2021-2022学年山西省怀仁市第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年山西省怀仁市第一中学高二上学期期末

数学（文）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）．

A．30° B．60° C．90° D．120°

【答案】B

【分析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.

【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，

显然，则有，解得，

直线的倾斜角为.

故选：B

2．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.

【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，

所以椭圆离心率.

故选：C

3．记等差数列的前n项和为，若，，则等于（       ）．

A．5 B．31 C．38 D．41

【答案】A

【分析】设等差数列的公差为d，首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.

【详解】解：设等差数列的公差为d，由题知：，解得.

故选：A.

4．已知，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复合函数求导法则计算．

【详解】由题意，

故选：A．

【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础．

5．若直线与圆只有一个公共点，则m的值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简求得的值.

【详解】圆的圆心为，半径为，

直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切，

所以.

故选：D

6．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（       ）．

A． B． C．14 D．16

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.

【详解】是函数的两个不同零点，

所以，

由于数列是等比数列，

所以.

故选：C

7．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（       ）

A．10 B．20 C．30 D．40

【答案】B

【分析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.

【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为

由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，

因为离心率为，即，可得，

所以，

所以双曲线的方程为：，

因为瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，

将代入双曲线可得，解得：，

所以颈部高为，

故选：B

8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.

【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，

故选：D

9．已知数列，，则下列说法正确的是（       ）

A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是

C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是

【答案】B

【分析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.

【详解】令，则，

当时，

当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减

所以当即时，取得最大值，

所以此数列的最大项是，最小项为

故选：B．

10．函数在上的极大值点为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点．

【详解】，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴函数在的极大值点为．

故选：C

11．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离．

【详解】抛物线方程为，则，

由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，

即，

所以线段的中点到准线的距离为.

故选：C．

12．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.

【详解】对任意，都有成立，即．

令，则，

所以函数在上单调递增．

不等式即，即．

因为，所以．

所以，，解得，

所以不等式的解集为．

故选：C.

二、填空题

13．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______．

【答案】

【分析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.

【详解】圆的方程可化为，

所以圆心为，半径.

由于，所以原点在圆外，

所以的最大值为.

故答案为：

14．已知函数，则______．

【答案】

【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解.

【详解】函数，求导得：函数，

当时：，解得，

所以.

故答案为：

15．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______．

【答案】

【分析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.

【详解】由，，令，

其中m为正整数，有，又为正整数，所以

当时，解得，当时，解得不是正整数，

故答案为：

16．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______．

【答案】

【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.

【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，

因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，

由双曲线定义知：，即，，，

所以双曲线的渐近线为：.

故答案为：

【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线

(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.

三、解答题

17．已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.

(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.

(1)

设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，

所以数列的通项公式是：.

(2)

由(1)知，，，

，

所以数列的前n项和.

18．已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.

（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.

(1)

点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为.

(2)

当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.

当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.

19．已知函数在处取得极值．

（1）求实数a的值；

（2）若函数在内有零点，求实数b的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得，从而可求出a的值；

（2）先对函数求导，求得函数的单调区间，从而可由函数的变化情况可知，要函数在内有零点，只要函数在内的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式组可得答案

【详解】解：（1）在处取得极值，

∴，∴．经验证时，在处取得极值．

（2）由（1）知，

∴极值点为2，．   

将x，，在内的取值列表如下：

 由此可得，在内有零点，只需∴．

20．已知数列的前项和满足

(1)证明：数列为等比数列；

(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可；

（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解即可

(1)

当时，，

．

，

当时，，

，

，

数列是以为首项、以为公比的等比数列．

(2)

由（1）得，，即，

，．

设等差数列的公差为，则，，

，，

，

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．

【答案】(1)；

(2)理由见解析，圆的方程为.

【分析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.

(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.

(1)

因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，

，因此，，解得，，

所以椭圆C的标准方程是：.

(2)

由消去y并整理得：，

依题意，，设，

，因，

则

，

于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，

所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.

【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，

再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.

22．已知函数在处的切线与直线平行．

(1)求的值，并求此切线方程；

(2)证明：．

【答案】(1)；；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；

（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.

(1)

，，

在处的切线与直线平行，即切线斜率为，

，解得：，，，

所求切线方程为：，即；

(2)

要证，即证；

①当时，，，，即，

；

②当时，令，

，，

当时，，，，，即，

在上单调递增，，

在上单调递增，，

即在上恒成立；

综上所述：.

【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.