2022年天津市红桥区中考数学结课试卷（含解析）

2022年天津市红桥区中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 的值为

A.  B.  C.  D.

3. 下面四个关系式中，是的反比例函数的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，在中，，下列结论中正确的是

A.
B.
C.
D.

6. 方程的两个根为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 如图，在▱中，，，是的中点，在上取一点，使∽，则的长是

A.
B.
C.
D.

8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

9. 关于某个函数的解析式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象过点；乙：函数图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大．则这个函数的解析式可能是

A.  B.  C.  D.

10. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接以为圆心，长为半径画，交于点，连接则的度数为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，交于点，分别交，于点，，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，二次函数为常数，的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：；；函数的最大值为；当时，其中，正确结论的个数是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 的值等于______．
14. 一个不透明的袋子里装有个球，其中有个红球，个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为______．
15. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式解析式也称表达式为______ ．
16. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值为______．
17. 如图，，，是半径为的上的三个点，若，，则______．
    
     

18. 如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共56分）

19. 如图，在中，为边上一点，，若，，，求，的长．
     

20. 如图，在中，，，，求，，的值．
    
     

21. 如图，它是反比例函数为常数，且图象的一支．
    Ⅰ图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围；
    Ⅱ点在该反比例函数的图象上．
    判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由；
    在该函数图象的某一支上任取点和如果，那么和有怎样的大小关系？
22. 已知直线与，是的直径，于点．
    Ⅰ如图，当直线与相切于点时，若，求的大小；
    Ⅱ如图，当直线与相交于点、时，若，求的大小．

23. 如图，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛在它的北偏东方向，此时轮船与小岛相距，继续航行到达点处，测得小岛在它的西北方向，求此时轮船与小岛的距离和轮船航行的距离结果保留小数点后一位．
    参考数据：，，，取．

24. 已知抛物线为常数，经过点，，与轴交于点点为第二象限内抛物线上一点，连接，与轴相交于点．

Ⅰ求该抛物线的解析式；
Ⅱ连接，当时，求直线的解析式；
Ⅲ连接，与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．
 

3.【答案】

【解析】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是二次函数，故此选项不符合题意；
C、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意．
本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：主视图：底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
俯视图：底层右侧是两个小正方形，上层左侧是两个小正方形；
故选：．
根据三视图的定义求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：在中，，
则，，，．
故选：．
根据锐角三角函数的定义解答．
本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
或，
，，
故选：．
根据解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：∽，
，
四边形是平行四边形，，，是的中点，
，，，
，
解得，
，
故选：．
根据∽，可以求得的长，根据平行四边形的性质可以得到的长，然后即可计算出的长．
本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出的长．
 

8.【答案】

【解析】解：，
反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，随着增大而减小，
根据，，点横坐标，可知点，在第三象限，在第一象限，
；
故选：．
根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项C不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项A不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项B不符合题意；
对于函数，图象过点，函数图象经过第四象限，当时，随的增大而增大，故选项D符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
 

10.【答案】

【解析】解：由作法得，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由作法得，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质计算的度数．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
，，
在和中
，
≌，
，
，即，故B正确，
其它选项的结论都不能证明，
故选：．
根据将绕点顺时针旋转，得到，可证明≌，从而可得，即可得到答案．
本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握掌握旋转的性质，证明≌．
 

12.【答案】

【解析】解：由图象知，，，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
故正确；
抛物线过点，
，
．
则，
故正确；
，
，
由图象知，当时，函数取得最大值，
函数的最大值为．
故正确；
由抛物线的对称性可知，抛物线过点，
当时，抛物线取得最小值为，
当时，抛物线取得最大值为．
当时，．
故错误．
正确的结论有个．
故选：．
由图象知，，，因为抛物线的对称轴为，可得，所以，可得，可判断；利用，可得，即可判断；由图象知，当时，函数取得最大值，即函数的最大值为，进而可判断；由图象可知，当时，抛物线取得最小值，当时，抛物线取得最大值，故当时，，可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值，得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：盒子中装有个红球，个白球，共有个球，
从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；
故答案为：．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】

【解析】解：设，
把点代入函数得，
则反比例函数的解析式为，
故答案为．
先设，再把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：抛物线与轴只有一个交点，
，
解得，，
故答案为：．
根据抛物线与轴只有一个交点，可知，从而可以求得的值．
本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，连接，

，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据题意得出，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和即可求解．
本题考查圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，
在纸片中，，
由勾股定理得：．
将沿翻折得，
，，
平分，
，
，
设，
在中，，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案是：．
由翻折得出，，再根据平分，得出，然后借助相似列出方程即可．
本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．
 

19.【答案】解：，，
∽，
，
，
，，
，
的长为，的长为．

【解析】根据两角相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，，


，
，
，
．

【解析】根据勾股定理求出斜边的长，根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键．
 

21.【答案】解：Ⅰ反比例函数为常数，且图象的一支在第二象限，
另一支在第四象限，
，
解得；
Ⅱ点在该反比例函数的图象上，
，
解得，
反比例函数解析式，
点，在反比例函数图象上，点不在，理由如下：
，
点在反比例函数图象上，
，
点不在反比例函数图象上，
，
点在反比例函数图象上，
综上，点，在反比例函数图象上，点不在；
，
反比例函数在每一分支上，随着增大而增大，
，
．

【解析】Ⅰ根据反比例函数图象的一支在第二象限，可确定另一分支，并根据，求出取值范围；
Ⅱ将点代入反比例函数解析式，求出，根据反比例函数解析式即可判断点在不在反比例函数图像上；根据反比例函数增减性比较即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：Ⅰ如图，连接，
直线与相切于点，
，
，
，
，
，
，
；

Ⅱ如图，连接，
是的直径，
，
，
，
在中，四边形是圆的内接四边形，
，
，
．

【解析】Ⅰ如图，首先连接，根据当直线与相切于点，于点易证得，继而可求得；
Ⅱ如图，连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，由三角形外角的性质，可求得的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得的度数，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

23.【答案】解：过点作于，如图所示：
则，
由题意得：，，，
在中，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
答：此时轮船与小岛的距离约为，轮船航行的距离约为．

【解析】过点作于，由，，求出与的长，再由是等腰直角三角形，得，，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：Ⅰ二次函数的图象经过点，，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；

Ⅱ如图，

，，
，
，
令，得，
，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
设所在直线表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为；

Ⅲ如图，过点作轴于，与交于点，过点作轴的平行线与相交于点，

设直线表达式为，
，，
，
解得：，
直线表达式为，
点的坐标为，
，
，
∽，
，
设，则，
，
当时，有最大值，
此时，点的坐标为．

【解析】Ⅰ利用待定系数法即可求出答案；
Ⅱ由以及三角形外角的性质可得，则，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案；
Ⅲ过点作轴于，与交于点，过点作轴的平行线与相交于点，利用待定系数法求出直线表达式，再利用，可得∽，进而得出，设，则，从而得到，利用二次函数的性质即可求得答案．
本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．