广西壮族自治区贺州市九年级上学期期末数学试卷含解析

 九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）

A． B．

C． D．

2．若点在反比例函数的图象上，则a的值是（　　）

A．12 B．8 C．4 D．3

3．下列说法正确的是（　　）

A．正五边形都相似 B．等腰三角形都相似

C．直角三角形都相似 D．钝角三角形都相似

4．若，则的值是（　　）

A． B． C．1 D．

5．把抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）

A． B． C． D．

6．对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）

A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而减小

C．点（-2，-1）在它的图象上 D．它的图象在第一、三象限

7．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若，，，则线段BD长为（　　）

A． B．6 C． D．

8．在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20

9．在△ABC中，，则△ABC一定是（　　）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．锐角三角形

10．如图，明明家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到这条公路的距离是（　　）

A．米 B．250米 C．米 D．米

11．一次函数与反比例函数上的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则、b的取值范围是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A处出发，以2cm/s小的速度分别沿和的路径向点C运动.设运动时间为x（单位：s），以P、B、D、Q为顶点的图形面积的为y（单位：），则下列图象中可表示y与x（且）之间的函数关系的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．在Rt△ABC中，，，，则　     　.

14．若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍，则该三角形的周长会扩大为原来的　     　倍.

15．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地的实际距离是　     　km.

16．抛物线y＝x2+2x-3与x轴的交点坐标为　                     　．  

17．在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上的一点，，BE和CD相交于点F，若，则　     　.

18．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　     　.  

三、解答题

19．计算：.

20．当m取何值时，是关于x的反比例函数？

21．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.

22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点.

（1）求二次函数的解析式；  

（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标.  

23．如图，在 中， ， 为 边上的中线， 于点E. 

（1）求证： ；  

（2）若 ， ，求线段 的长.  

24．下课时，数学老师给大家布置了一个任务：请大家在不攀爬到楼顶上的情况下，测出学校逸夫综合楼的高度.根据老师所给的任务，小慧站在与逸夫综合楼底部B在同一水平面且距离10米的C处，通过测角器观察逸夫综合楼的顶端A，此时测角器的示数为60°，小慧又请小敏帮量得此时测角器与地面的距离CD长为1米，如图.请你帮小慧算出学校逸夫综合楼的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，）.

25．如图，在矩形ABCD中，，，点P是矩形的对角线BD上的一个动点，且始终满足交BC于点E.

（1）求证：△BEP∽△BCD

（2）若△APD是等腰三角形，求此时线段PE的长.

26．服装店老板小李根据商场要求试销售一种成本为50元/件的T恤，商场规定试销期间T恤的单价不低于成本，且获利不高于40%.经试销发现，销售量y（件）与售价x（元/件）符合一次函数，且当时，：当时，.

（1）求一次函数的表达式：

（2）若服装店老板小李获得的利润为W元，试写出利润W与售价x（元/件）之间的函数表达式，并求出售价定为多少元/件时，小李获得最大利润，最大利润是多少.

答案解析部分

【解析】【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；

B、当   时，是二次函数，故此选项错误；

C、是二次函数，故此选项正确；

D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误.

故答案为：C.

 【分析】形如 “  ”的函数就是二次函数，据此一一判断即可得出答案.

【解析】【解答】解：由题意知，，

解得：   .

故答案为：D.

 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程即可求出a的值.

【解析】【解答】解：A、所有的正五边形都相似，选项正确，符合题意；

B、等腰三角形不一定都相似，因为底角不一定相等，选项错误，不符合题意；

C、直角三角形不一定都相似，因为另外两个角不一定相等，选项错误，不符合题意；

D、钝角三角形不一定都相似，因为角不一定对应相等，选项错误，不符合题意.

故答案为：A.

 【分析】根据相似图形的定义，各角分别相等、各边对应成比例，以及相似三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解析】【解答】解：，
 

，

故答案为：B.
【分析】利用比例的性质可得   ，直接代入   即可求得结果.

【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2的的顶点坐标为（0,0），将该抛物线向右平移3个单位后的顶点坐标为（3，0），

∴所得抛物线的解析式为y=（x-3）2，

故答案为：B.

 【分析】首先找出原抛物线的顶点坐标，进而根据点的坐标的平移规律：左减右加，上加下减，得出平移后抛物线的顶点坐标，从而根据抛物线的顶点式即可得出平移后的抛物线的解析式.

【解析】【解答】解：由于k=2>0，根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小，因此A选项符合题意，而B选项不符合题意，

反比例函数y= ，即xy=2，点（-2，-1）坐标满足关系式，因此C选项不符合题意；

由于k=2，因此图象位于一、三象限，因此D不符合题意.

故答案为：A.

【分析】反比例函数 中，当k＞0时，图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此判断A、B、D；根据反比例函数图象上任意一个点的横纵坐标的乘积等于定值k，即可判断C.

【解析】【解答】解：根据题意可知 ，

∴，即 ，

∴，

∴.

故答案为：C.

【分析】直接利用位似的性质，得到 ，然后利用相似三角形的对应边成比例求解.

【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵△ADE的面积为4，

∴，

∴S△ABC=16．

故选：C．

【分析】由条件可以知道DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质就可以求出​，再根据相似三角形的性质就可以得出结论．

【解析】【解答】解：∵

∴，

解得：   ，

∴，   ，

∴

故   一定是钝角三角形.

故答案为：D.

 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角的三角函数值，可得到∠A、∠B的值，即可得出答案.

【解析】【解答】解：如图，

由题意   ，   ，

，

，

米.

故答案为：B.

 【分析】先根据方向角的定义得到∠AOB的度数，然后再根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长.

【解析】【解答】解： 反比例函数 经过二、四象限，

，

一次函数 经过二、三、四象限，

，

，

故答案为：D.

【分析】反比例函数 ，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限；一次函数y=kx+b中，当k＞0，b＞0时，图象经过一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，图象经过一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，图象经过二、三、四象限；据此判断即可得出答案.

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，动点P，Q同时从点A处出发，速度都是2cm/s，

∴动点P到达B时，动点Q到达D.

分类讨论①当动点P未到达B，动点Q未到达D时，

根据题意可知△APQ为等腰直角三角形，   .

∴.

∵动点P未到达B，动点Q未到达D，

∴，

即此时   ；

②当动点P经过B，动点Q经过D时，

根据题意可知△CPQ为等腰直角三角形，   .

∴

.

∵动点P经过B，动点Q经过D.

∴，

即此时   .

由此可知y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，

故答案为：B.

 【分析】根据题意，结合所给图形，分类讨论：①当时，，列出函数关系式，从而得到函数图象；②当时，，列出函数关系式，得到函数图象，结合所给四个选项即可得解.

【解析】【解答】解：由题意可知，，，∠C=90° ，

∴，

故答案为：   .

 【分析】直接根据余弦的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦解答即可.

【解析】【解答】解：一个三角形的各边长扩大为原来的2倍，

扩大后的三角形与原三角形相似，

相似三角形的周长的比等于相似比，

这个三角形的周长扩大为原来的2倍，

故答案为：2.

 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.

【解析】【解答】解：设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则：

25：x=1：50000

解得：x=1250000.

1250000cm=12.5km.

故答案为：12.5.

 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，根据比例的基本性质即可求出结果.

【解析】【解答】令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1．

则抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）．

故答案为：（﹣3，0），（1，0）．

【分析】将y＝0代入抛物线y＝x2+2x﹣3中，可得x2+2x﹣3＝0，利用因式分解法求出方程的根，即得抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的交点坐标.

【解析】【解答】解：为平行四边形，则可得AE∥BC，

，

又   ，

，

，

，

，

，

，

故答案为：80.

 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AE∥BC，即可得△ABE∽△CFB ，根据相似三角形的性质即可求出相似比，进而根据面积比等于相似比的平方即可得出答案.

【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），

∴对称轴是直线x=﹣ =﹣1，

∵当x≥2时，y随x的增大而增大，

∴a＞0，

∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，

∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，

∴3a2+3a﹣6=0，

∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）.

故答案为：1.

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.

【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，直接利用有理数的乘方、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法计算即可得出答案.

【解析】【分析】由反比例函数的定义,自变量的指数必须是-1，同时k≠0，即可列出求解 .

【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.

【解析】【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A，B和C三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；
（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标.

【解析】【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD⊥BC，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED，至此问题不难证明；对于（2），利用勾股定理求出AD，利用相似比，即可求出DE.

【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，Rt△AED中，由仰角的定义得， 由正切定义 ，解出AE即可求解.

【解析】【分析】 （1） 根据矩形的性质得出∠BCD=90°， 然后证DC∥PE，进而根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，即可得出结论；
（2）四边形ABCD是矩形，，，利用勾股定理求出BD=13，点P是矩形的对角线BD上的一个动点，若△APD是等腰三角形，则可分两种情况讨论：①当时，根据 △BEP∽△BCD，得出，解出PE；②当时，过点P作，垂足为F，则，，得出，可得，结合△BEP∽△BCD，得出即可.
 

【解析】【分析】（1）根据题意，直接用待定系数法列二元一次方程组求解即可；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，再结合自变量的取值范围，依据二次函数的性质可得函数最值的情况，值得注意的是，在实际问题中，自变量得取值应符合实际意义，例如本题中x=85不在自变量的取值范围内，故当x=85时W有最值是不对的.