2021白山高一下学期期末考试数学试题含答案

白山市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．

1．复数的实部是（    ）．

A．    B．    C．    D．

2．已知数据，，，…，的方差为3，则数据，，，…，的方差是（    ）．

A．3    B．6    C．9    D．12

3．在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，则（    ）．

A．      B．

C．       D．

4．某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为，，，，，，设该选手得分的平均数为，中位数为，众数为，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

5．已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）．

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，是异面直线，，，且，则

6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在，，，四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（    ）．

女生体重直方图    男生体重扇形图

A．该校高一年级有300名男生

B．该校高一年级学生体重在区间的人数最多

C．该校高一年级学生体重在区间的男生人数为175

D．该校高一年级学生体重在区间的人数最少

7．在三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（    ）．

A．    B．   C．   D．

8．已知集合，且，，则函数有零点的概率是（    ）．

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，，则下列命题正确的是（    ）．

A．若，则是纯虚数    B．若是纯虚数，则

C．若，则是实数    D．若是实数，则

10．连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事件表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（    ）．

A．事件与事件为对立事件    B．事件与事件相互独立

C．事件与事件是互斥事件    D．事件与事件相互独立

11．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（    ）．

A．         B．角的取值范围是

C．的取值范围是     D．的取值范围是

12．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（    ）．

A．平面     B．异面直线与所成角的大小是

C．球的表面积是    D．点到平面的距离是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知向量，，若，则______．

14．已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是______．

15．已知是方程的一个根，则______．

16．如图，已知两座山的高分别为米，米，为测量这两座山峰，之间的距离，选择水平地面上一点为测量观测点，测得，，，则______米．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知向量，的夹角为30°，且，．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

18．（12分）

某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示．该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩（满分：100分），得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；

（2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数．

19．（12分）

如图，在三棱柱中，，点为，的中点，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

20．（12分）

端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中，，第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，．，在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响．

（1）分别求出，进入第二轮比赛的概率；

（2）若，两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率．

21．（12分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．

（1）求；

（2）若角的角平分线，且，求面积的最小值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

22．（12分）

如图，在正四棱锥中，点，分别在棱，上，且．

（1）证明：平面．

（2）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

白山市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学参考答案

1．C

【解析】由题意可得，

则复数的实部是．

2．D

【解析】由题意可得数据，，，…，的方差是．

3．B

【解析】由题意可得，

则．

4．A

【解析】由题意可得，

，，则．

5．D

【解析】若，，则或，则A错误；

若，，则或，相交，则B错误；

若，，则或，则C错误；

若，是异面直线，，，且，则，则D正确．

6．C

【解析】由题意可得该校高一年级有名女生，

则有名男生，

则男生体重在，，，区间内的人数分别为75，150，175，100，

从而该校高一年级学生体重在，，，区间的人数分别为135，270，255，140，故A，B，D错误，C正确．

7．B

【解析】如图，分别取棱，的中点，，连接，，，．

由题意可得，，则平面．

因为平面，所以．

因为，分别是棱，的中点，

所以，则是异面直线与所成的角．

因为，分别是棱，的中点，

所以，则．

设，则，．

因为平面平面，且，

所以，所以，

所以，则，

故．

8．A

【解析】由题意可得总的基本事件数为9．

当时，符合条件的基本事件有3个；

当时，有零点，则，即，

从而符合条件的基本事件有4个．

故所求概率．

9．BCD

【解析】由题意可得，．

当且时，是纯虚数，则A错误，B正确；

当时，是实数，则C，D正确．

10．BC

【解析】由题意可知事件与事件相互独立，则A错误，B正确；

事件与事件是互斥事件，但不是对立事件，则C正确；D错误．

11．ACD

【解析】因为，所以，

所以或．

因为，所以，

所以，则，故A正确．

因为，所以．

因为是锐角三角形，所以，

即，解得，

所以，

则，故B错误，D正确．

因为，所以，

所以，则C正确．

12．ACD

【解析】如图，由题意可知．

因为平面，平面，

所以平面，故A正确．

因为，所以是异面直线与所成的角．

因为，

所以，

所以，故B错误．

设外接圆的圆心为，连接，，，

由题意可得，，

则球的半径，

从而球的表面积是，故C正确．

设外接圆的半径为，

由题意可得，

则．

由正弦定理可得，

则点到平面的距离，故D正确．

13．

【解析】由题意可得，解得．

14．

【解析】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，

则，，解得，

从而，

故该圆锥的体积是．

15．33

【解析】设该方程的另一个根为，

则，从而，

解得，即，

故．

16．

【解析】如图，过点作，垂足为，

则米，．

由题意可得米，米，，

则，

从而，

故米．

17．解：（1）由题意可得，

则，

故．

（2）因为，所以，

所以，

所以，

即，解得或．

18．解：（1）由题意可知抽取比例为，

则第4组应抽取的人数为，

第5组应抽取的人数为．

故第4组和第5组的学生进入面试的人数之差为．

（2）由题意可知该高校的录取率为％％．

因为，，

则该高校的录取分数在内．

设该高校的录取分数为，则，

解得．

故该高校的录取分数为85分．

19．（1）证明：因为，

所以，．

在三棱柱中，，

所以，

又因为，所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

（2）解：设点到平面的距离为，点到平面的距离为．

因为点为的中点，所以，

．

因为，，

所以，

则．

因为，所以，

故点到平面的距离为．

20．解：（1）设事件为“在第一轮第一关比赛中达标”，

事件为“在第一轮第二关比赛中达标”，

事件为“在第一轮第一关比赛中达标”，

事件为“在第一轮第二关比赛中达标”．

则进入第二轮比赛的概率，

进入第二轮比赛的概率．

（2）由（1）可知没有进入第二轮比赛的概率，

没有进入第二轮比赛的概率，

则，两人都没有进入第二轮比赛的概率为．

故，两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率．

21．解：若选①，

（1）因为，

所以．

因为，所以，

所以，

所以．

因为，所以．

若选②，

（1）因为，

所以，

所以，则．

因为，所以．

若选③，

（1）因为，

所以，

所以，所以．

因为，所以．

（2）因为，

所以，

所以，则，

故．

设，则，

从而，当且仅当，即时，．

故当，时，的面积取得最小值，且最小值为．

22．（1）证明：如图，连接，记，连接．

由题意可得四边形是正方形，，

则为的中点，且．

因为，所以．

因为平面，平面，且，

所以平面．

因为，所以，

则平面．

（2）解：设存在点满足条件．

连接，，记，连接．

取的中点，连接．

因为，分别是，的中点，所以．

因为平面，所以平面．

因为平面平面，

所以，则．

由（1）可知，所以，

所以．

因为为的中点，所以，

所以．

故存在满足条件的点，此时．