2023届江西省上饶一中、上饶中学高三高考仿真模拟数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省上饶一中、上饶中学高三高考仿真模拟数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】利用复数除法运算和复数模长求法直接求解即可．
【详解】因为，
所以，
故选：A．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合A，B的具体区间，再按照交集的运算规则计算.
【详解】由题意：，，所以；
故选：C.
3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的值是（ ）
A．3．B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】按流程图顺序运算可得结果.
所以输出n为4.
故选：B.
4．在矩形中，，，为边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量表示，结合数量积的定义求.
【详解】由已知，，
又，，
所以.
所以.
故选：A.
5．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
由直观图可得原图，如图所示，可知：，
可得，
所以原三角形的周长.
故选：B.
6．南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得．
【详解】设该数列为，则由，，，，
可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为，公差为，故，
故，则，，，，，
上式相加，得，
即，故
故选：C．
7．已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得以及的最小值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为，
因为其图象关于直线对称，所以，
解得，则正数的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴．属于基础题.
9．已知函数是定义在上的连续函数，且对，满足，，.则的值为（ ）
A．5B．9C．4023D．4049
【答案】D
【分析】令，代入原式可得，利用等差数列通项公式基本量计算即可.
【详解】令，代入可得，
即，，
所以数列为等差数列，又，f(3)=9，所以公差，
所以.
故选：D
10．已知为球的直径，，是球面上两点，且，，若球的体积为，则棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由球体积求出球半径为2，从而可得和都是等腰直角三角形，从而，平面，这样的体积易求．
【详解】由，得，如图，由为球的直径，∴，，，
，∴平面，
，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得平面，用两个小棱锥体积相加得所求体积．
11．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义和题给条件求得的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进而判断选项AB；利用双曲线定义和题给条件求得的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进而判断选项CD.
【详解】对于A选项，，、，，
所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，
假设存在点，满足，则，
解得，不合乎题意，
所以A选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于B选项，，、，，
所以，，
到焦点距离的最小值为，最大值为，
假设存在点，满足，则，
解得，不合乎题意，
所以B选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于C选项，双曲线的方程为，
则双曲线的两个焦点为，、，．
到焦点距离的最小值为，
若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，
可得
所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”；
对于D选项，双曲线的标准方程为，
则，，、，所以，，
到焦点距离的最小值为，
若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，
则，解得，
所以D选项中的双曲线不存在“阿圆点”．
故选：C．
12．已知在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】先将条件转化为在上恒成立，再构造函数，，分，两种情况讨论，再结合导函数分析函数的单调性，进而即可求解．
【详解】在上恒成立，等价于在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，，
当时，则在上单调递增，则若时，，不符合题意；
当时，则，
若时，，此时单调递增；
若时，，此时单调递减，所以，
则，即，
令，，则，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
所以，所以，
所以的最小值是．
故选：D．
二、填空题
13．若实数满足约束条件，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，利用斜率公式，即可求解.
【详解】画出约束条件 所以表示的平面区域，如图所示，
则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率，
由图形可知，当直线过两点时，斜率最大，即取得最大值，
又由，解得，即，
此时，即的最大值为.
故答案为：.
14．设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________
【答案】
【分析】先求得，由，可得，由此即可求解
【详解】因为，
所以
，
由，可得，解得，
所以满足的最小值为，
故答案为：
15．我省高考实行3+1+2模式.高一学生A和B两位同学都选了历史，再从化学、生物、政治及地理四科中选择两科，选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为_________.
【答案】
【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法．由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出他们的选科至少有一科不相同的概率.
【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:
{化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6种选法.
由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，
其中两人的选科完全相同的选法有6种，
所以她们的选科至少有一科不相同的概率
故答案为：
16．已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有
，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知，，.
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
17．某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入（百万元）和相应的销售额（百万元）进行了统计，其中，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：
，，，，，，，其中，，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月科技投入的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立关于的回归方程，并据此估计月科技投入300万元时的月销售额．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）选作为回归方程类型；（2），投入300万元时的月销售额百万元.
【分析】（1）由散点图的变化趋势知，与是非线性关系，即可判断回归方程的类型；
（2）令，则为，由已知条件结合最小二乘法求参数、，进而写出回归方程并估计月科技投入300万元时的月销售额．
【详解】（1）由散点图知：随着月科技投入的增大，月销售额变化率增大，即它们是非线性关系，
∴应选择作为回归方程类型.
（2）令，则为，
∵，，，，
∴，而，
∴，即，
∴当时，百万元.
18．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若的面积为，，点为边的中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，
所以，
即，
又，则，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
则．
19．如图，在多面体ABCDE中，，平面ABC，，，，F为BC的中点，且.
(1)求证:平面ADF；
(2)求多面体ABCDE的体积.
【答案】（1）证明；
（2）.
【分析】（1）由已知条件，证明平面CDEB，所以，又因为，进而证的结论.
(2)可以把求转化为：，借助三个小三棱锥的性质求得体积.
【详解】（1）因为平面ABC，所以
因为，F为BC的中点，所以
所以平面CDEB，所以
又因为
所以平面ADF.
（2）由可得：
，又，∴，
因此：
【点睛】本题考查了空间中的线面垂直关系证明，空间几何体的体积，考查了学生的空间想象，演绎推理，数学运算能力.
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题可得 后分四种情况在条件下解不等式可得单调性；
（2）方法1，，由（1）可注意到当时，，当时，，据此可得答案；方法2，，后构造，利用导数知识求出其最小值，可得答案.
【详解】（1）的定义域为，
当，即时，由，得，由，得，
所以在上是增函数，在上是减函数；
当，即时，由，得或，由，得，
所以在和上是增函数，在上是减函数，
当，即时，恒成立，所以在上是增函数；
当，即时，由，得或，由，得，
在和上是增函数，在上是减函数
（2）（方法一）由（1）知，当时，，
要使恒成立，只需，即，可得.
当时，注意到，不符合题意，故，即实数的取值范围为.
（方法二）由，可得.构造函数，，易知，
所以.令，则.
令，则，
由，得，由，得，
易知在上是减函数，在上是增函数，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，，
由，得，故实数的取值范围为.
21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，P为椭圆C上一点（除左、右顶点），直线PF₁，PF₂与椭圆C的另一个交点分别为A，B，且，，当m=1时，．
(1)求椭圆C标准方程；
(2)试判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．
【答案】(1)
(2)的定值是
【分析】（1）根据得出轴，设出P点坐标，利用以及离心率可得方程；
（2）设出的方程，分别与椭圆联立，利用，，表示出结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）当时，轴，
设P点坐标为代入椭圆方程得：，
所以，即，又因为，，
解得：，，，所以椭圆C的标准方程为：．
（2）设，，，，，其中.
由得：，所以，
同理可得：，由可得，
即
所以
，
所以的定值是.
22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)设射线和射线分别与曲线交于、两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程；
（2）求出、，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得，结合可求得的最大值.
【详解】（1）解：由可得，
即，故曲线的普通方程为，
因为，，
所以曲线的极坐标方程为，即.
（2）解：由题意知，，
∴
，
因为，则，
所以当，即当时，的面积最大，且最大值是.
23．已知函数.
(1)若，解不等式；
(2)若，且不等式的解集非空，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形不等式得，结合已知条件可得结果；
（2）由题意，存在x使不等式成立，即成立，而，则，分类讨论求解即可.
【详解】（1）根据三角形不等式得，，
当且仅当时，等号成立,
因为，所以恒成立，不等式的解集为.
（2）当时，不等式的解集非空，
即存在x使不等式成立，即成立，
因为，当且仅当时，等号成立,
即，所以，即，
当时，，解得，所以，
当时，恒成立，所以，
当时，，解得，所以，
综上所述：a的取值范围是.
【详解】a=8，b=3，n=1
n=2
n=3
n=4
a=8+4=12
a=12+6=18
a=18+9=27
b=2×3=6
b=2×6=12
b=2×12=24
b=2×24=48
12≤6？否
18≤12？否
27≤24？否
？是