江苏省盐都区2021-2022学年中考数学押题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（　　）

A．1    B．m    C．m2    D．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为(      )

A． B． C． D．

3．若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．以下各图中，能确定的是（    ）

A． B． C． D．

5．若一个三角形的两边长分别为5和7，则该三角形的周长可能是（　　）

A．12 B．14 C．15 D．25

6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3

7．下列运算正确的是（   ）

A．（a2）3 =a5 B． C．（3ab）2=6a2b2 D．a6÷a3 =a2

8．将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（　　）

A．向下平移3个单位 B．向上平移3个单位

C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位

9．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度与时间之间的关系的图象是（      ）

A． B． C． D．

10．式子有意义的x的取值范围是（ ）

A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1

11．在-，，0，－2这四个数中，最小的数是(   )

A． B． C．0 D．－2

12．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(      )

A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．

14．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则=_____．

15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______________．

16．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是       ．

17．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．

18．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．求二次函数的解析式；求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．

20．（6分）如图,矩形中,点是线段上一动点, 为的中点, 的延长线交BC于.

(1)求证: ;

(2)若,,从点出发,以l的速度向运动(不与重合).设点运动时间为,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形.

21．（6分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？

（2）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）

22．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0）．

求该抛物线的解析式；求梯形COBD的面积．

23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，做△ABC的外接圆⊙O，延长EC交⊙O于点D，连接BD、AD，BC与AD交于点F分，∠ABC=∠ADB。

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AE=12，CD=10，求⊙O的半径。

24．（10分）（2017江苏省常州市）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中的样本容量是      ；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．

25．（10分）如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.

从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).

26．（12分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．

（1）求证：△ABF≌△EDF；

（2）若AB=6，BC=8，求AF的长.

27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、D

【解析】
本题主要考察二次函数与反比例函数的图像和性质.

【详解】

令二次函数中y=m.即x2=m,解得x=或x=令反比例函数中y=m,即=m,解得x=,将x的三个值相加得到ω=+（）+=.所以本题选择D.

【点睛】

巧妙借助三点纵坐标相同的条件建立起两个函数之间的联系，从而解答.

2、A

【解析】
过E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根据斜边的长列方程即可得到结论．

【详解】

过E作EG∥BC，交AC于G，则∠BCE=∠CEG．

∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．

∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．

∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，设EG=4k=AG，则EF=3k=CF，FG=5k．

∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=3k=．

故选A．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形．

3、C

【解析】

首先求出二次函数的图象的对称轴x==2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A（2，）中x=2，知最小，再由B（-3，），C（-1，）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，所以．总结可得．

故选C．

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数的图象性质．

4、C

【解析】
逐一对选项进行分析即可得出答案．

【详解】

A中，利用三角形外角的性质可知，故该选项错误；

B中，不能确定的大小关系，故该选项错误；

C中，因为同弧所对的圆周角相等，所以，故该选项正确；

D中，两直线不平行，所以，故该选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．

5、C

【解析】
先根据三角形三条边的关系求出第三条边的取值范围，进而求出周长的取值范围，从而可的求出符合题意的选项.

【详解】

∴三角形的两边长分别为5和7，

∴2<第三条边<12,

∴5+7+2<三角形的周长<5+7+12,

即14<三角形的周长<24，

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.

6、A

【解析】

【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．

【详解】∵不等式组无解，

∴a﹣4≥3a+2，

解得：a≤﹣3，

故选A．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

7、B

【解析】

分析：本题考察幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法.

解析： ，故A选项错误； a3·a = a4故B选项正确；(3ab)2 = 9a2b2故C选项错误; a6÷a3 = a3故D选项错误.

故选B.

8、A

【解析】

将抛物线平移，使平移后所得抛物线经过原点，

若左右平移n个单位得到，则平移后的解析式为：，将（0，0）代入后解得：n=-3或n=1，所以向左平移1个单位或向右平移3个单位后抛物线经过原点；

若上下平移m个单位得到，则平移后的解析式为：，将（0，0）代入后解得：m=-3，所以向下平移3个单位后抛物线经过原点，

故选A.

9、C

【解析】
首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．

【详解】

根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.

【点睛】

此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形

10、A

【解析】

根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A．

11、D

【解析】
根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可.

【详解】

在﹣，，0，﹣1这四个数中，﹣1＜﹣＜0＜，

故最小的数为：﹣1．

故选D．

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握实数的大小比较方法，特别是两个负数的大小比较.

12、C

【解析】

试题解析：在Rt△ABO中，

∵BO=30米，∠ABO为α，

∴AO=BOtanα=30tanα（米）．

故选C．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、1

【解析】
先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

【详解】

解：作DF⊥AB于F，交BC于G．则四边形DEAF是矩形，

∴DE=AF=15m，

∵DF∥AE，

∴∠BGF=∠BCA=60°，

∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°，∠GDB=30°，

∴∠GDB=∠GBD=30°，

∴GD=GB，

在Rt△DCE中，∵CD=2DE，

∴∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°，

∵∠DGC=∠BGF，∠DCG=∠BFG=90°

∴△DGC≌△BGF，

∴BF=DC=30m，

∴AB=30+15=1（m），

故答案为1．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

14、

【解析】
因为方程有实根，所以△≥0，配方整理得（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，再利用非负性求出a，b的值即可.

【详解】

∵方程有实根，

∴△≥0，即△=4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，

化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，

∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，

∴a+2b=0，a﹣1=0，解得a=1，b=﹣，

∴=﹣.

故答案为﹣.

15、2

【解析】

分析：因为BP＝，AB的长不变，当PA最小时切线长PB最小，所以点P是过点A向直线l所作垂线的垂足，利用△APC≌△DOC求出AP的长即可求解.

详解：如图，作AP⊥直线y＝x＋3，垂足为P，此时切线长PB最小，设直线与x轴，y轴分别交于D，C.

∵A的坐标为(1，0)，∴D(0，3)，C(﹣4，0)，∴OD＝3，AC＝5，

∴DC＝＝5，∴AC＝DC，

在△APC与△DOC中，

∠APC＝∠COD＝90°，∠ACP＝∠DCO，AC＝DC，

∴△APC≌△DOC，∴AP＝OD＝3，

∴PB＝＝2．

故答案为2.

点睛：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理及垂线段最短，因为直角三角形中的三边长满足勾股定理，所以当其中的一边的长不变时，即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.

16、1．

【解析】

试题分析：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，

∴.

∴m的最大整数值为1．

考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元一次不等式．

17、1°

【解析】
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．

【详解】

∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，

∴∠BAD=∠EAC=40°，

∴∠B=（180°-40°）÷2=1°，

故答案为1．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

18、1

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．

【详解】∵关于x的一元二次方程mx1+5x+m1﹣1m=0有一个根为0，

∴m1﹣1m=0且m≠0，

解得，m=1，

故答案是：1．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）y=x1﹣4x+6；（1）D点的坐标为（6，0）；（3）存在．当点C的坐标为（4，1）时，△CBD的周长最小

【解析】
（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；

（1）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；

（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．

【详解】

（1）把A（1，0），B（8，6）代入，得

解得：

∴二次函数的解析式为；

（1）由，得

二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣1）．

令y=0，得，

解得：x1=1，x1=6，

∴D点的坐标为（6，0）；

（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小．

连接CA，如图，

∵点C在二次函数的对称轴x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根据“两点之间，线段最短”，可得

当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，

此时，由于BD是定值，因此的周长最小．

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A（1，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

解得：

∴直线AB的解析式为y=x﹣1．

当x=4时，y=4﹣1=1，

∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，1）时，的周长最小．

【点睛】

本题考查了（1）二次函数综合题；（1）待定系数法求一次函数解析式；（3）二次函数的性质；（4）待定系数法求二次函数解析式；（5）线段的性质：（6）两点之间线段最短．

20、 (1)证明见解析；(2) PD=8-t，运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．

【解析】
(1)先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证得OP=OQ；

(2)根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．

【详解】

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，

又∵O为BD的中点，

∴OB=OD，

在△POD与△QOB中，

，

∴△POD≌△QOB，

∴OP=OQ；

(2)PD=8-t，

∵四边形PBQD是菱形，

∴BP=PD= 8-t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，

即62+t2=(8-t)2，

解得：t=，

即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.

21、（1）一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）当10＜n＜25时，选择乙商场购买更合算．当n＞25时，选择甲商场购买更合算．

【解析】
（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．

【详解】

解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，

根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，

解得：x＝40，

则一个水瓶40元，一个水杯是8元；

（2）甲商场所需费用为（40×5+8n）×80%＝160+6.4n

乙商场所需费用为5×40+（n﹣5×2）×8＝120+8n

则∵n＞10，且n为整数，

∴160+6.4n﹣（120+8n）＝40﹣1.6n

讨论：当10＜n＜25时，40﹣1.6n＞0，160+0.64n＞120+8n，

∴选择乙商场购买更合算．

当n＞25时，40﹣1.6n＜0，即 160+0.64n＜120+8n，

∴选择甲商场购买更合算．

【点睛】

此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解.

22、（1）（2）

【解析】
（1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式．

（2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．

【详解】

（1）将A（―1，0）代入中，得：0=4a+4，解得：a=－1．

∴该抛物线解析式为．

（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=2，即OC=2，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴CD=1．

∵A（－1，0），∴B（2，0），即OB=2．

∴．

23、（1）证明见解析；（2）．

【解析】
（1）作辅助线，先根据垂径定理得：OA⊥BC，再证明OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；

（2）连接OC，证明△ACE∽△DAE，得，计算CE的长，设⊙O的半径为r，根据勾股定理得：r2=62+（r-2）2，解出可得结论．

【详解】

（1）证明：连接OA，交BC于G，

∵∠ABC=∠ADB．∠ABC=∠ADE，

∴∠ADB=∠ADE，

∴，

∴OA⊥BC，

∵四边形ABCE是平行四边形，

∴AE∥BC，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（2）连接OC，

∵AB=AC=CE，

∴∠CAE=∠E，

∵四边形ABCE是平行四边形，

∴BC∥AE，∠ABC=∠E，

∴∠ADC=∠ABC=∠E，

∴△ACE∽△DAE，，

∵AE=12，CD=10，

∴AE2=DE•CE，

144=（10+CE）CE，

解得：CE=8或-18（舍），

∴AC=CE=8，

∴Rt△AGC中，AG==2，

设⊙O的半径为r，

由勾股定理得：r2=62+（r-2）2，

r=，

则⊙O的半径是．

【点睛】

此题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．

24、（1）100；（2）作图见解析；（3）1．

【解析】

试题分析：（1）根据百分比= 计算即可；

（2）求出“打球”和“其他”的人数，画出条形图即可；

（3）用样本估计总体的思想解决问题即可.

试题解析：（1）本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100，

故答案为100；

（2）其他有100×10%=10人，打球有100﹣30﹣20﹣10=40人，条形图如图所示：

（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%=1人．

25、（1）.（2）公平.

【解析】
试题分析：（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；

（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．

试题解析：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；

（2）列表得：

共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，

∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．

考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.

26、（1）见解析；（2）

【解析】
（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠C=∠A=90°，再根据折叠的性质可得DE=CD，∠C=∠E=90°，然后利用“角角边”证明即可；
（2）设AF=x，则BF=DF=8-x，根据勾股定理列方程求解即可．

【详解】

（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，

由折叠得：DE=CD，∠C=∠E=90°，

∴AB=DE，∠A=∠E=90°，

∵∠AFB=∠EFD，

∴△ABF≌△EDF（AAS）；

（2）解：∵△ABF≌△EDF，

∴BF=DF，

设AF=x，则BF=DF=8﹣x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

BF2=AB2+AF2，即（8﹣x）2=x2+62，

x=，即AF=

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程是解题的关键．

27、（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；

（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．

【详解】

（1）证明：连接OC，AC．

∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．

∴∠CAE＝∠CAB．

∵OC＝OA，

∴∠CAB＝∠OCA．

∴∠CAE＝∠OCA．

∴OC∥AE．

∴∠OCE＋∠AEC＝180°，

∵∠AEC＝90°，

∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，

∴CE是⊙O的切线．

（2）解：∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，

∴DC∥AB，

∵∠CAE＝∠OCA，

∴OC∥AD，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∴OC＝AD＝a，AB＝2a，

∵∠CAE＝∠CAB，

∴CD＝CB＝a，

∴CB＝OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

在Rt△CFB中，CF＝ ，

∴S四边形ABCD＝ （DC＋AB）•CF＝

【点睛】

本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．