2024泰州中学高二上学期第二次月考数学试题含解析

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一、选择题
1. 若两条不同直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A. B. 1C. 或1D. 0
2. 一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的方程为
A. B. C. D.
3. 两圆与的公共弦长等于（ ）
A 4B. C. D.
4. 点到双曲线一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题
9. 已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，表示圆心为的圆
B. 当时，表示圆心为的圆
C. 当时，表示的圆的半径为
D. 当时，表示的圆与轴相切
10. 已知直线：和圆O：，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 存在k使得直线与直线：垂直
C. 直线与圆相交
D. 直线被圆截得的最短弦长为
11. 已知双曲线，若圆与双曲线C渐近线相切，则（ ）
A. 双曲线C的实轴长为6
B. 双曲线C的离心率
C. 点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为、，则
D. 直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则
12. 对于椭圆，定义双曲线为其伴随双曲线，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆与其伴随双曲线有四个公共点
B. 若椭圆的离心率是其伴随双曲线的离心率的，则伴随双曲线的渐近线方程
C. 若椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆相交于、两点，则直线与直线的交点在伴随双曲线上
D. 若椭圆的右焦点为，其伴随双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为或
三、填空题
13. 与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线l的方程为__________．
14. 圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是________．
15. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.
16. 若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为_________.
四、解答题
17. 已知点，直线.
（1）求过点A且与直线垂直的直线方程；
（2）直线为过点A且和直线平行的直线，求平行直线，的距离.
18. 已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.
19. 已知直角三角形ABC的顶点，直角顶点B的坐标为，顶点C在x轴上．
（1）求直角三角形ABC的外接圆的一般方程；
（2）设OA的中点为M，动点P满足，G为OP的中点，其中O为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点G的轨迹方程．
20. 在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
21. 已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足．

（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值．
22. 已知椭圆E：的离心率为，椭圆E的长轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，过且斜率为动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交☉C：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．
①求证：为定值；