2023届江西省南昌市稳派高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（文）试题含解析

2023届江西省南昌市稳派高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合，，再根据交集的定义计算即可.

【详解】由题得，

，

所以.

故选：A.

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A．-3 B． C．-1 D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法和虚数平方即可求解.

【详解】因为，

所以的虚部为，

故选：A.

3．已知向量满足，且，则实数（    ）

A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或

【答案】D

【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

所以，

因为，

所以，

解得或，

故选：D.

4．在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是（    ）

A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为

B．在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3

C．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为

D．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为

【答案】C

【分析】根据统计图分别求出消费价格月度同比数据的中位数和平均值；求出月度环比数据为正数的个数、月度环比数据为负数的个数，再求出月度环比数据的众数，即可得答案.

【详解】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为，

，

中位数为，

平均数为,

由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，

有6个月的数据为正数，3个月的数据为，3个月的数据为负数，

所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，

且出现次数最多，故众数为 ，

故选项A，B，D正确，C错误，

故选：C.

5．已知满足不等式，则的最小值为（    ）

A．-6 B．-4 C． D．15

【答案】B

【分析】根据可行域和目标函数的几何意义即可求解.

【详解】作出可行域如图阴影部分所示，

联立

解得

即，

令，

所以，

由图可知当直线经过点时，

，

故选：B.

6．已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（    ）

A．352 B．401 C．625 D．913

【答案】D

【分析】根据条件构造数列，再根据条件列出等比数列的基本量的方程组，再根据通项公式求和.

【详解】令，设数列的公比为，因为，所以，即，

所以.由，得，所以，联立，解得，

所以，所以，所以的前10项和为.

故选：D.

7．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.

【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），

则，，，

所以，

故圆台部分的侧面积为，

圆柱部分的侧面积为，

故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.

故选：B.

8．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.

【详解】因为，所以，所以的周期为6，

又为奇函数，所以，所以，

令，得，所以,

所以，

故选：C.

9．已知椭圆的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与在第二､四象限的交点分别为，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对称性可知为圆的一条直径，则，取椭圆的左焦点为，连接，再结合椭圆的定义得出的关系，即可的解.

【详解】由对称性可知点关于原点对称，即为圆的一条直径，

又圆经过点，所以，

设，则，

取椭圆的左焦点为，连接，

则四边形为矩形，

由，

可设，则，

所以，

由椭圆定义可得，所以，

所以的离心率为.

故选：C.

10．正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法：

①的定义域为；②的最小正周期为；③的值域为；④图象的对称轴为直线.

其中所有正确说法的序号为（    ）

A．②③ B．①④

C．③ D．②③④

【答案】A

【分析】首先化简函数，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.

【详解】，由，，得，即的定义域为，①错误；

的定义域关于原点对称，故的最小正周期与函数的最小正周期一致，均为，②正确；

当，，，时，的值分别为1，1，，，考虑周期性可知，的值域为，③正确；

令，得，即图象的对称轴为直线，④错误，

故选：A.

11．已知，则（    ）

A．11或 B．11或 C．12或 D．10或

【答案】A

【分析】对两边同时取对数，可解得或，讨论或时的值，即可得出答案.

【详解】由，两边取对数得，所以或.

当时，8，所以；

当时，，

所以，

综上，或，

故选：A.

12．已知函数的定义域为，其导函数为，，，则（    ）

A．无极值 B．有极大值，也有极小值

C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值

【答案】D

【分析】根据题意赋值可求得，根据结构特征，构造函数，从而判断的函数值情况，即可判断的单调性，确定极值，即可得答案.

【详解】由已知知，

又，所以，

令，则，

又，

令，

所以，

所以在上单调递增，又，

所以当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

所以的极小值为，无极大值，

故选：D.

二、填空题

13．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.

【详解】若为真命题，等价于，

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，即，

可得，故实数的取值范围是.

故答案为：.

14．已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为____________.

【答案】4

【分析】由双曲线的渐近线方程得出，即可得出结果.

【详解】由题意可知，双曲线的一条渐近线为直线，故，故其实轴长为.

15．在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为__________.

【答案】

【分析】当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大，由圆锥的体积公式可求得，设内切球的半径为，由，可求出，即可得出球的表面积的最大值.

【详解】由题得当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大.如图为圆锥的轴截面，

由题意知，解得，

所以.

设内切球的半径为，则，

由平面几何知识可知，所以，

所以，解得，

此时球的表面积为.

故答案为：.

16．记的面积为，内角所对的边分别为，且，则的值为__________.

【答案】

【分析】根据三角形面积公式及余弦定理可得，利用均值不等式及正弦函数的有界性可得，即可求出.

【详解】由题得，

所以，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立，

又，其中，

所以，故，

所以，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方､北方会员共200人，调查数据如下.

(1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率；

(2)（i）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？

（ii）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积.

附：.

【答案】(1)

(2)（i）有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关；（ii）农场可以种植50亩左右的有机水果

【分析】（1）利用古典概型求出南方､北方会员中喜欢有机水果的概率即可；

（2）（i）根据条件结合独立性检验公式，即可判断；

（ii）根据，即可判断农场可以种植50亩左右的有机水果.

【详解】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；

北方会员中喜欢有机水果的概率为，

所以南方､北方会员中喜欢有机水果的概率分别为.

（2）（i），

所以有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.

（ii）由题可估计农场的会员中喜欢有机水果的人数为

，

所以农场可以种植50亩左右的有机水果.

18．如图，在多面体中，平面为的中点，， .

(1)证明：；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由为的中点，可得，结合平面可得，进而得到平面，进而求证；

（2）结合平面，可得，进而得到，可得平面，再结合即可求解.

【详解】（1）证明：因为为的中点，

所以，

又平面平面，

所以，

又，平面，

所以平面，

又平面，

所以.

（2）由（1）知平面，又平面，

所以.

由平面几何知识可知，

所以，所以，

又平面，

所以平面.

在中，，

设点到平面的距离为，

由，得，

所以，

即点到平面的距离为.

19．在①为等差数列，；②；③是等差数列，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知数列的前项和为，__________.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式以及由递推关系求通项的方法代入即可求解；（2）两次使用乘工笔错位相减即可求解.

【详解】（1）若选①，设的公差为，

由题意可得解得，

所以.

若选②，当时，，解得；

由题得，

所以当时，，

作差得，

即，

又，

所以，

所以是公差为2的等差数列，

所以.

若选③，设的公差为，

所以，

所以，

因为，

所以，

解得或（舍去），

所以，

当时，，

当时，，也满足，

所以.

（2）由（1）可得，所以.

所以，①

所以，②

①-②得，

令③

则，④

③-④得，

所以，

所以，

所以.

20．已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为12.

(1)求的单调区间；

(2)证明：，有恒成立.

【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）先对求导，再利用，求出的值，进而讨论的单调性；

（2）构造令，利用导数证明即可证明不等式恒成立问题.

【详解】（1）解：由题得的定义域为，

所以，解得.

所以，

当时，单调递减；当时，单调递增，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）证明：由（1）知，要证恒成立，即证恒成立，

令，则，

令，解得或（舍去），

设，则.

当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，

其中，

令，所以，

所以在区间上单调递减，

所以，

所以，所以，

所以.

【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

21．已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.

(1)求的标准方程；

(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，点，直线的方程为.

【分析】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，可得点在上，代入，解得，即得的标准方程；

（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理和条件，得，由点到直线的距离为2，可得，联立可解得答案．

【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，

当为等边三角形时，的高为，

由题意知点在上，代入，得，解得，

所以的标准方程为.

（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，，

联立，得，

所以，即，且，，

所以，

由，得，

所以，所以，即，

又点在上，所以，即，①

所以，解得，

又点在第一象限，所以，所以.

又点到直线的距离，化简得，②

联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.

此时点，直线的方程为.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.

(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；

(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；

（2）先将的极坐标方程写出，再与联立解方程，由图象分析即可得出结果.

【详解】（1）由得，

消去得为的普通方程；

由，得，

令，，得为直线的直角坐标方程.

（2）在中，令，，

所以，即为的极坐标方程，

联立得，

所以，所以，又，所以，

所以或或或，解得或或或，

由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，

所以.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若的最小值为10，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或5.

【分析】（1）首先讨论去绝对值，写成分段函数的形式，再求不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式，求函数的最小值，即可求解

【详解】（1）当时，，

又，所以或或

解得或，所以，

所以不等式的解集为.

（2），

因为，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，解得或5.