北京市朝阳区2022届高三一模数学试卷

北京市朝阳区2022届高三一模数学试卷

数    学

2020.3

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合，集合，则（    ）

（A） （B） （C） （D）

（2）直线被圆截得的弦长为（    ）

（A）1 （B） （C）2 （D）

（3）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（    ）

（A） （B） （C） （D）3

（4）设，若，，，则（    ）

（A） （B） （C） （D）

（5）已知函数若，则实数的值为（    ）

（A） （B） （C）1 （D）2

（6）已知，则“”是“”的（    ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件  （D）既不充分也不必要条件

（7）已知三棱锥，现有质点从点出发沿棱移动，规定质点从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到点的不同路径的种数为（    ）

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

（8）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期．若四个数列分别满足：（    ）

①，；

②，；

③，，；

④，．

则上述数列中，8为其周期的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（9）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合．如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（    ）

（参考数据：，，）

（A） （B） （C） （D）

（10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（    ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．

（11）计算复数________．

（12）已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则________；________．

（13）已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是________．

（14）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________．

（15）在平面直线坐标系中，设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于点，且点在轴上方，过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点，与轴交于点．给出下列四个结论：

①的面积是；

②点的坐标是；

③在轴上存在点使；

④以为直径的圆与轴的负半轴交于点，则．

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（16）（本小题13分）

在中，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．

（17）（本小题13分）

某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；

（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写结果）

（18）（本小题14分）

如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，．将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面平面，

（ⅰ）求二面角的余弦值；

（ⅱ）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交．

（19）（本小题15分）

已知，．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；

（Ⅱ）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；

（Ⅲ）设，在（Ⅱ）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．

（20）（本小题15分）

已知椭圆：的一个焦点为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值．

（21）（本小题15分）

对非空数集，，定义与的和集．对任意有限集，记为集合中元素的个数．

（Ⅰ）若集合，，写出集合与；

（Ⅱ）若集合满足，，且，求证：数列，，…，是等差数列；

（Ⅲ）设集合满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且．

北京市朝阳区2022届高三一模数学试卷

参考答案

一、选择题：（本题满分40分）

二、填空题：（本题满分25分）

三、解答题：（本题满分85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）因为，

由正弦定理，

得，即．

因为，所以．

所以．

所以.所以．

所以．

所以．··············································6分

（Ⅱ）选条件②③：

由正弦定理，及，，

得，所以．

因为，所以，

所以．

所以．

所以．··············································13分

选条件①③：

由余弦定理，及，

得，

解得．

所以．

所以．··············································13分

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）由题意得，，

解得．

因为，

所以估计全校学生的平均成绩为72.6．·······················4分

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以X的分布列为

所以X的数学期望为．···································10分

（Ⅲ）．·················································13分

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）因为，，

所以．

所以，．

又因为平面，平面，，

所以⊥平面．·········································4分

（Ⅱ）（i）因为平面⊥平面，平面平面，

平面，，

所以平面．

因为平面，

所以．

又因为，

如图建立空间直角坐标系，

则，，，

，，．

所以，．

设平面的一个法向量为，

则即

令，则，．

所以．

由（I）可知，平面，

所以平面的一个法向量是．

所以．

由题可知，二面角为锐角，

其余弦值为．·········································10分

（ii）设是线段上一点，设．

则．

解得，，．

所以．

因为，

所以．

所以直线与平面相交．··································14分

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ），

因为曲线在点处的切线与轴重合，

所以．

所以, 经检验符合题意.·····································4分

（Ⅱ）①当时，，

函数在区间上单调递增，所以在区间上无极值．

所以不合题意．

②当时，令，解得．

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减．

所以当时，函数取得极大值．

令，解得．

所以的取值范围是．··································10分

（Ⅲ）由题可知，，．

则．

令，即，解得．

因为，则，所以．

当，，所以函数在区间上单调递减．…15分

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由已知得半焦距，因为椭圆过点，

由椭圆定义得，所以．

又因为，所以．

所以椭圆方程为．离心率．·······························5分

（Ⅱ）依题可设直线．

由得．

令，得或．

设，，

则，

所以．

由题得，则．

则

．············································15分

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ），

．··················································4分

（Ⅱ）因为，

所以中至少包含个元素，所以．

因为，由题得，

又因为是整数，

所以．

所以．

所以中的所有元素为．

又因为是中的个元素，且，

所以（），

即（），

所以．

所以数列是等差数列．···································9分

（Ⅲ）因为，所以．

设，其中，．

设是首项为，公差为的等差数列，

即，．

令集合，

则．

所以，

即．

因为，

所以．

所以．··············································15分