2022届东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高三3月第一次模拟联考数学（理）试题含解析

  哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学

2022年高三第一次联合模拟考试理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项班只有一项是符合题目要求的．

1. 复数z满足，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，再根据复数除法运算求解即可.

【详解】解：由得

故选：B

2. 已知集合，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合，根据二次根式的意义求出集合，利用并集的定义和运算直接计算即可.

【详解】.

.

因此.

故选：D

3. 下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（）的观测值：

396    275    268    225    168    166    176    173    188    168    141    157

若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是（    ）

A. 极差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案．

【详解】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396+25＝421，极差为最大值与最小值的差，要发生改变，

加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为176，发生改变，

众数为数据中出现次数最多的数，不会改变，

平均数体现数据的整体水平，要发生改变.

故选：C.

4. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】D

【解析】

【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.

【详解】A. 若，，则两直线平行，相交，异面，故A错误；

B. 若，，与平行或相交，故B错误；

C. 若，，，则平行或异面，故C错误；

D. 若，，则，若，，故D正确.

故选：D

5. 等差数列的前n项和为，已知，，则（    ）

A. 3 B.  C. 5 D.

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列的公差为，进而得，解方程得，再根据等差数列前n项和公式求解即可.

【详解】解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得

所以

故选：C

6. 直线l：与圆交于A，B两点，若，则m的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题知圆心到直线l的距离为，进而得，解方程即可得答案.

【详解】解：由题知：圆的圆心为，半径为，

因为直线l与圆相交形成的弦长为，

所以圆心到直线l的距离为，

所以，解得.

故选：C

7. 已知a，，则“”的一个必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是必要条件，故错误；

对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；

对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；

对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.

故选：B

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得到，，，即可得到答案.

【详解】因为，，

所以.

因为，即.

因为，.

所以.

故选：B

9. 已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用排除法求解，对于B选项，函数有意义，则且且，排除；对于C选项，函数有意义，则，排除；对于D选项，根据时函数值得符号判断即可.

【详解】解： 对于B选项，函数有意义，则，解得且且，故不满足，错误；

对于C选项，函数有意义，则，解得，故不满足，错误；

对于D选项，当时，，故图像不满足，错误.

故根据排除法得与此图像最符合.

故选：A

10. 已知数列满足对任意的正整数n，都有，其中，则数列的前2022项和是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，利用的关系，求得数列类型，再利用等比数列的前项和公式即可求得结果.

【详解】不妨设数列的前项和为，故由题可得，

故当时，，则，

即，又当时，，

故该数列是，且从第二项起是公比为的等比数列.

故.

故选：C.

11. 如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，还原几何体，并求得其外接球表面积的表达式，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】根据三视图，可以还原几何体如下所示，为方便讨论，在长方体中还原如下：

如图所示，三棱锥即为所求几何体，其中长方体的长、宽、高分别为，

故该几何体的外接球与长方体外接球是同一个球，设其半径为，

则，故其外接球表面积，

又因为，

故可得，

当且仅当时取得最小值；

故外接球表面积的最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考察根据三视图还原几何体，以及长方体外接球半径的求解和利用基本不等式求最值，属综合困难题.

12. 已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可.

【详解】假设点在轴上方，设，则，

由已知得，，

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

∴ ，，

∴

考虑对勾函数，

由于为椭圆的短轴端点时，，取最小值，即取最小值，

也取最小值，此时，

∵函数在上单调递减，

∴，即，解得.

即椭圆离心率的取值范围为.

故选：.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，点的坐标为，则点的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量的坐标运算可求得点的坐标.

【详解】设点，因为，则，解得，.

故点.

故答案为：.

14. 对称性是数学美的重要征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______．

【答案】

【解析】

【分析】先明确是几何概型中的面积类型，通过试验求得概率，

再求得正方形面积，再由几何概型概率公式建立方程求解.

【详解】由题意可知，正方形面积为，

设图中对称蝴蝶的面积为，则

即，

所以可估计图中对称蝴蝶的面积是.

故答案为：.

15. 在棱长为的正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则在侧面上动点的轨迹与棱、所围成的图形面积是______．

【答案】

【解析】

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，则，，求出点的轨迹方程，再利用定积分可求得结果.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设点，则，，则点到直线的距离为，

因平面，平面，所以，，

所以，点到直线的距离为，

由已知可得，化简可得，

当时，，即点的轨迹交棱于点，

因此，在侧面上动点的轨迹与棱、所围成的图形面积是.

故答案为：.

16. 已知函数，，恰有个零点、、，且，有下列结论：

①；

②；

③；

④．

其中正确结论的序号为______．（填写所有正确结论的序号）

【答案】②③④

【解析】

【分析】作出图形，分析可知，，且直线直线与曲线相切于点，可得出，利用反证法结合二倍角公式可判断①；由已知条件可判断②；利用二倍角的正弦公式和弦化切可判断③；利用已知条件可判断④.

【详解】如下图所示：

因为，则，由图可知，，则，

且直线与曲线相切于点，

对于①，若，即，

由题意可得，所以，，即，

解得，因为，则不成立，①错；

对于②，因为，则，②对；

对于③，当时，，，

由题意可得，可得，

所以，，所以，，③对；

对于④，由上可知，所以，，

因此，，④对.

故答案为：②③④.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如下：

（1）依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；

（2）请完成下列列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？

附：，其中．

【答案】（1）女性老人；理由见解析；   

（2）有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关；

【解析】

【分析】（1）由茎叶图可推断出女性老人幸福指数的均值更大；（2）由茎叶图补全列联表，计算卡方，并对比临界值表判断是否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.

【小问1详解】

由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在40~60之间，男性老人的幸福指数主要集中在30~50之间，所以可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，所以女性老人幸福指数更高.

【小问2详解】

由茎叶图可得下列列联表：

所以，

所以有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.

18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点D．

（1）求角B的大小；

（2）记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由，化简得到，求得，即可求解；

（2）选①：由余弦定理列出方程求得，令，结合三角形的面积公式，求得则，，即可求得的值；

选②：由，求得，利用余弦定理列出方程求得，联立方程组求得，结合面积公式求得，即可求得的值.

【小问1详解】

解：因为，由正弦定理可得，

又由，

可得，

因为，可得，所以，即，

又因为，可得.

【小问2详解】

解：选①：因为，，

由余弦定理可得，

整理得，解得，

因为为的平分线，令，

则，，

所以，故的值为.

选②：，，，

由，解得，

又由，由余弦定理可得，

即，可得，

又因为，可得，所以，即，

联立方程组，解得，

由为的平分线，令，

所以，，

所以，故的值为.

19. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）作图，由对应比例证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算.

【小问1详解】

连接，交于点，连接，由题意，四边形为平行四边形，所以，因为E为中点，∴，∴，且相似比为，∴，又∵，为，中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.

【小问2详解】

连接，因为，，所以，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，则，，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20. 已知椭圆C：，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接（O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q．若直线OP，OQ的斜率分别为，．

（1）求的值；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，由题意，写出直线，的方程，求出点的坐标，从而表示出；（2）设直线，的方程，联立方程求得的坐标，计算点到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式求解最大值.

【小问1详解】

，设，由题意，直线的方程为：①，直线的方程为：②，由①②得，点，可得，∴.

【小问2详解】

由（1）知，设直线的方程：，直线的方程：，

由，

由对称性，不妨设，

∴，，

由（1）知，异号，∴异号，

∴，

点到直线的距离，

所以，

因为，当且仅当，取等号，

所以面积的最大值为.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21. 已知函数（其中e是自然对数的底数）．

（1）当时，证明：；

（2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的取值集合；

（ⅱ）证明：．参考数据：，，

【答案】（1）证明见解析；   

（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）设，求导判断单调性，从而证明，进而可证明，可得，即证；（2）（ⅰ）由已知判断得，分类讨论与的情况，令新函数，求导判断单调性，从而判断是否恒成立；（ⅱ）由（ⅰ）得，从而可得，可证明，因为，即证.

【小问1详解】

设，则，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，即（当且仅当时取等号），∴，则，即（当且仅当时取等号），因为上述两个不等式等号不同时取到，∴，所以.

【小问2详解】

（ⅰ）由已知，，且为正整数，所以或，当时，令，∴在区间上单调递增，所以，∴在上单调递增，所以，即恒成立；当时，令，在单调递增，∵，，∴存在，使得，当时，，则在上单调递减，∴，从而不满足恒成立，故，综上，正整数k的取值集合为.

（ⅱ）由（ⅰ）知，时，，令，则，∴，∴，∵且，∴，∴，∴

【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

选修4－4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．

（1）分别写出的普通方程与的直角坐标方程；

（2）将曲线绕点按逆时针方向旋转90°得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．

【答案】（1）曲线的普通方程为；的直角坐标方程为.   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式直接求解即可得的直角坐标方程；

（2）结合（1）得曲线为直线，倾斜角为，过点，进而写出曲线的参数方程，根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【小问1详解】

解：由题得，进而代入消去参数得曲线的普通方程为；

对方程两边同乘以得，

所以根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系得的直角坐标方程为

【小问2详解】

解：由（1）知曲线表示直线，倾斜角为，

所以曲线为直线，倾斜角为，过点

所以曲线的参数方程为（为参数），

代入曲线得，

设A，B两点的参数分别为，则

所以得.

所以.

选修4－5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由绝对值三角不等式得函数最小值为，即，再根据柯西不等式求解即可.

【小问1详解】

解：由题知，

所以当时，，所以；

当时，恒成立，所以；

当时，，所以.

综上，不等式的解集为.

【小问2详解】

解：由绝对值三角不等式得，当且仅当时等号成立，

所以函数最小值为，即.

所以，

因为，

所以由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，

所以，即的最小值为.