2022年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）

1. 的算术平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，胶带的左视图是

A.
B.
C.
D.

3. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点若直线分别与轴、直线交于点，，则的面积为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在菱形中，对角线与交于点，是边的中点，连结若菱形的面积为，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是

A.
B.
C.
D.

7. 抛物线的对称轴为直线若关于的方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

8. ______ ．
9. 比较大小：______填“”、“”或“”
10. 已知正边形的每个外角为度，则这个正多边形的每个内角度数为______．
11. 如图，是的中线，点是边上一点，，、交于点，若的面积为，则等于______．
    
     

12. 已知点，为反比例函数图象上的两点，若，，则的值为______．
13. 如图，是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为______．
    
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

14. 化简：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共13小题，共77.0分）

15. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作一点，使得点在以为圆心，为半径的圆上．保留作图痕迹，不写作法

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，四边形是一个正方形，、分别在、边上，且、交于点．求证：．
    
     

20. 学校要购入两种记录本，预计花费元，其中种记录本每本元，种记录本每本元，且购买种记录本的数量比种记录本的倍还多本．求购买种记录本多少本．
    
    
    
    
    
    
     
21. 由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动的转盘：转盘被分成如图所示的三份一个半圆，两个四分之一圆，并分别标有数字，，；转盘被等分成三份，分别标有数字，，．
    转盘转出的概率是______．
    张明让爸妈两人同时转动、两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在标有数字的扇形区域，如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去．请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由．

22. 为庆祝中国共产党建党周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成、、、、五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    
    本次调查中共抽取______ 名学生；
    补全条形统计图；
    在扇形统计图中，求等级所对应的扇形圆心角的度数；
    若该校有名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有多少名？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离即的长度，昌昌站在点处，让同伴移动平面镜至点处，此时小华在平面镜内可以看到点且测得米，米．已知小华的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求的长度．参考数据：，

24. 国家积极推行农村医疗保险制度，增强农民抵御大病风险的能力．某市新农村合作医疗保险的住院报销规定：在二级定点医疗机构住院，医疗费的报销比例标准如表：

设某农民一年的实际医疗总费用为元，按标准报销的金额为元，试求与的函数关系式；
若农民一年内住院报销医疗费为元，则该农民当年实际医疗总费用为多少元？






 

25. 如图，以为直径的半圆上有一动点，点为弧的中点，连接、相交于点，延长到点，使得，连接、．
    求证：是的切线；
    若，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知抛物线：，顶点为，对称轴与轴交于，抛物线与轴交于点、两点点在点左侧．
    求点、的坐标；
    将抛物线向左或向右平移个单位长度，得到抛物线，其中点的对应点为，当，求平移后抛物线的表达式．

问题提出
如图，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，且，则四边形的面积是______；

对于，当为多少时，有最小值，最小值是多少？
问题解决
某社区为优化居民生活环境，现规划建一个四边形活动场地，如图按设计要求，四边形内部为室内活动区，其余为户外活动区，且满足，，，，分别在边、上，为满足场所需要，想让室内活动区尽可能大．请问：是否存在符合设计要求的面积最大的四边形？若存在，求四边形面积的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的算术平方根是，
故选：．
根据算术平方根的概念分析求解．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的概念是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从左边看去，是一个矩形，矩形里面有两条横向的虚线．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可．
此题主要考查了三视图的画法中左视图画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，，
．
，
．
故选：．
依据，即可得，由，利用三角形外角性质，即可得到，进而可求解．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

4.【答案】
 

【解析】解：在中，令，得，
解得，，
，，
的面积，
故选：．
求得、的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线围成图形面积问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：菱形的面积为，，
，
，
菱形的对角线、相交于点，
，，，
在中，
由勾股定理得，，
又点为中点，
是的中位线，
．
故选：．
求出，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解决问题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，连接并延长交于，
由圆周角定理得：，
由勾股定理得：，
，
故选：．
连接并延长交于，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形，正确作出辅助线、根据圆周角定理得到是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，
抛物线解析式为，
当时，，则抛物线的顶点坐标为，
当时，；
当时，，
如图，
关于的方程为实数在的范围内有实数根，
抛物线与直线在的范围内有交点，
根据图象，当时，抛物线与直线在的范围内有交点，
所以的取值范围为．
故选：．
先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式为，计算的函数值得到抛物线的顶点坐标为，再计算得到时，；当时，，画出大致的函数图象，由于关于的方程为实数在的范围内有实数根可理解为抛物线与直线在的范围内有交点，然后根据图象得到对应的的范围．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】解：原式

，
故答案为．
根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
本题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：．
先求出，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
 

10.【答案】
 

【解析】解：每个内角是：，
故答案为：．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．
考查了多边形内角与外角，内角与外角互为邻补角是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：是的中线，
，
，
，
即，
，
，
即．
故答案为：．
根据三角形面积公式，利用，，利用得到，然后计算即可．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得，，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
根据题意可得，，将变形为，再根据，即可求出的值．
本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，以为边作等边，连接．

，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当、、三点共线时，，其值最大，
的最大值为，
的最大值为，
过点作于，如下图，

≌，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积，
故答案为：．
以为边作等边，连接利用全等三角形的性质证明，利用三角形的三边关系，可得的最大值为，利用直角三角形的性质和勾股定理可求，即可求解．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：



．
故答案为：．
 

【解析】利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，相乘后再相加即可．
本题考查的是整式的乘法法则，熟练运用法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的乘法运算法则、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．

 

【解析】作的垂直平分线交于，则，所以点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

18.【答案】解：原式
．
 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
．
 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
 

20.【答案】解：设购买种记录本本，则购买种记录表本，
依题意，得：，
解得：，
．
答：购买种记录本本．
 

【解析】设购买种记录本本，则购买种记录表本，根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：转盘转出的概率是；
故答案为：；

列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数有种结果，指针所指的数字之和为负数有种结果，
所以爸爸去的概率为，妈妈去的概率为，
，
这个游戏对双方不公平．
直接根据概率公式求解即可；
游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此求解即可．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】；
补全条形图如下，

等级所对应的扇形圆心角的度数为：；
名，
答：估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有名．
 

【解析】解：名，
故答案为：；
等级所占的百分比为：，
则等级所占的百分比为：，
故B、等级的学生分别为：名，名，

根据所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出本次调查中共抽取的学生数；
根据中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出、等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
根据中的结果计算出等级所对应的扇形圆心角的度数；
求出、等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：过点作交的延长线于，
设米，
，
，
在中，，
则，
由题意得：，
，
∽，
，即，
解得：，
，
米，
答：的长度约为米．
 

【解析】过点作交的延长线于，设米，根据正切的定义用表示，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得：
；
元，
元．
，
若一年内住院报销医疗费为元，则实际总费用在超过元且不超过元的部分．
．
解得．
则该农民当年实际医疗总费用为元．
 

【解析】根据第二种情形表示关系，利用报销的金额符合报销条件的金额对应的报销比例，确定出与的函数关系式；
先确定实际总费用范围，然后根据表中给出的不同的条件，即可求出该农民当年实际医疗总费用．
本题考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数关系式．
 

25.【答案】证明：连接，

，
，
点为弧的中点，
，
为直径，
，，
，
，
，
是直径，
是的切线；
解：，
设，，
由勾股定理得，，
，
，
∽，
，
即，
解得，
的长为．
 

【解析】连接，根据得，再利用等弧所对的圆周角相等得，从而得出，即可证明结论；
设，，则，，再根据∽，可得的长．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，三角函数等知识，证明∽是解题的关键．
 

26.【答案】解：由抛物线：，
令，，
．．
点在点左侧，
，．
，
，，
，．
，
，
，，
则．
设抛物线平移平移后点对应的坐标为，
，
或，
或．
平移后抛物线的表达式为，
或，
即或．
 

【解析】令，解一元二次方程，根据点在点左侧，即可求解；
根据顶点式求得点的坐标．对称轴为求得、的长，根据，可得它们的正切值相等，进而求得的坐标，进而可得平移距离，根据二次函数的平移规律即可求解．
本题考查了正切的定义，二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的平移，掌握以上知识是解题的关键．
 

27.【答案】
 

【解析】解：是的中点，
，
，
根据矩形的性质：，
，
，
，
，
故答案为：；



，
当时，有最小值，最小值是；

存在，理由如下：
过点作的垂线交于点，延长，过点作交的延长线交于点，交于，

，
四边形是矩形，
，

，
，，
，，
由勾股定理：．
，，
，
设，则，
，
，
，

，


，
当时，取到最小值，为，此时四边形面积最大，
，
，
答：四边形面积最大为，此时．
利用分割的思想求解四边形的面积，矩形面积减去两个直角三角形面积；
利用配方法及二次函数的性质求解；
过点作的垂线交于点，延长，过点作交的延长线交于点，交于，证四边形是矩形，用勾股定理求出，再证明，设，则，根据锐角三角函数求出，，通过，再利用二次函数的思想进行求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，全等三角形，等腰三角形，锐减三角函数等知识，解题的关键是将图形面积的最值问题利用二次函数的思想去解决，属于中考压轴题．