高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第四节 用单摆测量重力加速度导学案

用单摆测量重力加速度

一、实验目的

1．用单摆测量重力加速度。

2．会使用秒表测量时间。

3．能分析实验误差的来源，并能采用适当的方法减小测量误差。

二、实验器材

长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。

三、实验原理与设计

单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。

用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。

四、实验步骤

1．取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。

2．用刻度尺测摆线的长度l线，用游标卡尺测小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋。

3．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。

4．改变摆长，重复实验多次。

5．将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地的重力加速度。

五、数据处理

1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值，设计如表所示的实验表格。

2.图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2­l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝。由图像的斜率即可求出重力加速度g。

六、误差分析与注意事项

1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。

2．本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记全振动次数。为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值。

3．本实验长度(摆线长、摆球的直径)的测量中，读数读到毫米位即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米位)；时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可，秒表读数不需要估读。

一、实验原理及操作

[例题1]　实验小组的同学们用如图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。

(1)用l表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度g＝________。(用l、T表示)

(2)在这个实验中，应该选用下列哪两组材料构成单摆(　　)

A．长约1 m的细线

B．长约1 m的橡皮绳

C．直径约1 cm的均匀铁球

D．直径约1 cm的塑料球

(3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是(　　)

A．测出摆线长作为单摆的摆长

B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动

C．在摆球经过平衡位置时开始计时

D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用的时间并作为单摆的周期

(4)某同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量的数据作出了如图乙所示的图像，横坐标为摆长，纵坐标为周期的平方。若图线斜率为k，则当地的重力加速度g＝________(用k表示)。

[解析]　(1)由T＝2π得g＝。

(2)实验过程首先应该满足单摆的运动是简谐运动，因此摆线应选择细且不易伸长的线(长度约1 m)，小球应选用密度较大、体积较小的金属球(直径最好不超过2 cm)，选项A、C正确。

(3)单摆的摆长是悬点到球心的距离，即摆线长加上小球半径，A错误；摆球摆动的摆角不能超过5°，测周期时应从平衡位置开始计时，且测量多个周期，可以有效减小测量误差，故B、C正确，D错误。

(4)根据T＝2π得T2＝l，图线斜率k＝，所以g＝。

[答案]　(1)　(2)AC　(3)BC　(4)

[针对训练]

根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

(1)用游标卡尺测量小钢球的直径，示数如图乙所示，读数为________mm。

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________________________。

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆的周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆的周期T＝

解析：(1)根据游标卡尺的读数方法，小钢球的直径为(18＋6×0.1) mm＝18.6 mm。

(2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些，a项正确。为减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大些，体积小些的，b项正确。因为单摆的周期T＝2π与θ无关，c项错误。因为摆球会以较快的速度通过平衡位置，所以在平衡位置开始计时误差较小，同时为了减小偶然误差应测多次振动的时间并求平均值，d项错误，e项正确。

答案：(1)18.6　(2)abe

二、实验数据处理与分析

[例题2]　用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。

(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示)。

(2)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。

请计算出第3组实验中的T＝______ s，g＝______ m/s2。

[解析]　(1)根据单摆的周期公式T＝2π可得g＝＝。

(2)第三组实验中，周期T＝ s＝2.01 s，由加速度公式g＝，

代入数据得g＝9.76 m/s2。

[答案]　(1)　(2)2.01　9.76

[针对训练]

在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线的长度为L，再用游标卡尺测量摆球的直径为D，某次测量游标卡尺的示数如图甲所示。

回答下列问题：

(1)从甲图可知，摆球的直径为D＝________ mm。

(2)该单摆的周期为________。

(3)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出几组对应的l和T的数值，以l为横坐标、T2为纵坐标作出T2­l图像，但同学们不小心每次都把小球的直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2­l图像是图乙中的________(选填①②③)，由图像可得当地重力加速度g＝________，由此得到的g值会________(选填“偏小”“不变”或“偏大”)。

解析：(1)题图甲可知，主尺示数是16 mm，游标尺示数是6×0.1 mm＝0.6 mm，金属球的直径为16 mm＋0.6 mm＝16.6 mm。

(2)由于测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，所以该单摆的周期为T＝。

(3)由单摆的周期公式T＝2π可知T2＝l，则T2­l图像的斜率k＝，则加速度g＝，但同学们不小心每次都把小球的直径当作半径来计算摆长，则有T2＝(l－r)，由此得到的T2­l图像是题图乙中的①，由于图线的斜率不变，计算得到的g值不变，由图像可得k＝，当地重力加速度g＝。

答案：(1)16.6　(2)　(3)①　　不变

三、创新实验设计

[例题3]　在探究单摆的振动周期T和摆长l的关系的实验中，在细线的一端连接一个匀质小球制成一个单摆。

(1)如图1所示，甲组同学把单摆挂在力传感器的挂钩上，使小球偏离平衡位置一小段距离后释放，电脑中记录拉力随时间变化的图像，如图2所示。在图2中读出N个峰值之间的时间间隔为t，则单摆振动的周期为________。

(2)乙组同学改变摆长，多次测量，操作完成后得到了如表中所列实验数据，请在图3坐标系中画出相应的图线。

根据所画的周期T与摆长l的关系图线，你能得到关于单摆的周期与摆长关系的哪些信息？

[解析]　(1)摆球做单摆运动，每次通过最低点时速度最大，此时绳子拉力最大，则相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期，所以t＝(N－1)T，得周期T＝。

(2)根据描点法作出图像，如图所示，

根据图像可知，摆长越长，周期越大，周期与摆长呈非线性关系，随着摆长的增加，周期增加量与摆长增加量之比在减小。

[答案]　(1)　 (2)图像见解析　 摆长越长，周期越大；周期与摆长呈非线性关系；随着摆长的增加，周期增加量与摆长增加量之比在减小。

[针对训练]

　(2019·上海高考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，使用下列实验器材。

(1)A．1.2 m的细线　　　　　 B．2 m的弹性绳

C．带孔的小铁球 D．带孔的软木球

E．光电门传感器

应选用哪种绳________，应选用哪种球________，光电门的摆放位置为________(选填“最高点”或“最低点”)。

(2)如图为光电门传感器的电流强度I与t的图像，则周期为________。

A．t1 B．t2－t1

C．t3－t1 D．t4－t1

(3)甲同学用秒表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是________________。

解析：(1)为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球应选C；从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。

(2)一个周期内单摆两次经过最低点，由题图可知，单摆周期T＝t3－t1，故C正确。

(3)如果开始计时时，秒表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。

答案：(1)A　C　最低点　(2)C　(3)开始计时时，秒表过早按下