以当时，，；当时，，，

所以函数在单调递减，在单调递增，

可得，所以，

解得，即实数a的取值范围是.

22．已知函数.

(1)若有解，求实数b的取值范围；

(2)若在区间上的值域为.求实数t的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将题设问题化为在上有解，可得，应用对勾函数的性质求右边的值域，即可得b的取值范围；

（2）由题设易知在定义域上是减函数，则上的值域为，可将问题转化为在内有两不等实根，应用换元法及二次函数的性质求t的取值范围.

(1)

由解析式知：，即定义域为，

又有解，则或，解得，

所以在上有解，即，

整理得：，而，

根据对勾函数的性质，知：（当且仅当时取等号），

所以，即.

(2)

由（1）知：，在定义域上是减函数.

所以，在闭区间上的值域为，

从而得到，即       ，整理得：，

这表明： 在内有两不等实根，

令，当时，以上结论等价于关于u的方程在内有两个不等实根.

设，其对称轴为，

∴或，解得或.

所以，.

【点睛】关键点点睛：第二问，利用函数的单调性及对应闭区间的值域，将问题转化为一元二次方程在某区间上有两个不同实根，进而应用函数思想求参数范围.