山西省孝义市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021-2022 学年第一学期高一期末教学质量检测试题（卷）

数学

注意事项∶

1． 答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上．

2． 请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效．

3．本试题考试时间 120分钟，满分150分．

一、多项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“x>1， 2x+1>5"的否定是（    ）

A. x≤1， 2x+1>5 B. x>1， 2x+1≤5

C. x>1， 2x+1≤5 D. x>1， 2x+1>5

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求出结果.

【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x>1， 2x+1>5"的否定是x>1，2x+1≤5，

故选：C.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定函数有意义列出不等式组，解不等式组作答.

【详解】函数有意义，则，解得或，

所以函数的定义域是.

故选：D

3. 若，，则一定有（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断.

【详解】解：根据，有，由于，两式相乘有，

故选：A.

4. 若角a与角β的终边关于y轴对称，则下列关系式恒成立的是（    ）

A. sina = sinβ，cosa = cos β B. sina=-sin β，cosa=-cos β

C. sina = sin β，cosa=-cos β D. sina=-sin β，cosa= cos β

【答案】C

【解析】

【分析】角a与角β的终边关于y轴对称，利用三角函数线可以判断正弦值相等，余弦值相反数.

【详解】因为角a与角β的终边关于y轴对称，利用单位圆或者三角函数线可知，正弦值相等，余弦值互为相反数，所以C正确.

故选：C.

5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦函数、对数函数的单调性，再借助“媒介”数比较作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

对数函数在上单调递增，而，则，即，

，

所以.

故选：A

6. 函数(且)的图像恒过定点P，则点P的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件利用对数函数图象恒过定点直接计算作答.

【详解】对任意且，当，即时，恒有，

即函数(且)的图像恒过定点，

所以点P的坐标是.

故选：C

7. 函数在上单调递增的充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数在上单调递增的等价条件，再利用充分性、必要性定义直接判断作答.

【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，于是得，解得，

所以函数在上单调递增的充分不必要条件是.

故选：B

8. 已知函数f (x)是偶函数，在上是减函数，若．则实数x的取值范围是（    ）

A. (1，4) B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用偶函数的性质可得，然后利用函数的单调性即得.

【详解】∵函数f (x)是偶函数，在上是减函数，

∴，，

∴，

解得.

故选：D.

9. 已知，， 则= （    ）

A. 2 B. -2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答.

【详解】因，，则，

所以.

故选：D

10. 已知(a，b是常数)是定义在R上的奇函数，且对，都有，则（    ）

A. 仅有最小值，为 B. 仅有最大值，为

C. 既有最大值，为，又有最小值，为 D. 既无最大值，也无最小值

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数是奇函数探求a与b的关系，再由条件可得在R上递增，然后借助均值不等式判断作答.

【详解】因(a，b是常数)是定义在R上的奇函数，则，

即，即，

因对，都有，则有函数在R上单调递增，

而在R上单调递增，即在R上单调递减，因此，，，

于是得，当且仅当时取“=”，

而，

所以，仅有最大值，为.

故选：B

二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分．）

11. 若，则角θ的取值范围可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据给定条件利用平方关系化简等式左边，再分析比较的符号即可推理作答.

【详解】依题意，，

则，即，由给定选项知，角终边不在坐标轴上，

从而有与异号，为第二象限角或第四象限角，

若为第二象限角，则，，，

若为第四象限角，则，，.

故选：BD

12. 已知函数的最小正周期为4π ，其图像关于直线轴对称，给出下面四个结论，其中正确的是（    ）

A. 函数f(x)在区间上先增后减；

B. 将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称

C. 点是函数f(x)图像的一个对称中心；

D. 函数f(x)在上的最大值为1．

【答案】AC

【解析】

【分析】三角函数综合性质，利用周期与对称性先求出表达式，再判断函数的单调区间，中心对称点，以及在给定范围上的最值问题.

【详解】函数的最小正周期为，

可得=．∴ ．其图象关于直线对称．

即，可得．

∵ ．∴．

∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin；

对于A：令．

可得．

∴是f(x)的单调递增区间， 令．

可得．

∴是f(x)的单调递减区间，

∴函数f(x)在区间上先增后减；

对于B：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到，不关于原点对称；

对于C：令，可得，

∴点是函数f(x)图象一个对称中心；

对于D：由，得，

∴当时取得最大值为．

∴故选：AC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.

【答案】2

【解析】

【分析】由幂函数系数为1得或，再检验对称性即可.

【详解】函数是幂函数，

∴，解得或，

当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；

当时，函数的图象关于轴对称；

∴实数．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了求解幂函数的解析式，解题的关键是熟悉幂函数的性质，属于基础题.

14. 化简______．

【答案】

【解析】

【分析】由二倍角公式变形后，用诱导公式变形可得．

【详解】．

故答案为：．

15. 已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】由复合函数单调性得出在区间上单调递减，对分类讨论，结合单调性得到不等关系，求出实数a的取值范围.

【详解】由函数在区间上单调递增，

得函数在区间上单调递减，

当时，在区间上单调递减，符合题意．

当时，由在区间上单调递减，

得，解得：．

当时，由在区间上单调递减，

得，解得：．

综上所述，的取值范围是．

16. 已知函数，又函数g(x)＝f(x)－t有4个不同的零点，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】作f(x)图像，y＝f(x)与y＝t的交点横坐标即为g(x)零点，数形结合求出零点的范围和关系即可.

【详解】f(x)如图：

画图可得，，，＋＝6，

由得，＝1．

因此＝，

∵y＝(6－)在(2，)上单调递增，

∴y∈．

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分；第18、19、 20、 21、 22题每题12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17 设全集，集合，}．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合、，再求即可；        

（2）由得，分 、 列出关于的不等式再解不等式可得答案．

【小问1详解】

集合，

，

当时，，所以.

【小问2详解】

若，则，                                    

当 时，，所以，                                

当 时，，解得，                           

综上所述，实数k的取值范围是．

18. 已知角A为三角形的内角，且

（1）判定△ABC的形状；

（2）求tanA．

【答案】（1）钝角三角形   

（2）－

【解析】

【分析】(1)将已知式子两边平方得sinAcosA，根据其正负即可判断角A大小；

(2)求出sinA－cosA，与已知条件联立即可求出sinA和cosA，由此可求tanA.

【小问1详解】

∵①，

两边平方得1＋2sinAcosA＝，

∴sinAcosA＝－．

由sinAcosA＝－＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，

∴A为钝角，△ABC是钝角三角形．

【小问2详解】

(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋＝．

又sinA＞0，cosA＜0，sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝②，

∴由①②可得sinA＝，cosA＝－，则tanA＝＝－．

19. 已知锐角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．

（1）求的值；

（2）若，且求角β的大小．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角函数的定义及诱导公式即得；

（2）利用二倍角公式，同角关系式及和差角公式即求.

小问1详解】

由角的终边过点，得，

所以.

【小问2详解】

由角的终边过点得，

∴，，

由，，得

又，故得．

=+=,又，

因此.

20. 已知1≤x≤27，函数(a＞0)的最大值为4，最小值为0．

（1）求a、b的值；

（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)化简f(x)解析式，将看作整体即可求f(x)最值，即可求出a、b的值；

(2)化简g(t)，化简不等式，参变分离k和t，得k≤h(t)，问题等价于.

【小问1详解】

，

由1≤x≤27得，，

又a＞0，因此的最大值为，

最小值为，

解得．

【小问2详解】

，

又，，

而在上单调递减，在上单调递增．

由不等式在上有解，

得：．

因此，的取值范围是．

21. 已知函数．

（1）若函数f(x)的最小正周期为π．求及函数f(x)的定义域；

（2）当时，函数f(x)的值域为求的取值范围．

【答案】（1）；定义域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换，化简函数解析式，然后根据周期即可求出，进而可求出函数的定义域;

（2）结合已知条件以及正弦函数的图象与性质即可得到，进而可以求出结果.

【小问1详解】

，

由函数f(x)的最小正周期为，可得，． 

函数f(x)定义域为．

【小问2详解】

当时，，

由函数f(x)的值域为得，．                

解得．

因此，的取值范围是．

22. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．

（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；

（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．

【答案】（1），，   

（2）当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元

【解析】

【分析】(1)根据题意得，代入化简即可；

(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.

小问1详解】

由题意得

，

即，，.

【小问2详解】

由，得，

因，当且仅当时取等号，所以.

故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.