湖南省长沙市八年级下学期选拨竞赛考试数学试卷含解析

 八年级下学期选拨竞赛考试数学试卷

一、填空题

1．满足不等式 的整数 的个数是　     　. 

2．已知长分别为14，13，9，7的四条线段可以构成梯形，则在所有可能构成的梯形中，连接梯形两腰中点的线段长度的最大值是　     　.

3．如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是　     　（填序号）

4．已知 ，则 　             　. 

5．在平面直角坐标系内有两点A，B，其坐标为 ， ，点M为x轴上的一个动点，若要使 的值最大，则点M的坐标为　            　.

6．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　     　

7．如图，P为Rt△ABC内一点，其中∠BAC=90°，并且PA=3，PB=7，PC=9，则BC的最大值为　     　.

二、解答题

8．已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值. 

9．已知： .求 的值. 

10．如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B，求证：AE=BC.

11．某同学对矩形纸片ABCD进行了如下的操作：如图，先沿直线AG折叠，使点B落在对角线AC上的点P处，再沿直线CH折叠，使点D落在AC上的点Q处.若 ， ，求四边形 的面积.

12．已知关于x的方程 只有一个实数根，求实数a的值. 

13．设 为非零实数，两个函数 与 的图象相交于 ， 两点，若 ，求 的值. 

14．回答下列问题：

（1）如图，当 时， ，将△PAB绕B点顺时针旋转90°画出旋转后的图形； 

（2）在（1）中，若 ， ， ，求 的大小. 

（3）如图， ， ，且 ， ， ，则△ 面积是　     　. 

（4）如图，△ABC中， ， ，点P在△ABC内，且 ， ， ，求△ABC的面积. 

15．设 为质数，m为整数，满足 ，求 和m的所有可取值. 

16．解方程组： . 

17．已知点M、N分别在△ABC的边AB、AC上，且不同于所在边的端点，满足 ， ，P关于直线BC的对称点为A，证明：PA是∠MPN的角平分线. 

18．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值.

答案解析部分

【解析】【解答】解： ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

故1.6与5.24之间的整数有4个.

故答案为：4.

【分析】对不等式组两边的式子进行分母有理化可得-4<m<3+，根据估算无理数大小的方法估算出-4、3+的范围，得到m的范围，进而可得整数m的个数.

【解析】【解答】解：当这个梯形的上底和下底分别为7和9时，则如图所示：

过点A、C分别作AF⊥BC，CE⊥AD，

由题意得：AD∥BC，AD=7，BC=9，AB=14，CD=13，

∴AF=CE，AE=CF，

设AE=CF=x，则有DE=7-x，BF=9-x，

在Rt△AFB中，由勾股定理得： ，

在Rt△DEC中，由勾股定理得： ，

∴ ，

解得： ，

∴此情况符合题意，则取AB、CD的中点M、N，

∴ ；

当这个梯形的上底和下底分别为7和13时，则AB=14，CD=9，如图所示：

同理可得： ，

解得： ，

∴此种情况符合题意，即 ；

当这个梯形的上底和下底分别为7和14时，则AB=13，CD=9，如图所示：

同理可得： ，

解得： ，

∴此种情况符合题意，即 ；

当这个梯形的上底和下底分别为9和13时，则AB=14，CD=7，如图所示：

同理可得： ，

解得： ，

∴此种情况不符合题意；

当这个梯形的上底和下底分别为9和14时，则AB=13，CD=7，同理可知也不符合题意；

当这个梯形的上底和下底分别为14和13时，则AB=9，CD=7，同理可知也是不符合题意；

∴综上所述：当以这四条边作为梯形的边长，两腰的中线最大值为10.5；

故答案为：10.5.

【分析】当这个梯形的上底和下底分别为7和9时，过点A、C分别作AF⊥BC，CE⊥AD，由题意得：AD∥BC，AD=7，BC=9，AB=14，CD=13，设AE=CF=x，则DE=7-x，BF=9-x，利用勾股定理可得x的值，取AB、CD的中点M、N，根据梯形中位线的性质可得MN；当这个梯形的上底和下底分别为7和13时，则AB=14，CD=9，同理可得MN；当这个梯形的上底和下底分别为7和14时，则AB=13，CD=9，同理可得MN；当这个梯形的上底和下底分别为9和13时，则AB=14，CD=7，同理可得MN，据此解答.

【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE

又∠BAD=∠BAC+∠CAD

∠CAE=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE，故①正确；

∴∠BDA=∠CEA=45°

又∠ADE=45°

∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°

∴BD⊥CE，故②正确；

∵△BAD≌△CAE

∴∠ACE=∠ABD

又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故③正确；

在△BAE中

AB+AE>BE

又AB=AC，AE=AD

∴AC+AD>BE，故④错误.

故答案为：①②③.

【分析】首先利用SAS判断出△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，故①正确；根据全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA=45°，然后根据角的和差得出∠BDE=90°，从而得出BD⊥CE；根据全等三角形的对应角相等得出∠ACE=∠ABD从而根据角的和差及等量代换得出∠ABC=45°；根据三角形三边的关系及等量代换得出AC+AD>BE，从而即可一一判断得出答案.

【解析】【解答】解：∵ ，分三种情况讨论：

∴ 或x2-x-1=-1且指数为偶数或 ，

①当 时，

∴ ，

当 时 ，

∴ ，

②x2-x-1=-1且指数为偶数时，

x=0；

③当 时，

因式分解得

解得

故答案为：-2或0或-1或2.

【分析】根据零次幂的运算性质可得x2-x-1≠0且x+2=0，求解可得x的值；根据有理数的乘方法则可得x2-x-1=-1且x+2为偶数，求解可得x的值；令x2-x-1=1，求出x的值，据此解答.

【解析】【解答】解：如图，作点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′（﹣1，1），作直线A′B交x轴于点M，

由对称性知：MA′＝MA，
∴MB﹣MA＝MB﹣MA′＝A′B，
若N是x轴上异于M的点，则NA′＝NA，这时NB﹣NA＝NB﹣NA′＜A′B＝MB﹣MA′，
∴点M就是使MB﹣MA的值最大的点，MB﹣MA的最大值是A′B，
设直线A′B的解析式为：y＝kx+b，
把A′（﹣1，1），B（2，4）代入得：，
解得：，
∴直线A′B的解析式为y＝x+2，
当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，0）.
故答案为：（﹣2，0）.
【分析】利用轴对称图形的性质可作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，由对称性可得MA′＝MA，从而得到MB﹣MA＝MB﹣MA′＝A′B，若N是x轴上异于M的点，则NA′＝NA，这时NB﹣NA＝NB﹣NA′＜A′B＝MB﹣MA′，因此点M就是使MB﹣MA的值最大的点，MB﹣MA的最大值是A′B，再利用待定系数法求得直线A′B的解析式为y＝x+2，求得直线A′B与x轴的交点M即为所求．

【解析】【解答】解：（1）图1，

过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°

∵∠C=90°

∴四边形OECF为矩形

∵OE=OF

∴矩形OECF为正方形

设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r

∴3﹣r+4+r=5，r= =1

∴S1=π×12=π

2）图2，

由S△ABC= ×3×4= ×5×CD

∴CD=

由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ =

由（1）得：⊙O的半径= = ，⊙E的半径= =

∴S1+S2=π× +π× =π

3）图3，

由S△CDB= × × = ×4×MD

∴MD=

由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ =

由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，：⊙F的半径= =

∴S1+S2+S3=π× +π× +π× =π

∴图4中的S1+S2+S3+S4=π

则S1+S2+S3+…+S10=π

故答案为：π．

【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r= （a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r= （a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r= （a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．

【解析】【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F，再过B作BG⊥PF于G，过C作CE⊥PD于E，交BG于H，连接AH、PH

∵∠BAC=90°，

∴四边形ADPF、四边形ADEC、四边形ABGF、四边形PGHE、四边形ABHC都是矩形

∴PD=BG，PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH

∴

∴

∵PA=3，PB=7，PC=9

∴ ，

解得

∵△PAH中，PA=3，

∴

∵当A、P、H三点共线时

∴当A、P、H三点共线时 最大

故答案为：14.

【分析】过P点分别作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F，过B作BG⊥PF于G，过C作CE⊥PD于E，交BG于H，连接AH、PH，则四边形ADPF、ADEC、ABGF、PGHE、ABHC都是矩形，由矩形对边相等得PD=BG，PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH，则PB2+PC2=PA2+PH2=PF2+PE2+PG2+PD2，代入数据可得PH的值，根据两点之间，线段最短的性质可得：当点P、A、H共线时，AH取得最大值，即BC取得最大值，据此解答.

【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.

【解析】【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个都为0可得m+2=0，n-1=0，求出m、n的值，根据去括号法则以及合并同类项法则对待求式进行化简，然后将m、n的值代入进行计算.

【解析】【分析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，根据中线的性质可得AD=BD，证明△ADF≌△BDC，得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BCD，结合已知条件可得∠AED=∠BCD，根据全等三角形的性质可得∠F=∠BCD，推出AE=AF，然后结合BC=AF进行证明.

【解析】【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=5，∠B=90°，利用勾股定理可得AC，由折叠的性质可知AP=AB=5，BG=PG，∠B=∠APG=90°，CQ=CD=5，设CG=x，则BG=PG=12-x，利用勾股定理求出x，得出CG的长，同理得出AH，然后判断出四边形AGCH是平行四边形，然后根据S四边形AGCH=CG·AB进行计算.

【解析】【分析】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a=，显然x=是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x2为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可得a的值.

【解析】【分析】联立一次函数与反比例函数解析式可得关于x的一元二次方程，结合△≥0可得k的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1x2=-k，则|x1-x2|===，求解可得k的值.

【解析】【解答】解：（3）如图3①，将 绕 点逆时针旋转 得到△ ，连接 ，  

△ ，

， ， ，

是等边三角形，

，

， ， ，

，

△ 是直角三角形， ，

， ，

；

△ ，

；

如图3②，

同理可求： 和 的面积的和 ，

和 的面积的和 ，

的面积 ，

的面积 的面积 与 的面积的和 .

故答案为： .

【分析】（1）将点P、A绕点B顺时针旋转90°可得点P′、C，顺次连接可得旋转后的图形；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可得BP=BP′，∠APB=∠CP′B，AP=CP′=2，根据等腰直角三角形的性质可得PP′=，∠BP′P=45°，根据勾股定理逆定理知△CP′P为直角三角形，然后根据∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P进行计算；

（3）将△PAB绕A点逆时针旋转60°得△P1AC ，连接PP1，则AP=AP1，∠PAP1=60°，CP1=BP=4，推出△PAP1是等边三角形，得到PP1=AP=3，利用勾股定理逆定理知△CP1P是直角三角形，根据=+可得四边形APCP1的面积，据此解答； 同理可求△ABP和△BPC的面积和，△APC和△BPC的面积的和，然后根据S△APC=S△ABC-(S△APB+S△BPC)进行计算；
（4）作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，连接PQ，取AQ的中点N，连接PN，则△QAB∽△PAC，由相似三角形性质得AQ、BQ，易得△APN是等边三角形，根据等边三角形的性质得AN=QN=AP=PN，∠ANP=60°，利用勾股定理可得PQ，推出∠PQB=90°，作AM⊥BQ于点M，延长AC，使得AC=CK，即AB=AK，利用三角函数的概念可得QM、AM，根据勾股定理求出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.

【解析】【分析】对已知条件变形可得m2-m(p-2)+1-p-p3=0，根据求根公式表示出m，根据m为整数，p为质数可得1+4P=9，求出p的值，进而可得m的值.

【解析】【分析】将第三个方程代入第一个方程中可得y=，将第二个方程代入y=中可得y的值，然后求出z、x的值，进而可得方程组的解.

【解析】【分析】由等腰三角形性质得∠AMC=∠BAC，由对称性知∠BPC=∠BAC，则∠BPC+∠BMC=180°，推出B、M、C、P四点共圆，由角的和差关系得∠MPA=∠ABC+∠ACB-90°，∠NPA=∠ABC+∠ACB-90°，推出∠NPA=∠MPA，据此证明.

【解析】【分析】（1）将A（4，0）代入y=ax2+(a+3)x+3中可得a的值，据此可得抛物线的解析式，令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得直线AB的解析式；
（2）由题意可得OA=4，OB=3，OE=m，则AB=5，AE=4-m，易证△PNM∽△ANE，△ANE∽△ABO，根据相似三角形的性质可得AN，表示出PN，然后根据就可求出m的值；
（3）在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE，易证△M′OE′∽△E′OB，根据相似三角形的性质可得M′E′=BE′，当A、M′、E′共线时，AE′+BE′最小，为AM′，利用勾股定理求解即可.