2021山东省招远市一中高一下学期期末学业水平诊断数学试题含答案

2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断

高一数学

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角（    ）

A．相等   B．互补   C．相等或互补   D．不能确定

2．抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设事件“点数为奇数”，“点数为4”，则与的关系为（    ）

A．互斥   B．相等   C．互为对立   D．相互独立

3．已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为1，那么原三角形的面积为（    ）

A．   B．2   C．   D．4

4．某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为2：3，则样本容量为（    ）

A．120   B．160   C．180   D．460

5．某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门．如果他每次都随机选取-把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（    ）

A．   B．   C．   D．

6．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则（    ）

A．若，，则  B．若，，则

C．若，，则  D．若，，则

7．给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数、第50百分位数分别为（    ）

A．11，17   B．11，21   C．12，17   D．12，21

8．在右图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（    ）

A．   B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的有（    ）

A．两条相交直线确定一个平面

B．平行于同一平面的两条直线平行

C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度

D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖

10．已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（    ）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为

C．圆锥截面的面积的最大值为

D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为

11．在正方体中，点为线段上一动点，则（    ）

A．对任意的点，都有

B．三棱锥的体积为定值

C．当为中点时，异面直线与所成的角最小

D．当为、中点时，直线与平面所成的角最大

12．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（    ）

A．  B．  C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______．

14．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2，3，4，则其体对角线长度为______．

15．类比是研究数学问题的重要方法之一．数学家波利亚曾说：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理：“设的两边，则．”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则______．

16．在三棱锥中，面面，，，则该三棱锥外接球的表面积为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

如图，在空间四边形中，，，，分别为棱，，，的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）当对角线与满足什么条件时，四边形为正方形？（给出一个满足题意的条件即可，不必证明）．

18．（12分）

某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级，，的概率分别是，，．

（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；

（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率．

19．（12分）

为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高-学生成绩的平均分，方差，高二学生的成绩的统计表如下：

（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；

（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．

20、（12分）

如图，在直三棱柱中，，．

（1）求证：；

（2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

21．（12分）

《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；

（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求．

22．（12分）

如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥，

（1）若点为的中点，求证：平面；

（2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角（锐角）的余弦值．

2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断

高一数学参考答案

一、选择题

C A C D  B C D A

二、选择题

9．AC  10．BCD  11．ABD  12．ACD

三、填空题

13．0.94  14．  15．  16．

四、解答题

17．证明：（1）连接，因为，分别为棱，的中点，

所以，

同理，

所以且

所以四边形是平行四边形．

（2）当且时，四边形为正方形．

18．解：（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”．

由题意，事件，，，两两互斥，

所以．

又“延迟送达且被罚款”，

所以．

因此“延迟送达且被罚款”的概率为．

（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，．

则“两单共获得的奖励为0元”即事件，

且事件，，互斥，

又

又

所以

19．解：（1）由题意，

．

．

（2）由（1）可得，

．

20．解（1）证明：因为，，

所以平面，

平面，所以

又因为直三棱柱中，，

所以四边形为正方形，所以．

因为，所以平面，

平面，所以．

（2）过作，垂足为，连，则平面，

为与平面所成的角．

因为，则，

所以，所以．

在中，，所以．

在中，．

所以．

21．解：（1）由己知，

解得．

（2）测试成绩的平均数

．

测试成绩落在区间的频率为，

落在在区间的频率为，

所以设第57百分位数为，有，

解得．

（3）由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，

所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示．

从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，，，共10种．

其中“落在区间和”有6种．

所以．

22．解：（1）证明：取中点，连，则，．

又因为，，

所以，．

所以四边形为平行四边形，所以．

又因为平面，平面

所以平面．

（2）延长，交于点，则为平面与平面的交线

因为，，所以．

三角形中，因为，为的中点，

所以，

又因为，，

所以平面，平面，

所以．

又因为，所以平面．

平面，所以．

在三角形中，过作，垂足为，连接，因为．

所以平面，平面，所以．

所以为二面角的平面角．

在中，，，，

由，所以，．

在中，，，．

所以．

即面与面所成二面角（锐角）的余弦值为．