2022年江苏省常州二十四中教育集团中考数学调研数学试卷（4月份）（含解析）

2022年江苏省常州二十四中教育集团中考数学调研数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是

A.  B.  C.  D.

2. 若的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是

A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定

3. 在中，，若，，则等于

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法错误的是

A. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B. 一组数据，，，，的众数是
C. 甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，则乙的成绩比甲稳定
D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为

A.  B.
C.  D.

6. 如图▱，为中点，延长至，使：：，连接交于点，则：

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则等于
    

A.  B.  C.  D.

8. 记实数，，，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9. 如果，那么______．
10. 如图是某地未来日最高气温走势图，这组数据的极差为______

11. 若关于的一元二次方程有一个实数根为，则另一个实数根为______ ．
12. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度单位：与它距离喷头的水平距离单位：之间满足函数关系式喷出水珠的最大高度是______
13. 若平面直角坐标系中，设点在正比例函数的图象上，则点位于第______象限．
14. 如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为______结果用表示
    
    
     

15. 如图，在中，，点是边上的一点，垂直平分，垂足为点若，，则线段的长度为______．
     

16. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则的面积为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则点的坐标是______．
    
    
    
     

18. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图象上，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解下列方程：
    
    
    
    
    
    
    
    
     
21. 为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．

请根据上述信息解答下列问题：
本次调查属于______调查，样本容量是______；
表中的______，样本数据的中位数位于______组；
补全条形统计图；
该校九年级学生有人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在组的有多少人？

22. 现有、两个不透明的袋子，各装有三个小球，袋中的三个小球上分别标记数字，，；袋中的三个小球上分别标记数字，，这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
    将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为______；
    分别将、两个袋子中的小球摇匀，然后从、袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．
    因为，即，所以可以对比函数来探究．
    列表：下表列出与的几组对应值，请写出，的值： ______ ， ______ ；

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

请把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
观察图象并分析表格，回答下列问题：
当时，随的增大而______ ；填“增大”或“减小”
函数的图象是由的图象向______ 平移______ 个单位而得到．
函数图象关于点______ 中心对称填点的坐标






 

24. 常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．
    求无人机的飞行高度；结果保留根号
    求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，

25. 某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量件与每件的售价元之间满足如图所示的函数关系．
    求每月的销售量件与每件的售价元之间的函数关系式；不必写出自变量的取值范围
    物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的设这种防护品每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

26. 如图是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是和的边长，显然，我们把关于的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”请解决下列问题：
    判断方程是否为“弦系一元二次方程”？______填“是”或“否”，并说明理由；
    求证：关于的“弦系一元二次方程”必有实数根；
    若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
27. 以为直径作半圆，，点是该半圆上一动点，连接、，并延长至点，使，过点作于点、交于点，连接．
    如图，当点与点重合时，求的度数；
    如图，当时，求线段的长；
    在点运动过程中，若点始终在线段上，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出此时线段的长；若不存在，请说明理由．

28. 如图，抛物线：经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
    求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
    如图，直线：经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点，交直线于点，若，求的值；
    如图，在的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】
解：点到圆心的距离为，小于的半径，
点在内．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得：，
所以，
故选：．
根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；
B、一组数据，，，，的众数是，本选项说法正确，不符合题意；
C、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，则甲的成绩比甲稳定，故本选项说法错误，符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查、众数、方差、随机事件判断即可．
本题考查的是全面调查与抽样调查、众数、方差、随机事件，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得对应点的坐标为，
所以平移后的抛物线解析式为．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的坐标变换规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出
平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义表示出是解题的关键．
先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：设，
：：，
，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
，
∽，
，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：圆内接四边形的边过圆心，
，，
，，
过点的切线与边所在直线垂直于点，
，，
，
，
；
故选：．
由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理求出，得出，由弦切角定理得出，由三角形的外角性质得出，即可求出的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，

则函数的图象大致为．
故选：．
根据最小数的定义可知：函数的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象．
此题考查了新定义最小值问题，同时考查了同学们的阅读理解能力，题型新颖，值得关注，确定图象的最小值就是两个或多个图象的最低位置是本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
．
故答案为：．
利用比例的性质，将等积式转化为比例式即可得出结论．
本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质，将等积式转化为比例式是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：根据图象得这组数据的最大值为，最小值为，
故极差为．
故答案为：．
由于极差是一组数据中最大值与最小值的差，所以找出最大值与最小值即可求出极差．
此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，利用极差定义得出是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设另一个实数根为，
根据题意得，
解得．
故答案为．
设另一个实数根为，根据题根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
当时，有最大值为，
喷出水珠的最大高度是，
故答案为：．
先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

13.【答案】一
 

【解析】解：点在正比例函数的图象上，
，
，
点的坐标为，
点位于第一象限．
故答案为：一．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，将其代入点的坐标中可得出点的坐标为，进而可得出点位于第一象限．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标确定位置，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出的值是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设底面圆的半径为，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出∽是解此题的关键．先求出长，根据相似三角形的判定得出∽，得出比例式，代入求出长即可．
【解答】
解：，，，
，
垂直平分，
，，
，
又，
∽，
，
即
．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】解：过点作于，
与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，，
点的坐标为，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
过点作于，根据位似图形的概念求出点的坐标，根据正切的定义求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，根据位似比求出点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：设以为直径的圆与轴相切于点，连接，，
则轴，
为圆的直径，
，
轴，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
点的坐标为，
故答案为：
连接，，根据切线的性质得到轴，根据圆周角定理得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而求出，根据坐标与图形性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：由题意得，点的坐标为，的坐标为，的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，
的坐标为，
，，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：或舍，
点的坐标为，；
设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：或舍，
点的坐标为，；
设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：或舍，
，，，
，
故答案为：．
先由点在反比例函数图象上得到点的坐标为，然后由点是的中点得到点的坐标为，进而得到的坐标为，即可得到，，然后由是等腰直角三角形得到，解方程得到的值，即可得到点的值；然后由点的坐标为，
进而得到点和的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到，求得的值即可得到的值，用同样的方法求得的值，结合、、的值得到规律，最后得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质列出方程求得点的坐标．
 

19.【答案】解：原式


．
 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
或；
 

【解析】根据配方法即可求出答案；
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

21.【答案】抽样，；
，；
由得，组的人数为，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在组的有人．
 

【解析】解：本次调查属于抽样调查，样本容量是，
故答案为：抽样，；
，
根据中位数的定义得，样本数据的中位数位于组，
故答案为：，；

根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；
样本容量减去、、组人数即可得出，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于组；
根据的结果补全条形统计图即可；
用总人数乘以样本中成绩在组的百分比即可．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

22.【答案】
 

【解析】解：将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为的结果有种，
摸出的这两个小球标记的数字之和为的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】；；



增大；
上；；
．
 

【解析】解：时，，
，
时，，
；
故答案为：，；
见答案；

根据图象可得：
在轴左边，随增大而增大，
故答案为：增大；
函数的图象是由的图象向上平移个单位得到的，
故答案为：上，；
函数图象关于点中心对称，
故答案为：．
本题考查通过作函数图象，研究函数性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连线作图象，再数形结合得函数性质．
，，分别代入即可得、的值；
按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
数形结合，观察函数图象即可得到答案．
 

24.【答案】解：由题意得：
，
，
在中，米，，
米，
无人机的飞行高度为米；
过点作，垂足为，

则米，米，
，
，
在中，米，
米，
米，
河流的宽度为米．
 

【解析】根据题意可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得米，米，，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：由图象可知每月销售量件与售价元之间为一次函数关系，设其函数关系式为，
将，代入，得：

解得：，
每月销售件与售价元的函数关系式为；
由题意得：


，
，
当时，随的增大而增大，
该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
，即，
当时，取得最大值：最大值．
售价定为元可获得最大利润，最大利润是元．
 

【解析】由图象可知每月销售量件与售价元之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可；
由题意得关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

26.【答案】是
 

【解析】解：，，，
，
，，能构成直角三角形，
方程是否为是弦系一元二次方程”．
故答案为：是．

证明：根据题意，得，
，
，
弦系一元二次方程必有实数根；


解：当时，有，即，
，
，
，
，，
，
，
．
根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可．
证明．
想办法求出的值可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，“弦系一元二次方程”的定义，根的判别式等知识，解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题．
 

27.【答案】解：连接．
为中点，
，
是等边三角形，
，
为直径，
，
；

连接．
垂直平分，
，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
；

当交点在、之间时，
若，此时，
，
，
，
则；
若，此时，
，
则；
当交点在、之间时，．
综上所述，或或．
 

【解析】连接根据直角三角形的性质和圆的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到的度数；
连接根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理和线段的和差关系可得和的长，通过证明∽，根据相似三角形的性质即可得到的长；
分两种情况：当交点在、之间时；当交点在、之间时；讨论即可求得线段的长．
考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
 

28.【答案】解：将、代入中，
得，
解得，
抛物线解析式为：，
配方，得：，
顶点为：；
抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
新抛物线的顶点为：，二次项系数为：
新抛物线的解析式为：，
将代入中，得，解得，
直线解析式为，
，
直线的解析式为，
由抛物线与抛物线关于原点对称，可得点、关于原点对称，
，
如图，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，
则，，
，，
，
，
轴，轴，
，
∽，
，即，
，
解得：，，
，
的值为：；
由知：，
，，，
如图，连接，在中，，，
，
是，，
，
，
，
在轴下方过点作，在上截取，连接交抛物线于点，
过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；
，
，
，

，设直线解析式为，
则，解得
直线解析式为，
解方程组，得，，
点的横坐标为：或．
 

【解析】运用待定系数法将、代入中，即可求得和的值和抛物线解析式，再利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点的坐标；
根据抛物线绕点旋转，可求得新抛物线的解析式，再将代入中，即可求得直线解析式，根据对称性可得点坐标，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，由，即可得，再证明∽，即可得，建立方程求解即可；
连接，易证是，，可得，在轴下方过点作，在上截取，过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．