2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题（解析版）

这是一份2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求出,即可得到其虚部.
【详解】,
故虚部为，
故选：D
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用全程命题的否定形式，即可判断选项.
【详解】命题“，”为全称量词命题，则命题的否定为，，
故选：D.
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合B的描述求集合，应用集合的交集运算求.
【详解】解：由得，解得，所以，
又，所以，
故选：D
4．已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.
【详解】充分性：若,则由、是单位向量可知，即充分性得证；
必要性：若,则由、是单位向量可知，因为,所以,必要性得证.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：A
5．若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合不等式的性质确定正确选项.
【详解】由<0，得b∵a+b<0，ab>0，∴a+b故选：C
6．若角α的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的定义可得选项.
【详解】解：∵角的终边经过点，∴.
故选：B.
7．已知，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，对两边同时平方求出，然后对平方求值，结合的范围即可求解.
【详解】∵，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即.
故选：B.
8．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】B
【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.
【详解】由题意可知，三个年级共有(人)，
则高一抽取的人数为，
高二抽取的人数为，
高三抽取的人数为.
故选：B.
9．在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性判断函数图象．
【详解】解：指数函数是增函数，
对数函数是减函数，
故选：A.
10．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的最小正周期为，可得，令，分析即得解
【详解】由题意，函数的最小正周期为，
故
即
令
即
令，可得，故A正确；
BCD选项中，不存在与之对应，故错误
故选：A
11．若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，所以有，
因为奇函数在上是增函数，所以该函数在上也是增函数，
当时，由，
当时，由，
所以不等式的解集为
故选：C
12．在中，，则一定是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C
【分析】利用化简可得，即可判断.
【详解】，
，即，
，
，即，
所以一定是等腰三角形.
故选：C.
13．函数，且)恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数恒过点即可求解.
【详解】当时， ，
所以函数恒过定点.
故选：C
14．的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理可求，再结合正弦定理即得.
【详解】因为，不妨设，
则
所以
故选：D
15．已知，向量与的夹角为，则（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知先求出，然后根据，代值即可求解.
【详解】∵，向量与的夹角为
∴
∴
故选：D.
16．某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，则取到卡片上的数字之和不小于6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】基本事件总数，利用列举法求出取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有9个，利用对立事件概率计算公式能求出取到卡片上的数字之和不小于6的概率.
【详解】解：某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，
基本事件总数，
取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有：
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），共9个，
则取到卡片上的数字之和不小于6的概率P=.
故选：B.
17．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误．
【详解】对于①，平面，故①错误；
对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；
对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；
对于④，由于平面，故④错误．
故选：B
18．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定
【答案】B
【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有，即知的形状.
【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知，
∴为平行四边形.
故选：B
19．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
20．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数型函数和一次函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】因为该函数为增函数，
所以，
故选：A
二、填空题
21．已知向量，，若，则实数_______.
【答案】5
【分析】利用向量的加法求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
解得，
故答案为：5
22．已知，，且，则的最大值为______．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，解得，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：.
23．函数，则__________．
【答案】1
【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可.
【详解】∵，
∴，即，
∵，
∴，即．
故答案为：1．
24．在中，已知，若，则的面积为______．
【答案】
【分析】先由求出，然后再利用三角形的面积公式可求得结果
【详解】解：因为，，
所以，得，
所以，
故答案为：
25．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．
【答案】
【分析】由题可得，，根据两角和的正切公式即可求出.
【详解】、是方程的两根，并且、，
∴，，．
∴、均大于零，故、，∴．
∵，∴，
故答案为：．
三、解答题
26．已知函数的最小正周期是.
（1）求值；
（2）求的对称中心；
（3）将的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1）2；（2），；（3），.
【分析】（1）由且，即可求值；
（2）由（1）知，结合正弦函数的对称中心即可求的对称中心；
（3）由函数平移知，结合正弦函数的单调性即可求的单调递增区间.
【详解】（1），又，
∵，
∴.
（2）由（1）知，，令，解得.
∴的对称中心是，.
（3）将的图像向右平移个单位后可得：，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，
由，解得，.
∴的单调递增区间为，.
【点睛】关键点点睛：
（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.
（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求的对称中心.
（3）由函数图像平移得解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求的单调增区间.
27．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.
求证：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.
则且，
又底面ABCD是菱形，，，
又平面PAD，平面PAD，
EF平面PAD.
（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，
，
四棱锥P-ABCD的底面是菱形，
，
，且平面PAC，
平面PAC，
又因为平面PBD，
所以面PBD面PAC
28．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2)单调递减函数，证明见解析；(3).
【分析】(1)根据函数是上的奇函数，可知 ，把代入，即可得到结果；
(2)利用减函数的定义即可证明．
(3)根据奇函数的性质，可得成立，等价于成立，再根据在上是减函数，可得，由此即可求出结果．
【详解】(1)因为是奇函数，所以，解得，
(2)证明：由(1)可得： ．
设 ，∴，
则，
∴．
∴在上是减函数．
(3)∵函数是奇函数．
∴成立，等价于成立，
∵在上是减函数，∴，
所以.
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题．