2022届新高考数学考前冲刺卷 新高考Ⅰ卷

2022届新高考数学考前冲刺卷

新高考Ⅰ卷

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A.或       B.或

C.                      D.

2.已知复数，则z的虚部为(   )

A. B.-1 C.i D.1

3.设，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

4.已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：

根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为(   )

A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元

5.已知，是双曲线的左、右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率(   )

A. B. C. D.2

6.已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为(   )

A. B. C. D.

7.已知函数的部分图像如图所示，且.将图像上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像.若，，，则的最大值为(   )

A.π B. C. D.

8.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是(   )

A.10月6日与10月9日的收益相等

B.10月2日至10月5日的每日收益递增

C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元

D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多

10.已知，下列选项中正确的为(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

11.在正三棱柱中，D，E，F分别为，，的中点，，M为BD的中点，则下列说法正确的是(   )

A.AF，BE为异面直线

B.平面ADF

C.若，则

D.若，则直线与平面所成的角为45°

12.已知P为抛物线上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，则(   )

A.的最小值为4

B.若线段AB的中点为M，则的面积为

C.若，则直线l的斜率为2

D.过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，，且，则___________.

14.已知，若，则________.

15.已知是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则使得成立的区间是________________.

16.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面平面CBD，点M在AC上，且，过点M作空间四边形ABCD外接球的截面，则截面面积最大值与最小值之比为_______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，______________？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

19.（12分）如图，在四棱雉中，，，，平面平面PDC.

（1）求证：平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

20.（12分）为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的10个景点的清单，要求每位学生选择其中的3个景点参观游览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享.已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点.

（1）求某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率；

（2）设某学生选择参观的3个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

21.（12分）已知椭圆的右焦点F与上顶点的连线与直线垂直，且F到直线的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）若直线l（斜率存在）与椭圆C交于A，B两点，且直线FA，FB关于x轴对称，试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22.（12分）已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）讨论函数的零点个数.

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为，，所以，所以或，故选B.

2.答案：B

解析：因为，所以复数z的虚部为-1，故选B.

3.答案：B

解析：，，由可得.易知当时，，但由不能推出，“”是“”的必要不充分条件，故选B.

4.答案：C

解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，

所以回归直线方程为，将代入，得.故选C.

5.答案：D

解析：本题考查余弦定理的应用、双曲线的几何性质.，由双曲线的定义得，所以，即，即，解得（负值舍去），则该双曲线的离心率.故选D.

6.答案：A

解析：由得，即，所以，所以，两式作差，得，即，所以，所以或，又，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列的前n项和，故选A.

7.答案：D

解析：本题考查三角函数的周期性、对称性、最值，图像的平移、伸缩变换.设的最小正周期为T，则由题图可知，得，则，所以.又由题图可知图像的一个对称中心为点，故，，故，，因为，所以，所以.又因为，所以，所以.将图像上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像.因为，所以，同时令取得最大值3.由，可得，.又，，要求的最大值，故令，得；令，得，所以的最大值为.故选D.

8.答案：A

解析：本题考查利用导数研究函数的性质、不等式的求解.令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.

9.答案：ABC

解析：由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为（元），故C正确；10月8日比前一日收益增加（元），而10月5日比前一日收益增加（元），故D错误.选ABC.

10.答案：BC

解析：本题考查对数的运算性质、不等式的基本性质及应用.对于A选项，当，时，满足，但，故A错误；对于B选项，若，则，即，易知，，即，故B正确；对于C选项，若，则，，，，故C正确；对于D选项，若，则，当，时，，故D错误.故选BC.

11.答案：BC

解析：如图，连接EF，由题意得，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE不是异面直线，故A错误；取DA的中点N，连接FN，MN，得，，所以，，则四边形EFNM是平行四边形，所以，因为平面AFD，所以平面ADF，故B正确；取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由可得四边形EFQB为平行四边形，所以，又，所以，

设，则，，，所以，

解得，故C正确；

由，，可知为正三角形，，连接，易知平面，故即直线与平面所成的角，，故D错误.

12.答案：ACD

解析：由在抛物线C上，得，得，所以抛物线C的方程为，.

对于A，过点P作抛物线的准线的垂线PD，垂足为D，由抛物线的定义可得，连接DM，则，

即M，P，D三点共线时，取得最小值，为，所以A正确.

对于B，因为为AB的中点，所以，.因为，在直线l上，所以，所以直线l的方程为，则点N到直线l的距离，则，所以B不正确.

对于C，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，代入，得，设，，则，，，同理可得，所以，解得，所以直线l的斜率为，所以C正确.

对于D，易知点在抛物线上且轴.设，.易知直线EG，EH的斜率存在，，同理.因为EF平分，轴，所以，

即，所以，所以，直线GH的斜率，为定值，D正确.综上可知，选ACD.

13.答案：-7

解析：，，.，，，解得.

14.答案：-14

解析：令，可得，所以，

令，得，得.

15.答案：，

解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，因为的图象关于直线对称，所以，所以，所以的周期为8.又为R上的奇函数，所以，得，故当时，，作出在上的大致图象如图所示.取，易知，所以数形结合可知，当且时满足，此时；又，故当且时满足，此时，故的解集是.故由周期性可得，使得成立的区间是，.

16.答案：

解析：本题考查空间四边形外接球的截面问题.由题意可知，与均为正三角形，取BD的中点E，连接AE，CE，则.由平面平面CBD，平面平面，平面ABD，得平面CBD.，由球的性质及空间四边形ABCD的对称性可知，球心O在平面CBD内的射影为的外心，在平面ABD内的射影为的外心，易得，.连接OA，则在中，，，所以外接球的半径.连接OM，因为，，，所以，O，M三点共线，，则.当截面过球心时截面面积最大，最大值为，当M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，面积为，所以截面面积的最大值与最小值之比为.

17.答案：见解析

解析：因为，，

所以，由正弦定理可得，

又，所以.

假设存在，

方案一：选条件①.

因为，所以，

则，即，

解得.

所以，

所以，所以，

所以此时存在，且为直角三角形，.

方案二：选条件②.

因为，所以，

又，所以，

解得.

所以，此时存在，且为等边三角形，.

方案三：选条件③.

由，可得，

易知，所以，

所以，则.

因为，

故此时不存在.

18.答案：（1）

（2）

解析：（1）由，①

可得，故，

，②

①-②可得，故，

又不符合上式，

所以数列的通项公式为

（2）由（1）可得，则，

故，③

则，④

③-④得

，

所以.

19.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）取PC的中点M，连接DM，

因为，所以，

因为平面平面PDC，平面平面，

所以平面PBC，所以.

又，，

所以平面PDC，

所以.

又，，

所以平面ABCD.

（2）取AB的中点Q，连接DQ，因为，，所以，

由（1）易知，，故可以D为坐标原点，以DQ，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，.

连接BD，易知，，又，所以，

所以，

又，，

所以平面PAD，

则平面PAD的一个法向量为.

设平面PAC的法向量为，

则即取，则为平面PAC的一个法向量.

所以.

易知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.

20.答案：（1）某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为

（2）随机变量X的分布列见解析，数学期望

解析：（1）设某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点为事件A，

由题意，推荐的景点清单中属于历史文化类且不属于红色文化类的景点有4个，既属于历史文化类又属于红色文化类的景点有3个，属于红色文化类且不属于历史文化类的景点有3个.

则，

所以某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为.

（2）由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

所以随机变量X的分布列为

数学期望.

21.答案：（1）

（2）直线AB过定点，且定点的坐标为

解析：（1）由题，，由点F与上顶点的连线与直线垂直，

可得，则.

因为F到直线的距离为，

所以，得，

所以，，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）由（1）得，设，，

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，

将其代入，得，

由得，

，.

因为直线FA，FB关于x轴对称，

所以，

所以

，

因为，所以，直线，过定点.

当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为，显然过点.

故直线AB过定点，且定点的坐标为.

22.答案：（1）在上单调递增，在上单调递减

（2）当或时，有唯一零点；当时，没有零点；当时，有两个零点

解析：（1）当时，，

，

令，

则，

所以在上是减函数.

由于，所以当时，，即，当时，，即，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）由于，所以的零点个数即的零点个数.

，

当时，，所以在上单调递增，

又，，所以有唯一零点.

当时，，有唯一零点

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

当，即时，，没有零点.

当，即时，，有唯一零点.

当，即时，，

又，且，所以在上有唯一零点.

由（1）知，当时，，则，，，

又，所以，

，

所以在上有唯一零点.

因此，当或时，有唯一零点；当时，没有零点；当时，有两个零点.