2022届江西省上饶一中高三下学期4月二轮复习验收考试数学（文）试题含解析

江西省上饶2022届高三下学期4月二轮复习验收考试

数学（文）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（    ）

A．80 B．85 C．82.5 D．83

4．已知命题p：，；命题q：直线：x－ay＋3＝0与：2x＋ay－1＝0相互垂直的充要条件为．则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知某三棱锥的三视图如下所示，则该三棱锥的四个面中面积的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

6．已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（    ）

A．2 B．4 C．2或 D．2或

7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1，3，6，10，15，…，，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…，，称为正方形数．现从1到50的自然数中任取1个，既不是正方形数，也不是三角形数的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

9．在△ABC中，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数若，则的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且，其中实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

12．已知双曲线C：的左焦点为，点P在圆：上，若C的一条渐近线恰为线段FP的垂直平分线，则C的离心率为（    ）

A．3 B．2 C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，则6x＋5y的取值范围为______．

14．曲线在x＝0处的切线方程为______．

15．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______．

16．已知等腰三角形ABC的面积为2，其中AB⊥AC，点O，M，N分别在线段BC，AB，AC上，AO⊥BC且，当点M，N在对应线段上运动时（含端点位置），的最大值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知正项数列的前n项和为，，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）某地的水果店老板记录了过去100天A类水果的日需求量x（单位：箱），整理得到数据如下表所示．

其中每箱A类水果的进货价为50元，出售价为100元，如果当天卖不完，就将剩下的A类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业．

（1）利用表中数据，从需求量是25箱或26箱的天数中，利用分层抽样的方法抽取5天，再从这5天中随机抽取2天进行调查，求其中恰有1天的需求量为26箱的概率；

（2）已知该水果店在这100天中每日A类水果的进货量均为24箱，求这100天卖出A类水果所获得的日平均利润．

19．（12分）如图所示，在空间几何体ABCDE中，△ABC与△ECD均为等边三角形，AB＝DE，且平面ABC和平面CDE均与平面BCD垂直．

（1）若，求证：平面ABC⊥平面ECD；

（2）求证：四边形AEDB为梯形．

20．（12分）已知函数．

（1）若a＝0，求的单调区间；

（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．

21．（12分）已知椭圆C：的上顶点为M，右焦点为F，且，直线MF的倾斜角为．

（1）求C的标准方程；

（2）若直线l与C交于，两点，其中，且直线MP，MQ的斜率之和为2，探究：l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，为l的倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求l的极坐标方程以及C的直角坐标方程；

（2）若l过点，且与C交于M，N两点，求的值．

23．（10分）【选修4－5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记的最小值为m，若正数a，b，c满足，比较与的大小关系，并说明理由．

江西省2022届高三下学期4月二轮复习验收考试

数学（文）参考答案

1．【答案】A

【解析】，故在复平面内对应的点为（13，6），位于第一象限，故选A．

2．【答案】C

【解析】依题意，，则，故选C．

3．【答案】C

【解析】依题意，所求中位数为，故选C．

4．【答案】B

【解析】令x＝0，可知成立，即p为真命题；若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，则为真命题，故选B．

5．【答案】B

【解析】该三棱锥的四个面的面积分别为，，，，故最大值为2，故选B．

6．【答案】D

【解析】依题意，设，则，，解得p＝2或，故选D．

7．【答案】C

【解析】在1到50的自然数中，三角形数有1，3，6，10，15，21，28，36，45，正方形数有1，4，9，16，25，36，49，故所求概率，故选C．

8．【答案】B

【解析】由图可知，，解得T＝2，故，则；而，故，解得，又，得，故选B．

9．【答案】B

【解析】因为解得，由正弦定理，，设AC＝5k，AB＝6k，由余弦定理得，则BC＝7k，故，故选B．

10．【答案】D

【解析】依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增，故选D．

11．【答案】B

【解析】依题意，解得AB＝4，延长AC至M，使得；因为，所以点D在直线BM上，取线段AC的中点O，连接OD，则，显然当OD⊥BM时，有最小值3，所以，故的最小值为5，故选B．

12．【答案】B

【解析】由题意，圆心为C的右焦点，，不妨设点P在第一象限，则，所以直线PF的斜率，从而，，故C的离心率．故选B．

13．【答案】

【解析】，故6x＋5y的取值范围为．

14．【答案】4x－y－1＝0

【解析】当x＝0时，y＝－1，而，，故，故所求切线方程为y＋1＝4x，即4x－y－1＝0．

15．【答案】

【解析】设四面体ABCD的外接球的半径为R，将四面体ABCD置于长宽高分别为a，b，c的长方体中，故，故，故四面体ABCD的外接球的表面积为．

16．【答案】

【解析】依题意，AB＝2，设，则，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为D，G，则OD＝OG＝1，在△OND与△OMG中，易得，，则，当，即时，取得最大值．

17．解：（1）令m＝n＝1，得，又，

解得（负值舍去），，（2分）

令m＝1，得，所以，

所以是以3为首项，3为公比的等比数列，（5分）

所以．（6分）

（2）由（1）可得，，

所以，

所以，（7分）

两式相减得，

，（10分）

所以．（12分）

18．解：（1）依题意，需求量是25箱的抽取3天，记为1，2，3，需求量是26箱的抽取2天，记为a，b．（1分）

则随机抽取2天，所有的情况为，，，，，，，，，，共10种．（3分）

满足条件的有，，，，，，共6种，（4分）

故所求概率．（6分）

（2）若x＝24，25，26，则利润；（7分）

若x＝23，则；（8分）

若x＝22，则．（9分）

故这100天卖出A类水果所获得的日平均利润为元．（12分）

19．证明：（1）不妨设，（1分）

因为△ABC，△ECD是全等的正三角形，所以CD＝BC，（2分）

所以，故BC⊥DC，（3分）

因为平面ECD⊥平面BCD，平面平面BCD＝CD，所以BC⊥平面ECD，（4分）

因为平面ABC，故平面ABC⊥平面ECD．（5分）

（2）分别取BC，DC的中点M，N，连接AM，EN，MN，（6分）

因为△ABC是等边三角形，所以AM⊥BC，，（7分）

因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC，平面平面BCD＝BC，

所以AM⊥平面BCD，同理EN⊥平面BCD，，（8分）

所以AM∥EN，（9分）

又BC＝DC，所以AM＝EN，（10分）

所以四边形AMNE是平行四边形，（11分）

所以，又，所以AE∥BD，

且AE<BD，即四边形AEDB为梯形．（12分）

20．解：（1）依题意，，，（1分）

令，解得；（1分）

故当时，，当时，，（3分）

故的单调递减区间为，单调递增区间为，（4分）

（2）依题意，，即，

设，则，且，（5分）

则，且，

令，则，（6分）

当时，则当时，，则在上单调递增，

故，则在上单调递增，

故，符合题意；（9分）

当时，令，得，

所以当，，在上单调递减；

从而时，，

故当时，在上单调递减，，不符合题意．

综上所述，a的取值范围为．（12分）

21．（1）依题意，（1分）

解得b＝1，，（3分）

故C的标准方程为．（4分）

（2）l经过定点，证明如下：

由（1）可知C：．（5分）

①当l的斜率存在时，设l：，

由，得（7分）

则，

由题知，，则，，（8分）

则，

解得t＝k－1，（9分）

所以l的方程为y＝kx＋k－1，即，

所以l经过定点．（11分）

②当l的斜率不存在时，设l：，设，，

则，解得m＝－1，

此时l也经过定点．

综上所述，l经过定点．（12分）

22．解：（1）因为l过原点，且为l的倾斜角，故l的极坐标方程为；（2分）

因为，由，，

得C的直角坐标方程为，即．（5分）

（2）因为对应的极坐标为，（6分）

所以l的极坐标方程为，（7分）

代入，得，

设，，

所以．（10分）

23．解：（1）依题意，（2分）

故或或（3分）

解得或或，（4分）

故不等式的解集为．（5分）

（2）依题意，，则a＋b＋c＝2．（6分）

下面证明：，（7分）

∵a＋b＋c＝2，且a，b，c均为正数，

∴，

∴，

当且仅当a＝1，时等号成立，（9分）

即．（10分）