2022届新高考数学考前冲刺卷 新高考Ⅱ卷

2022届新高考数学考前冲刺卷

 新高考Ⅱ卷

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则(   )

A.  B.

C.  D.

2.已知复数，则的虚部为(   )

A.-2 B.2 C.1 D.-1

3.锐角三角形ABC中，，则(   )

A. B. C. D.

4.志愿服务活动，是公民参与社会活动的重要形式，也是现代文明的基本特征，某种程度上这一无偿的公益性活动，代表着整个社会的文明水平，是奉献精神的体现.近年来我国这一群体正在悄然壮大，在救灾抢险、扶弱助残、环境保护、社区建设等各个领域都可看到志愿者的身影.根据调查，志愿者团队愿意参与社区活动的人数为总人数的，用频率估计概率，则从该团队中任选三名，至少有两名志愿者愿意参与社区活动的概率为(   )

A. B.  C. D.

5.已知，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是(   )

A. B. C. D.

6.函数的大致图象为(   )

A. B.

C. D.

7.已知三棱柱的所有棱长均为2，平面ABC，则异面直线，所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

8.已知双曲线，直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为(   )

A. B. C.2 D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知向量的夹角为，且，则下列结论正确的是(   )

A.

B.

C.若，则实数

D.在中，若，则

10.已知平面向量，则下列说法正确的是(   )

A.若，则或

B.的充要条件是

C.若，则

D.若，则

11.已知函数，则下列结论正确的是(   )

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.在上单调递减

D.的值域为

12.已知数列满足，且，则(   )

A.

B.数列是等差数列

C.数列是等差数列

D.数列的前n项和为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数是奇函数，则________________.

14.已知的展开式中的系数为840，则_________.

15.已知圆柱的底面圆O的半径为4，矩形为圆柱的轴截面，C为圆O上一点，，圆柱的表面积为，则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为____________.

16.已知椭圆，圆.圆O与椭圆C内切，过椭圆上不与顶点重合的一点P引圆O的两条切线，切点分别为，设直线与x轴、y轴分别相交于点，且，则椭圆C的方程为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角B；

（2）当时，求面积的最大值.

18.（12分）在①，且，②，③，设，且为常数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知数列满足____________，设数列的前n项和为，求.

19.（12分）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》(简称“双减”政策).某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.

（1）求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；

（2）从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.

20.（12分）如图，五面体中，四边形为等腰梯形，，且.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，且平面平面，求二面角的余弦值.

21.（12分）如图所示，抛物线的准线为l，焦点为F，点A是l与x轴的交点，点M，N，Q是抛物线C上的点，直线MN经过点A，直线MQ经过点，且的面积为1.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）直线QN是否过定点？若过定点，请求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由.

22.已知函数.

（1）当时，讨论的单调性.

（2）是否存在实数a，使得当时，恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：解不等式得，又，所以，所以，故选D.

2.答案：C

解析：，则，

所以的虚部为1.故选C.

3.答案：C

解析：由锐角三角形得，则，.

因为

，

且，所以，两边平方得，故选C.

4.答案：D

解析：有两人愿意参加社区活动的概率为，三人都愿意参加社区活动的概率为，所以至少有两人愿意参加社区活动的概率为，故选D.

5.答案：B

解析：因为，所以，即.

令，

则，当时，，单调递减.

因为，所以，即，得，故，

所以，综上，，故选B.

6.答案：A

解析：由题，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；当时，，故排除D；当时，，故排除B.故选A.

7.答案：A

解析：解法一  设F是线段BC的中点，连接交于点N，连接NF，AF，由题意知，四边形为正方形，是的中点，，是异面直线，所成的角或其补角.平面ABC，三棱柱的所有棱长均为2，，，，，，异面直线，所成角的余弦值为，故选A.

解法二  以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC的直线为x轴，AC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，异面直线，所成角的余弦值为，故选A.

8.答案：A

解析：在中，令，得，

不妨设，同理可得，

由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上.

易知直线AC的方程为，令，得，即.

因为，所以是等边三角形，，

所以，因为，所以，所以.

9.答案：ABC

解析：本题考查向量的数量积运算、向量模的运算.由题意，得.

对于A选项，，所以A正确；

对于B选项，，所以B正确；

对于C选项，因为，所以，所以，即，解得，所以C正确；

对于D选项，因为向量的夹角为，所以与的夹角为，则，所以D不正确，故选ABC.

10.答案：AB

解析：对于A，若，则，

解得，因为，所以或，故A正确.

对于B，先证必要性，若，则，

解得或(舍去)，

因为，所以；

再证充分性，当时，，则，故B正确.

对于C，若，则，解得，

因为，所以，故C错误.

对于D，若，则，

整理得，解得或，

因为，所以或，故D错误.故选AB.

11.答案：BCD

解析：对于选项A，由，得，故的最小正周期不为，选项A错误.

对于选项B，，

函数的图象关于直线对称，选项B正确.

对于选项C，当时，，

故函数在上单调递减，选项C正确.

对于选项D，当时，，

则，当时，，则，

又是的一个周期，因此函数的值域为，选项D正确.

综上，正确选项为BCD.

12.答案：ABD

解析：因为，所以，，故A正确.

当时，，两式相减得，，所以的奇数项是以-7为首项，4为公差的等差数列，故B正确.

当时，.当时，，两式相减得，，所以的偶数项是以5为首项，-4为公差的等差数列，所以当时，.所以，故C错误.

因为，所以，

设，所以，所以

，故D正确.故选ABD.

13.答案：-3

解析：解法一  因为当时，，所以.因为是奇函数，所以，所以当时，，则，所以.

解法二  因为是奇函数，所以，则，又，所以.

14.答案：

解析：的展开式的通项公式为，

依题意，令，则，所以，解得.

15.答案：

解析：本题考查三棱锥及其外接球的体积、圆柱的表面积.如图所示，由题意知圆柱的表面积，故.在中，，所以，所以，所以，.由题意知平面，所以，结合，得平面，所以.取的中点，则由与为直角三角形知，为三棱锥外接球的球心，球的半径，所以外接球的体积，所以.

16.答案：

解析：因为圆与椭圆C内切，所以，设点，因为是圆O的切线，所以直线，同理直线.因为直线都经过点P，所以，所以直线.令时，得，令时，得，所以.又点在椭圆

上，所以，即，所以，解得，所以椭圆C的方程为.

17.答案：(1).

(2)最大值为.

解析：(1)根据题意及正弦定理可知，整理得，

则由余弦定理得.

，.

(2)由(1)知，，.

由余弦定理得，

即，当且仅当时等号成立，

，面积的最大值为.

18.答案：.

解析：方案一：选条件①.

因为，所以，

又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

故，即.

则.

设数列的前n项和为，

则，①

，②

①-②，得，

所以，

故.

方案二：选条件②.

由，

得，

两边同时平方，得，

即，

所以.

因为，

所以，即.

则.

设数列的前n项和为，

则，①

，②

①-②，得，

所以，

故.

方案三：选条件③.

因为，且为常数列，

所以，得.

当时，，

而也满足上式，故.

则.

设数列的前n项和为，

则，①

，②

①-②，得，

所以，

故.

19.答案：(1)平均次数为3.72.

(2)分布列见解析，数学期望为.

解析：(1)由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，

所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为.

(2)由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望.

20.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)因为，平面平面，故平面.

又平面平面，所以，

则，

又，所以四边形为平行四边形，

则，

又平面平面，所以平面.

(2)过E作于点P，因为平面平面，且平面平面，因此平面，过E作于点Q，又平面平面，且平面平面，因此平面，而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，因此重合于，即平面.

以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，

则.

设平面的法向量为，

则，得，

令，则，

故平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则，得，

令，则，

故平面的一个法向量为，

因此，

由图易知二面角为钝二面角，

故二面角的余弦值为.

21.答案：(1)方程为.

(2)该直线过定点.

解析：(1)点A是抛物线的准线l与x轴的交点，

点A的坐标为，点F的坐标为.

在中，.

又点B的坐标为，

则点B到x轴的距离为1，

即的高为1，

，解得，

抛物线C的方程为.

(2)设，

直线AM的方程为.

联立得，

，

，

直线MQ的方程为，

代入得，

，

(*).

同理直线QN方程为，

即.

根据(*)式可知该直线过定点.

22.答案：(1)时，在上单调递增，在上单调递减；

时，在上单调递增；

时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)存在，.

解析：(1)由题知，

①若，则，当或时，，

当时，，

在上单调递增，在上单调递减；

②若，则，，在上单调递增；

③若，则，当或时，

，当时，，

在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)设，

则，

设，

则，

设，

则，

在上单调递增，

，

在上单调递增，

，

当时，，在上单调递增，

.

当时，，

，

设，易知在上单调递增，

，即，

存在，使，

当时，，在上单调递减，

此时，，不符合题意.

综上，存在实数a，使得当时，恒成立，且实数a的取值范围为.