2022年四川省德阳市绵竹市中考数学一诊试卷（含解析）

2022年四川省德阳市绵竹市中考数学一诊试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 医学研究发现一种新病毒的直径约为毫米，则这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 由个小立方体搭成如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在数轴上有点，，，对应的数分别是，，，，，，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 在学校数学竞赛中，某校名学生参赛成绩统计如图所示，对于这名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 极差是

7. 已知分式，，其中，则与的关系是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在▱中，，，，过的中点作，垂足为点，延长交的延长线于点，连接，则的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，为的内接等边三角形，直径，且交于点，交于点，若，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

10. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，菱形和菱形的边长分别为和，，则图中阴影部分的面积

A.  B.  C.  D.

12. 如图，，，点在边上与、不重合，四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：；：：；；，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 的平方根是______．
14. 分解因式：______．
15. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______．
    
     

16. 关于的一元二次方程有两个不相等的的实数根，则的取值范围是______．
17. 已知在平面直角坐标系中，等边的顶点、、的坐标分别为、、，且，则等边的边长为______．
18. 平面直角坐标系中有两条抛物线：与：，其中下列三个结论中：
    如果抛物线与轴的一个交点为，那么是抛物线与轴的一个交点；
    如果当时随的增大而增大，那么当时也随的增大而增大；
    如果，那么的取值范围为．
    其中正确结论是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 把两个等腰直角和按如图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为．
    
    当时，与的位置关系是______ ，与的位置关系是______ ．
    如图，当点在线段上时，求的度数；
    若的外心在边上，直接写出旋转角的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为庆祝中国共产党成立周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．

根据图表信息，回答下列问题：
表中 ______ ；扇形统计图中，等级所占的百分比是______ ；等级对应的扇形圆心角为______ 度；若全校共有名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有______ 人；
若分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有人被选中的概率．






 

22. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
    求、两种粽子的单价各是多少？
    若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
    填空：一次函数的解析式为______，反比例函数的解析式为______；
    请直接写出不等式组的解集是______；
    点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的最大值和最小值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
    求证：是的切线；
    求的度数；
    点是的中点，交于点，若，求的值．

25. 如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，直线：与轴交于点动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
    求抛物线的解析式；
    当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
    点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：毫米，则这个数用科学记数法表示为毫米，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】
 

【解析】解：该几何体的主视图是

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，，，且表示的是，
，，，
A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，，，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
利用给出的有理数，进行计算即可．
本题考查的是有理数的加减法，解题的关键就是利用运算法则进行计算．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】
 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，众数是；故A选项说法正确，不符合题意；
共有个数，中位数是第、个数的平均数，中位数是；故B选项说法错误，符合题意；
平均数是；故C选项说法正确，不符合题意；
极差是：；故D选项说法正确，不符合题意．
故选：．
根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差的定义，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
和互为相反数，即．
故选：．
先把式进行化简，再判断出和的关系即可．
本题考查的是分式的加减法，先根据题意判断出和互为相反数是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，
，．
，，
，．
是的中点，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，．
，，
，
，
．
故选：．
先根据求出，证明≌，求出，，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，延长交于点，连接，

为等边三角形，
，，
，
，
，
，，，
，，
为的内接等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，延长交于点，连接，由等边三角形的性质得出，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，垂径定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：令，得，
 解得，，
抛物线与轴的两个交点为和，
抛物线经过四个象限，
和分别位于原点两侧，
      即，
，
故选：．
抛物线中，令，可得，，即该抛物线与轴交点为和，又抛物线过四个象限，故这两点必须位于原点的左右两侧，故能得出正确答案．
本题主要考查了求抛物线与轴交点的方法，以及根据图象性质，确定交点的位置，由此得出不等式是本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对边平行的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，设与相交于点，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再求出的长，然后求出两个菱形的高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】

解：如图，设与相交于点，

在菱形中，，
∽，
，
即，
解得，
，
菱形和菱形的边长分别为和，，
菱形的边上的高为，菱形的边长的高为，
图中阴影部分的面积．
故选B．

12.【答案】
 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
正确；
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
正确；

，，
，
正确；
，，
∽，
：：，
，
正确；
正确的是．
故选：．
由正方形的性质得出，，证出，由证明≌，得出，正确；
证明四边形是矩形，得出，正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，正确；
证出∽，得出对应边成比例，得出，正确．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：的平方是，
的平方根是．
故答案为：．
直接利用平方根的定义计算即可．
此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，即可求得答案．
本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为，则正方形的面积为，
所以黑色部分的面积为，
则所求的概率，
故答案为：．
根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得．
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据根的判别式和已知条件得出，再求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

17.【答案】
 

【解析】解：作轴于，于，延长到，使得，连接，作交的延长线于．

是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
、、，
，，
，
，
．
故答案为．
作轴于，于，延长到，使得，连接，作交的延长线于利用相似三角形的性质解决问题即可；
本题考查等边三角形的性质，直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

18.【答案】
 

【解析】解：将代入得，
，
，
，
是抛物线与轴的一个交点，正确．
当时随的增大而增大，抛物线开口向上，
，
，
当时也随的增大而增大，正确．
，
，即，
，
，
，正确．
故答案为：．
将代入可得，等号两侧同时除以可判断，由，当时随的增大而增大可判断，从而判断，由可得，即，进而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】垂直  平行
 

【解析】解：如图，设与交于点，

在等腰直角和中，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：垂直，平行；
在等腰直角中，，，

在等腰直角中，，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
如图，

因为的外心在边上时，是以为斜边的直角三角形，
所以旋转角为或．
根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明与垂直，再根据平行线的判定可证明与平行；
利用等腰三角形的性质证明≌，求出，所以；
根据题意画出图形，由题意知，当的外心在边上时，是以为斜边的直角三角形，所以旋转角为或．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形．
 

21.【答案】，，，
分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，
甲、乙两人至少有人被选中的概率为．
 

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，等级所占的百分比是，等级对应的扇形圆心角为：，
估计成绩为等级的学生共有：人，
故答案为：，，，；

由等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

23.【答案】   
 

【解析】解：将代入得：
，解得，
一次函数的解析式为，
将代入得：
，解得，
反比例函数的解析式为；
将代入得：
，解得，
，
由图可得，得解集为：；
点是线段上一点，设，
，
，
，且，
当时，有最大值，且最大值是，
当或时，有最小值，且最小值是．
将代入得，即得一次函数的解析式为，将代入得，即得反比例函数的解析式为；
求出，由图可得，得解集为：；
由点是线段上一点，可设设，且，可得，即得当时，有最大值，且最大值是，当或时，有最小值，且最小值是．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、不等式解集、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示．
 

24.【答案】解：，
．
又，，
．
又是的直径，
．
即，
是的半径．
是的切线．

，
，
．
又，，
，
是等边三角形，
，
．

连接，，

点是的中点，
，
．
，
．
，
∽．
．
．
又是的直径，，
，．
，
．
．
 

【解析】已知在圆上，故只需证明与垂直即可；根据圆周角定理，易得，即；故是的切线；
由知结合，知，从而得出是等边三角形，据此可得答案；
连接，，由圆周角定理可得，进而可得∽，故B；代入数据可得．
此题是圆的综合问题，主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，点，
，解得，
抛物线的解析式为；
存在．
当，，解得，则，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，则，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为或；
当时，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
设，则，
把代入得，解得，，
此时点坐标为，，
综上所述，点坐标为或或或．
 

【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式；
设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，所以点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．