2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.若矩形的面积为，一边长为，则另一边长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知四边形为菱形，点、、、分别、、、边的中点，依次连接、、、得到四边形，则四边形为(    )

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形

5.如图，在中，，点为边中点，连接，已知，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.一次函数的图象经过点，每当增加个单位时，增加个单位，则此函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，、是的两条直径，点是弧的中点，连接、，若，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

8.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，则以下结论其中正确的是(    )

A.
B. 若方程没有实数根，则
C.
D. 若点、是抛物线上的两点，则
 

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.在实数，，，中，最小的数是______ ．

10.如图，已知的内接正六边形的边心距是，则正六边形的边长为______ ．

11.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术年一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式按的次数由大到小的顺序排列的系数规律，如，其展开式中的系数、、、对应三角形图形中第四行，根据上下行之间的数字规律，求代数式的值为______ ．

12. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象，在第一象限交于点，连接，若：：，则的值为______．

13.如图，在四边形中，，，，，，点是四边形内一点，连接、、、，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共14小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.本小题分
计算：．

15.本小题分
求满足不等式的正整数解．

16.本小题分
化简：．

17.本小题分
解方程：．

18.本小题分

如图，已知，，点、分别在线段、上，请用尺规作图法在线段上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

19.本小题分

如图，中，是延长线上一点，满足，过点作，过点作，与交于点，求证：≌．

20.本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
以坐标原点为位似中心，在第四象限将放大为原来的倍得到，请作出．
在的条件下，若内的点位似的对应点为点，则点的坐标为______ ．

21.本小题分
某中学开展“歌唱祖国红歌比赛”活动，七年级一班、二班都从：“歌唱祖国、我和我的祖国、唱支山歌给党听、保卫黄河”四首歌中任意选择一首作为参赛曲目．
七年级一班恰好抽到歌曲的概率为______ ；
比赛规定：各班歌唱不同歌曲，一班先随机抽取一首歌曲，不放回；二班再从剩余的歌曲中随机抽取一首，求出两个班恰好抽到、歌曲的概率．

22.本小题分

小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度如图，旗杆立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端到升旗台边沿的距离，升旗台的台阶所在的斜坡，坡角为，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面上的影长长为，同一时刻，小亮测得长的标杆直立于水平地面时的影子长为请你帮小明和小亮求出旗杆的高度结果保留根号

23.本小题分
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了名学生的初赛成绩初赛成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七，八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
若该校八年级有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由写出一条理由即可

24.本小题分
“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．

表是实验记录的圆柱体容器液面高度厘米与时间小时的数据：

在如图所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
请根据中的数据确定与之间的函数表达式；
如果本次实验记录的开始时间是上午：，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是几点？

25.本小题分
如图，为的直径，点在直径上点与，两点不重合，点在上，且满足，直线切于点，连接并延长交于点，过点作，垂足为点．
求证：．
若，，求的长．

26.本小题分
如图所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．

求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．

27.本小题分
从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”．
如图，正方形的边为，与正方形的边、分别交于点、点，此时对正方形的“投射图形”就是四边形；若，，则四边形的面积为______ ；
如图，有一块菱形草地，规划部门计划在这块空地内种植四种花卉，计划在边、上分别取点、，利用三条小路、、把这块草地分割成四块种植区，已知，，请帮助规划部门根据下列要求解决问题：
若对菱形的“投射图形”四边形的面积为菱形面积的，求的值．
在的条件下，要使中间部分种植区面积尽可能小，求面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是，
故选：．
根据算术平方根的定义即可解决问题．
本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

3.【答案】 

【解析】解：另一边长是：，
故选：．
首先利用面积除以一边长即可求得另一边长．
本题考查了整式的除法，正确求得另一边长是关键．

4.【答案】 

【解析】解：连接、交于，
点、、、分别、、、边的中点，
，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
四边形为矩形，
故选：．
连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，证明四边形为平行四边形，根据菱形的性质得到，即可判断四边形为矩形．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，点为边中点，
，
，
，
，
，
故选：．
由余弦函数求得，根据直角三角形斜边中线的性质求得，推出，据此求解即可．
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过，每当增加个单位时，增加个单位，
一次函数的图象也经过点，
，
解得，
此函数表达式是．
故选：．
根据题意得出一次函数的图象经过点，进而待定系数即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，理解题意是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

，
，
点是弧的中点，
，
，
，
故选：．
连接，利用圆周角定理求得，再求得，根据等边对等角即可求解．
本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个不同交点，
，
故A错误；
抛物线开口向下，顶点为，
若方程没有实数根，则，
故B选项错误；
抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在，之间，
当时，，
故C错误；
观察图象可知：当时，随增大而减小，时，，
，故D选项正确；
故选：．
根据二次函数的对称性，顶点坐标以及与一元二次方程的关系逐项判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确判断的前提．

9.【答案】 

【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得，
最小的数是，
故答案为：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此即可求解．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
的内接正六边形的边心距是，
，
即正六边形的边长为，
故答案为：．
根据圆内接正六边形的性质可求出，进而得出是正三角形，由圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出边长．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：根据“杨辉三角”的特点，知：，，，
，
故答案为：．
根据“杨辉三角”的特点，求得、、各数，再求和即可．
本题考查了探索数字规律，找到各数之间的规律是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：时，，
则点的坐标为，
，
时，，
则点的坐标为，
，
，
：：，
，
，
点的纵坐标为，
把代入，得，，
点的坐标为，
，
解得，，
故答案为：．
根据题意求出点、点的坐标，求出的面积，根据题意求出的面积，根据三角形的面积公式求出点的纵坐标，得到点的横坐标，代入反比例函数解析式计算即可．
本题考查的是反比例函数于一次函数的交点问题，掌握反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：连接四边形的对角线交于点，

在中，由三边关系可知，
同理，，
，
当点与点重合时，有最小值，最小值为的长，
在中，，，，
，
在中，，，，
，
，即的最小值为．
故答案为：．
连接四边形的对角线交于点，由三边关系可知，，推出，当点与点重合时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理，把的最小值转化为的长是解题的关键．

14.【答案】解：原式． 

【解析】根据负整数指数幂先化简，再计算即可．
本题考查实数的混合运算，负整数指数幂，熟记实数运算法则和顺序是解题的关键．

15.【答案】解：，
，
，
，
满足不等式的正整数解为：，，． 

【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．

16.【答案】解：


． 

【解析】利用乘法公式化简，再合并同类项即可．
本题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解本题的关键．

17.【答案】解：，
去分母得，
去括号得，
解得，
经检验，是原方程的根． 

【解析】方程两边同时乘以去分母，解整式方程后检验即可．
此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．

18.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作平分，进而得到≌，则．
本题考查了等腰三角形三线合一，轴对称的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记垂直平分线的性质是解题的关键．

19.【答案】证明：，
，，
，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】根据可得，，由定理可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质定理，熟记定理是解答此题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所作；
点位似的对应点的坐标为点，
故答案为：．
作出点，，的对应点，，，连接即可；
根据相似的性质，将点的横纵坐标都乘以，即可得到对应点的坐标．
本题考查了位似变换作图及点在坐标系的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：七年级一班恰好抽到歌曲的概率为，
故答案为：；
列表如下：

共有种等可能的结果，两个班恰好抽到、歌曲的结果有种，
两个班恰好抽到、歌曲的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：延长交于，过作于，

则四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
同一时刻，物高和影长成正比，
，
，
，
，
答：旗杆的高度约为． 

【解析】延长交于，过作于，根据矩形的性质得到，，，解直角三角形得到，，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形坡度坡角问题，平行投影，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解题的关键．

23.【答案】   

【解析】解：七年级的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
分的人数最多，七年级成绩的众数为，
八年级的优秀率是，
，
故答案为：；；
人，
答：估计八年级进入复赛的学生为人；
根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、，
故七年级的学生初赛成绩更好．
根据众数定义、优秀率的定义即可求出、的值；
用乘以满分的百分比即可求解；
根据优秀率进行评价即可．
本题考查了众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体，掌握从图中获取信息，优秀率、众数的定义是关键．

24.【答案】解：解：描出各点，并连接，如图所示：

解：由中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为，
点，在该函数上，
，
解得：，
与的函数表达式为；
解：当时，即，
解得：，
，
即圆柱体容器液面高度达到厘米时是上午：． 

【解析】根据表格中的数据，在直角坐标系中描出各点，用光滑的线连接起来即可；
根据中画出的图象可知该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可；
将代入中的解析式，求出相应的值即可．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，求一次函数自变量的值，解题的关键是明确题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解答．

25.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；

解：，，
，
，，，
为直径，
，
，
设，，则，
，
，
∽，
，即，
化简得：，
在中，，
即，
解得：或舍去，
故DF的长为． 

【解析】根据直径所对的圆周角为直角得到，根据得到，利用切线的性质得到，等量代换得到，即可证明；
根据已知长度求出，，，利用勾股定理求出，设，，证明∽，得到，在中，利用勾股定理列出方程，解之可得．
本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相应定理，能够利用相似三角形得到和的关系．

26.【答案】解：由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
此船不能通过，理由：
当时，，
解得或，
，
此船不能通过桥洞． 

【解析】先求出点，点，点的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
求出当时的值，然后计算出两个对应的的值之间的差的绝对值即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．

27.【答案】 

【解析】解：正方形的边为，
，
，，
，
故答案为：；
连接，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，

菱形，，，
，，
，
，，，，
，，
四边形的面积为菱形面积的，
，
解得：；
设，由，可得，
过点作于点，则，

，
当时，最小，
即面积的最小值为．
连接，表示出四边形的面积，即可求解；
由题意可得：，表示出四边形的面积，求解即可；
设，由可得，表示出面积再求最小值即可．
本题是四边形综合题，考查了特殊四边形的性质，二次函数最值，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，灵活运用性质进行求解．